Integral richtig berechnet?

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31.01.2007, 21:32	Kulli	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral richtig berechnet? Ich hab die Aufgabe das Integral von $\begin{eqnarray} cos(lnx) \end{eqnarray}$ zu berechnen. Ich hab auch schon ein Ergebnis, bin mir aber nicht sicher, ob es wirklich stimmt. Wäre nett, wenn es jemand aml nachprüfen könnte. Mein Ergebnis: $\begin{eqnarray} x cos(lnx)-cosx \end{eqnarray*}$ Vielen dank im Vorraus.
31.01.2007, 21:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Leite am besten dein Ergebnis wieder ab! Dann wirst du wahrscheinlich nachdenklich werden .. Wie hast du eine Stammfunktion berechnet? mY+
31.01.2007, 21:38	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral richtig berechnet? Der Ausdruck ergibt differenziert In[4]:= D[x Cos[Log[x]] - Cos[x], x] // FullSimplify Out[4]= Cos[Log[x]]+Sin[x]-Sin[Log[x]] Das ist nicht Cos[Log[x]], also ... falsch.
31.01.2007, 21:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bingo! Mit CAS kann's aber bald wer! Selber rechnen ist angesagt! mY+
31.01.2007, 21:45	Schmonk	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Kulli: Kleiner Tipp, weil zur Klausurenzeit soll man ja nicht so lange im Dunkeln tappen: 1. Substituiere $\begin{eqnarray} \ln x \end{eqnarray}$ 2. Das neue Integral 2mal Partiell integrieren, dann ein wenig umstellen und du erhälst die Lösung des neuen Integrals (du drehst dich beim rechnen im Kreis und kannst dann nach dem gesuchten Integral umstellen) 3.Rücksubstitution--> fertig Grüße!
02.02.2007, 13:26	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi übe mal wieder für die Klausur und bekomme das hier irgendwie nicht gebacken... Kann mir das jemand erklären ? Also was mache ich falsch ? $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~cos(ln(x))~dx \end{eqnarray}$ Ich substituiere : $\begin{eqnarray} y = ln(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y' = \frac {dy} {dx} = \frac 1 x \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} dx = x \cdot dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dy = \frac {dx} {x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~cos(y)~x dy \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich doch zwei Variablen x und y... Ist das schlimm ? Darf ich jetzt partiell Integrieren ?
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02.02.2007, 14:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du machst nichts falsch - du bist nur noch nicht am Ende. Du schreibst ja selbst $\begin{eqnarray} y = \ln{x} \end{eqnarray}$ (was dasselbe wie $\begin{eqnarray} x = \operatorname{e}^y \end{eqnarray}$ bedeutet) $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist daher von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ abhängig und darf nicht wie eine Konstante behandelt werden. Eliminiere $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ im letzten Integral entsprechend. Das Ganze müßte aber auch funktionieren, wenn du nicht erst substituierst, sondern gleich partiell integrierst. Beginne mit $\begin{eqnarray} u'(x) = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v(x) = \cos{\left( \ln{x} \right)} \end{eqnarray}$
02.02.2007, 14:23	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
OK dann mache ich jetzt ma weiter : $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~cos(y)~x dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [sin(y) x ] - \int_{b}^{a}~sin(y)~dy = [sin(y) * x + cos(y) ] = [sin(ln x) * x + cos( ln x) ] \end{eqnarray*}$ Und das ist irgendwie das Gegenteil von richtig
02.02.2007, 14:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, du hast meine Bemerkung zur Abhängigkeit der Variablen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ schlicht ignoriert. Wenn du dich schon scheust, $\begin{eqnarray} x = \operatorname{e}^y \end{eqnarray}$ zu schreiben, dann mußt du so rechnen: $\begin{eqnarray} \int~x \cdot \cos{y}~\mathrm{d}y = x \cdot \sin{y} - \int~\left( \sin{y} \cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right)~\mathrm{d}y \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \end{eqnarray}$ ist nun einmal nicht $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ !
02.02.2007, 14:44	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral cos(ln(x)
02.02.2007, 14:47	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ja hatte es ignoriert weil mir das absolut unbekannt ist so zu machen aber es klappt also nochmal : $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~cos(y)~e^y dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = [e^y \cdot cos(y) ] - \int~e^y \cdot -sin(x) = [e^y \cdot cos(y) + e^y \cdot sin(x) - \int~e^y \cdot cos(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac {e^y \cdot cos(y) + e^y \cdot sin(y)} 2 \end{eqnarray}$ Da zurücksubstituieren spar ich mir jetzt ma Super nu klappt es. Dieses x durch e^y zu ersetzen kannte ich garnicht. Macht man das immer so wenn man zwei Variablen da hat nach dem Substituieren ?

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