Umkehrfunktion bestimmen

11.08.2012, 11:27

ille90

Umkehrfunktion bestimmen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Funktion gegeben : f(x)=(x-2)/(x-3)

ich soll zeigen,dass die Funktion eine Umkehrfunktion hat, aber nicht welche.

Meine Ideen:
Dazu habe ich folgendes gemacht:

Ableitung:
f(x)=(x-2)/(x-3)
f'(x)=-1/(x^2-6x+9)

nun schau ich mir den Nenner x^2-6x+9 =(x-3)^2 an.
Man sieht, dass x=3 eine kritische Stelle ist, die Steigung könnte sich also hier ändern.

ich wähle zwei Intervalle: x<3 und x>3
und setze jeweils eine Zahl aus einem der Intervalle ein.

für x=2:
f'(2)=-1/(2^2-6*2+9)=-1/1=-1

für x=4:
f'(4)=-1/(4^2-6*4+9)=-1/1=-1

Da beide Werte kleiner als Null sind, sage ich, dass die Funktion streng monoton fallend ist.

Laut Definition für Umkehrfunktionen sind streng monoton fallende oder steigende Funktionen stets umkehrbar.

Meine Fragen sind jetzt:

1. habe ich alles richtig gemