Schwerpunkt eines Flächenstückes

11.08.2012, 08:18

Redwood

Schwerpunkt eines Flächenstückes

Die Aufgabe: Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Flächenstückes, das begrenzt wird durch $\begin{eqnarray*} x=y^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2=-8y \end{eqnarray*}$

Erstmal wollte ich mir die beiden Funktionen aufzeichnen um heraus zu finden welche die Obere bzw. die Untere ist.

Für $\begin{eqnarray*} x=y^2 \end{eqnarray*}$ geht das auch, das müsste ja eine Quadratische Parabel um die X-Achse sein aber was mache ich mit den $\begin{eqnarray*} x^2=-8y \end{eqnarray*}$ , Wenn ich die Wurzel ziehe, bin ich nicht mehr in |R oder?

Schönes Wochenende
Kai

11.08.2012, 09:12

Gast11022013

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Eine Funktion hat ja immer die Form

y=......

Du musst also die Gleichungen nach y auflösen.
Danach musst du gleichsetzen.

11.08.2012, 10:12

Redwood

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Hallo
Danke dir, aber es gib doch auch Funktionen die x=f(y) sind oder ?

Ich habe die mal umgestellt.
$\begin{eqnarray*} y=+-sqrt(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=-x^2/8 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die von Hand bzw. im Plotter gezeichnet.

[attach]25485[/attach]

Die rote ist $\begin{eqnarray*} -x^2/8 \end{eqnarray*}$ die blaue $\begin{eqnarray*} +sqrt(x) \end{eqnarray*}$ und die grüne $\begin{eqnarray*} -sqrt(x) \end{eqnarray*}$

Hier geht es dann wohl nur im die grüne und die rote oder ?

Gruß KAi

edit von sulo: Grafik als Dateianhang angefügt.

11.08.2012, 10:18

Gast11022013

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Zitat:

es gib doch auch Funktionen die x=f(y)

Dazu kann ich ehrlich gesagt nichts sagen wo ich mir sicher wäre.

Deine restlichen Gedanken sind auch korrekt.

Ich bin nun aber auch erstmal weg. Hier kann gerne übernommen werden.

Wink

11.08.2012, 10:21

Redwood

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Ok Danke dir nochmal Augenzwinkern

Schönes Wochenende !

Wenn ich die jetzt gleich setzte kommt $\begin{eqnarray*} x^2-8*sqrt(x)=0 \end{eqnarray*}$ raus. Wie löse ich das den nach x auf ... ?

11.08.2012, 11:07

Gast11022013

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Was uns hier stört ist das $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Wie bekommst du das weg?

11.08.2012, 11:18

Redwood

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Ach bist ja doch noch da Wink

Ja manchmal sollte man ein wenig rum probieren, hatte es auch vorhin geschafft. Aber da waren die 15 Minuten schon wieder um, und ich wollte nicht schon wieder 2 Beiträge hintereinander schreiben.

Quadrieren, dann hat man

$\begin{eqnarray*} x^4-64x=0 \end{eqnarray*}$
dann ist XN1=0 XN2= $\begin{eqnarray*} 3\sqrt{64} \end{eqnarray*}$ das ist ja auch +4 und -4 oder, aber -4 haben wir hier nicht also fällt die weg ?

Dann muss ich das ja nur noch in die Integrations Formel setzen

$\begin{eqnarray*} A = \int_a^b \! y(o)-y(u) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Xs =\frac{1}{A} \int_a^b \! x(y(o)-y(u)) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Ys = \frac{1}{2A} \int_a^b \! y^2(o)-y^2(u) \, dx \end{eqnarray*}$

für A habe ich $\begin{eqnarray*} 8/3 \end{eqnarray*}$ raus für Xs $\begin{eqnarray*} 9/5 \end{eqnarray*}$ aber für Ys kriege ich immer +0.9 raus obwohl das -0,9 sein müsste ...
Gruß Kai

Tante Edit: War ein Vorzeichen fehler, $\begin{eqnarray*} -\sqrt(x) \end{eqnarray*}$ wird ja zu plus und $\begin{eqnarray*} -x^2/8 \end{eqnarray*}$ auch Augenzwinkern

11.08.2012, 11:34

Gast11022013

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Quadrieren. Genau. Freude

Dabei musst du jedoch auf eines achten. Quadrieren als solches ist keine äquivalenz Umformung. Das heißt, dass manchmal Lösungen erzeugt werden die gar keine sind.

Deshalb sollte man die Lösungen später noch einmal übers einsetzen überprüfen um zu gucken ob es auch eine "echte" Lösung ist.
Bei dieser Aufgabe sind 0 und 4 beides Lösungen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{64}\neq \pm 4 \sqrt[3]{64}=4 \end{eqnarray*}$

Den

$\begin{eqnarray*} 4\cdot 4\cdot 4=64 \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} (-4)\cdot (-4)\cdot (-4)=-64 \end{eqnarray*}$

Wenn du eine ungerade Wurzel ziehst erhältst du jeweils nur eine Lösung.

Meinst du mit $\begin{eqnarray*} y(o) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(u) \end{eqnarray*}$ jeweils die Ergebnisse der Ober bzw. Untergrenze?
Davon gehe ich mal aus.

Der Rest sieht von der Vorgehensweise richtig aus. Kannst du mal den Rechenweg posten für das Ergebnis welches dir missfällt?

smile

Zitat:

Ach bist ja doch noch da

War ne knappe Stunde nicht da. Augenzwinkern

11.08.2012, 11:58

Redwood

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Ok, hat sich schon erledigt, war nur ein Vorzeichenfehler. Danke für deine Hilfe !

Ich komme einfach nicht mit Wurzeln klar.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} -x^2+10=\sqrt(4-x) \end{eqnarray*}$ quadriere dann steht da doch $\begin{eqnarray*} -(x^2)^2+(10)^2=\sqrt(4-x)^2 \end{eqnarray*}$ und raus kommt dann $\begin{eqnarray*} -x^4+100=4-x \end{eqnarray*}$ oder?

11.08.2012, 12:03

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} -x^2+10=\sqrt{4-x} \end{eqnarray*}$

Nun quadrieren.

$\begin{eqnarray*} (-x^2+10)^2=\left(\sqrt{4-x}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Das was rechts vom Gleichheitszeichen steht löst sich auf.
Bei dem was links steht musst du an die Binomischen Formeln denken.

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 a=-x^2 b=10 \end{eqnarray*}$

Laut dir wäre es

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

das ist leider falsch.

11.08.2012, 12:08

Redwood

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Ok, was wäre denn wenn ich das so Quadrieren würde ? $\begin{eqnarray*} -x^2+10-\sqrt(4-x)=0 \end{eqnarray*}$

Ja jetzt stimmt es auch, $\begin{eqnarray*} x^4-20x^2+96+x \end{eqnarray*}$

11.08.2012, 12:10

Gast11022013

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Wenn du es so quadrierst kommt es aufs gleiche raus, oder verstehe ich deine Frage gerade falsch?

$\begin{eqnarray*} x^4-20x^2+x+96=0 \end{eqnarray*}$

Weißt du wie du dieses hier nach x auflöst?

11.08.2012, 12:14

Redwood

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Also auch wenn da steht

$\begin{eqnarray*} a+b+d*c=\sqrt(x+y) \end{eqnarray*}$ und ich quadriere das kommt
$\begin{eqnarray*} (a+b+d*c)^2=x+y \end{eqnarray*}$ raus ?

Eine Nullstelle habe ich ausprobiert 3 jetzt mache ich gerade ne Polynomdivision, aber das kommt wa mit x^3 raus, kann ich die gleiche Nullstelle nochmal zum dividieren nehmen ?

Gruß Kai

11.08.2012, 12:18

Gast11022013

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Zitat:

Original von Redwood
Also auch wenn da steht

$\begin{eqnarray*} a+b+d*c=\sqrt(x+y) \end{eqnarray*}$ und ich quadriere das kommt
$\begin{eqnarray*} (a+b+d*c)^2=x+y \end{eqnarray*}$ raus ?

Ja.

3 ist keine Nullstelle.

$\begin{eqnarray*} 3^4-20\cdot 3^2+3-96=-206 \end{eqnarray*}$

Eine Nullstelle übers probieren findest du schwer.

Sagt dir das Newton-Verfahren was? Damit kannst du eine Nullstelle finden.
Ansonsten versagen hier generell alle anderen Methoden.

11.08.2012, 12:26

Redwood

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du hast -96 bei mir ist es + bestimmt habe ich mich geirrt moment Augenzwinkern

also bei +96 ist 3 ne Nullstelle aber wie ich auf die anderen komme weiss nicht nicht Augenzwinkern

[attach]25484[/attach]

edit von sulo: Grafik als Dateianhang eingefügt.

11.08.2012, 12:31

Gast11022013

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Nein +96 ist schon richtig. Da habe ich irgendwas falsch notiert auf meinem Zettel hier.

Des Weiteren habe ich auch wohl in meinem Taschenrechner 4^3 und nicht 3^4 eingetippt. Sry.

x=3 ist eine Nullstelle. Damit können wir uns das vorhin angesprochene Newton-Verfahren bisher schenken. Jetzt müssen wir, wie du ja auch schon richtig sagtest, eine Polynomdivision durchführen.

$\begin{eqnarray*} (x^4-20x^2+x+96)\div (x-3)=... \end{eqnarray*}$

11.08.2012, 12:34

Redwood

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Mach nichts Augenzwinkern

Das Ergebnis der Division ist bei mir $\begin{eqnarray*} x^3+3x^2-11x-32 \end{eqnarray*}$

11.08.2012, 12:38

Gast11022013

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Deine Polynomdivision ist richtig. Freude

Jetzt kommen wir hier mit unseren "normalen" Möglichkeiten (x ausklammern, pq-Formel, substitution, ... ) nicht weiter. Da hilft dann nur noch ein Näherungsverfahren wie die Newton-Iteration.

Sagt dir das Newton-Verfahren etwas?

11.08.2012, 12:42

Redwood

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Ja, boar das ist total aufwendig.

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f''(x)}{(f'(x))^2} <<1 \end{eqnarray*}$ so war die Formel für die Konvergenz oder ?

$\begin{eqnarray*} Xn-\frac{f(x)}{f'(x)} \end{eqnarray*}$ und das für die Näherungswerte oder ?

11.08.2012, 12:48

Gast11022013

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Also die Formel für die Konvergenz kenne ich nicht. Bin selbst nur Schüler. Von Konvergenz habe ich keine Ahnung. Augenzwinkern

Und ja es ist etwas aufwendig (mehr oder weniger) und ja deine Formel für die Näherungswerte ist richtig.

Vorausgesetzt du meinst:

$\begin{eqnarray*} x_n-\frac{f(x_n)}{f '(x_n)} \end{eqnarray*}$

Wie du vorzugehen hast weißt du?

11.08.2012, 12:50

Redwood

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Ja, erstmal esse ich was und danach werde ich mich dann mal da dran begeben, ich melde mich dann wieder Augenzwinkern

.

Herzlichen Dank für deine tolle Hilfe !! Gott

Konvergenz war glaube ich ob das auch wirklich ne Nullstelle ist, muss viel kleiner als 1 sein.

Ja Erstmal ne Wertetabelle um die Nullstellen ca zu finden und dann immer das Verfahren bis man bei z.B. bei 10^-4 ist.

Das wird ein Spass Augenzwinkern

Gruß Kai

11.08.2012, 12:54

Gast11022013

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Genau. Da greift dann dieser Zwischenwertssatz. Wenn in der Wertetabelle ein Vorzeichenwechsel stattfindet, dann muss da zwischen diesen Werten eine Nullstelle liegen. Damit kann man die Iterationsschritte reduzieren.

verwirrt

Ich frage mich gerade ob die Polynomdivison tatsächlich notwendig war.

Guten Appetit.

Wink

12.08.2012, 11:15

Redwood

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Moin Gmasterflash,

Sorry musste gestern kurzfristig zur Cranger Kirmes, und danach hatte ich keine Lust mehr.

Jetzt gehts weiter,

Also zwischen -3 und -2 ist eine Nullstelle
f(x=3)=1
f(x=2)=-6
näher an -3

f(x)=x^3-3x^2-11x
f'(x)=3x^2+6x-11
f''(x)=6x+6

$\begin{eqnarray*} \frac{1*(-108)}{4} =-27 \end{eqnarray*}$

Aber das wird in betrag gesetzt also stimmt es immer noch nicht.

Konvergenz nicht erfüllt ... was mache ich den jetzt

Gruß Kai

12.08.2012, 11:40

Gast11022013

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Wie gesagt habe ich von der Konvergenzformel keine Ahnung. Das habe ich so noch nie gesehen.

Es geht aber wunderbar mit dem Newton-Verfahren. Und so wie ich das von hier aus beurteilen kann hast du deine Konvergenzformel falsch benutzt.

Oben schriebst du:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f ''(x)}{(f '(x))^2} \end{eqnarray*}$

Wenn wir nun für x=3 einsetzen erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{-33-24}{34^2}=-0,049307958 \end{eqnarray*}$

Das Newton-Verfahren hast du ja noch gar nicht angewandt.

Zwischen 2 und 3 ist keine Nullstelle.

smile

Edit:

Falls du den vorherigen Edit gelesen hast, dann vergiss was da stand das war Blödsinn.

12.08.2012, 11:52

Redwood

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Ne mit mal ist die richtig, ich habe mich das verwechselt.

Richtig ist laut Papula

$\begin{eqnarray*} |\frac{f(x)*f''(x)}{(f'(x))^2} | \end{eqnarray*}$

gut ich habe natürlich die Funktion der Polynomdivison genommen verwirrt

Ich habe mal in die Lösung geguckt da wird noch -2,7... als Schnittpunkt angegeben.
Deshalb habe ich schon -3 und -2 versucht Augenzwinkern

.

Aber irgendwie klappt das immer noch nicht.

f(x)=x^4-20x^2+x+96
f'(x)=4x^3-40x+x
f''(x)=12x^2-39

$\begin{eqnarray*} \frac{-6*68}{9^2}=|5,111 | \end{eqnarray*}$

12.08.2012, 11:56

Gast11022013

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Ja du musst auch die Funktion nach der Polynomdivison nehmen. Ok musst du nicht unbedingt, aber damit wird es leichter die folgenden Nullstellen zu finden. Ich hatte mich da kurz vertan und die Aussage in einem späterem Edit wiederrufen.

Benutze die Funktion nach der Polynomdivison, aber zwischen 2 und 3 ist keine Nullstelle. Überprüfe deine Wertetabelle.

Also mit der Formel und der Funtion der Polynomdivison erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{-11\cdot 24}{34^2}\right|\approx 0,23 \end{eqnarray*}$

Edit: Rechenfehler korrigiert.

12.08.2012, 12:06

Redwood

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Ach sorry habe mich auch vertippt,meinte -3 und -2.

Habe jetzt die Funktionen nach der Polydiv. genommen.

f(x)=x^3+3x^2-11x-32
f'(x)=3x^2+6x-11
f''(x)=6x+6

$\begin{eqnarray*} |\frac{1*-12}{(-2)^2} =3| \end{eqnarray*}$

12.08.2012, 12:13

Gast11022013

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Welche Zahl hast du für x eingesetzt?

Zwischen -2 und -3 ist eine Nullstelle. Das stimmt. Freude

Für unsere Näherung sollten wir also -2,5 wählen.

Ich würde vorschlagen, dass wir uns von der Prüfung auf Konvergenz hier in diesem Thread abschlagen. Wie gesagt kann ich dir dabei eh nicht helfen, weil ich nicht weiß wie die Ergebnisse zu interpretieren sind.

Also nun das Newton-Verfahren mit -2,5.

An welche Zahl näherst du dich an?
smile

12.08.2012, 12:21

Redwood

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Mh ok aber eigentlich muss das unter 1 sein irgendwie verstehe ich das nicht...

Nach 4 mal Newtonverfahren habe ich -2,72165 raus Augenzwinkern

Gruß Kai

So jetzt gehts ja an die Fläche Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A=\int \! (-x^2+10)-(\sqrt(4-x) \, dx \end{eqnarray*}$

Irgendwie kriege ich das mit der Kommazahl und den Grenzen nicht hin, die sind aber von -2,7.. bis 3
Als Tipp steht unter der Aufgabe das man zum Integrieren die Integraltafeln 90,91 und 116 benutzen soll.

Gruß Kai

12.08.2012, 12:24

Gast11022013

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Jap. Ich komme auf

-2,721651201

habe ein wenig öfters iteriert. Ich mag es genau. Augenzwinkern

Weißt du wie es weitergeht?

Welche Zahl hast du den in die Formel eingesetzt? Vielleicht hast du dich vertippt.

12.08.2012, 12:28

Redwood

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Fläche ausrechnen Augenzwinkern

siehe oben

90. $\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt(ax+b) \, dx \end{eqnarray*}$
91. $\begin{eqnarray*} \int \! x\sqrt(ax+b) \, dx \end{eqnarray*}$
116. $\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt(a^+x^2) \, dx \end{eqnarray*}$
das sind die Integrale

12.08.2012, 12:31

Gast11022013

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Fläche ausrechnen? verwirrt

Integraltafel? verwirrt

Wir haben jetzt 2 Nullstellen von insgesamt 4. Was musst du den für eine Fläche bestimmen?

Ich denke es ist die Fläche die von dem Graphen und der x-Achse eingeschlossen wird gesucht.

Ich besitze eine solche Integraltafel übrigens nicht. Vielleicht sollten wir den Helfer wechseln. traurig

Dann könntest du auch das mit der Konvergenz klären.

Der Graph der original Funktion ohne Polynomdivison.

12.08.2012, 12:35

Redwood

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Ach was du bist schon gut Augenzwinkern

!!

Ja klar eigentlich müssten wir noch die beiden anderen Nullstellen bestimmten,
Ich habe habe die beiden Funktionen mal gezeichnet und gesehen das sie ja nur 2 Schnittstellen haben können. Die anderen beiden enstehen wegen dem quadrieren oder?

Das ist ja eigentlich nur wieder Newton und danach einstezen ob das auch stimmt, oder?

Die Integrale um die es geht habe ich dir oben mal eingetippt Augenzwinkern

edit: @Redwood
Bitte lade Grafiken hier im Board hoch und verlinke sie nicht extern, da diese Inhalte bald wieder gelöscht werden.
Du kannst Grafiken auch mit dem Funktionen-Plotter des Boards erstellen.
Habe deine Grafik hier noch einmal eingefügt:
[attach]25482[/attach]

12.08.2012, 12:40

Gast11022013

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Bei was für einer Aufgabe bist du den gerade? Big Laugh

Die Funktionen auf dem Bild sind auf jeden Fall nicht die die wir gerade bearbeiten.

Wo haben wir unsere Funktion den quadriert? verwirrt

12.08.2012, 12:45

Redwood

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh hatte ich das gar nicht erwähnt.
Die erste Aufgabe war auf der ersten Seite Beendet.

Die Zweite ist Bestimmen sie den Schwerpunkt und die Fläche der Eingeschlossenen Fläche von $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^2+10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)\sqrt(4-x) \end{eqnarray*}$

Das ging ja mit dem Quadrieren los Augenzwinkern

um die Wurzel aufzulösen.

12.08.2012, 12:51

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wir die 1. Aufgabe erledigt haben ist mir schon aufgefallen. Ich hatte nur nach dem Tag pause an diesem Thread nicht mehr alles auf dem Schirm.

Ja dann haben wir die zusätzlichen Nullstellen übers quadrieren erzeugt. Nichts desto trotz müssen wir alle Nullstellen bestimmen und dann die "falschen" aussortieren.

Edit: Oder du machst die Probe immer wenn du eine Nullstelle berechnet hast. Und wenn du zwei passende hast kannst du aufhören. Diese beiden Funktionen können nämlich nicht mehr als 2 Schnittpunkte haben.

Das ist weniger Aufwand, weil wir die passenden ja schon haben. Bei dem Newton-Verfahren hättest du aber auch eine andere anpeilen können. Das ist mehr oder weniger Glück.

12.08.2012, 12:58

Redwood

Auf diesen Beitrag antworten »

ok da ich das Tangentenverfahren nach Newton auch können muss mache ich auch noch die beiden anderen Nullstellen Augenzwinkern

.

ans edit;Kann ich den auch 2 Funktionen darstellen, das wusste ich nicht sonst hätte ich es übers forum gemacht. Augenzwinkern

Gruß Kai

edit von sulo: Ja, du musst die Funktionen mit einem Komma voneinander trennen. Wink

12.08.2012, 13:02

Gast11022013

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Also mit dem Newton-Verfahren hat das weiter finden der Nullstellen eher weniger zu tuen. Es wäre möglich ist aber eigentlich ungeschickt. Gerade wenn man keine Zeichnung vorliegen hat.

Was jetzt zu tuen wäre, wäre ein Polynomdivison mit anschließender pq-Formel.

$\begin{eqnarray*} (x^3+3x^2-11x-32)\div(x+2,721651201)=... \end{eqnarray*}$

Deshalb mag ich genaue Zahlen, weil so meistens nach dieser ekeligen Polynomdivison am ende trotzdem Null steht.

12.08.2012, 13:05

Redwood

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Oh ja das ist echt ne ekelige Polydiv.
Mh jetzt habe ich schon eine Wertetabelle gemacht, ziwschen -4 und -3 ist eine Nullstelle und zwischen 3 und 4.

Könnte ich den auch mit der Polynomdiv. weiter rechnen wenn da ein Ganzrationaler anteil und ein Gebrochenrationaler anteil rauskommt. Also pq Formel meiner ich ?

Gruß Kai

12.08.2012, 13:09

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Da wir wissen, dass -2,72.... eine Nullstelle ist geht die Polynomdivison komplett auf. Danach haben wir die Funktion auf quadratische Form gebracht und können die restlichen 2 Nullstellen bequem mit der pq-Formel finden.

Wenn deine Wertetabelle so aufschlussreich ist, dass du 4 Vorzeichenwechsel hast kannst du auch alle Nullstellen mit dem Newtonverfahren finden. Die Frage ist bloß was aufwendiger ist. Augenzwinkern

Wenn du jedoch mal eine Funktion hast wo die Nullstellen nicht so nah bei einander liegen und deine Wertetabelle nicht alle erfasst, dann musst du es ohnehin machen.

Tue was dir am liebsten ist.
Entweder noch 2 mal das Newton-Verfahren, oder einmal Polynomdivison und pq-Formel, oder die vorhandenen Nullstellen überprüfen.

Letzteres ist am wenigsten Aufwand.

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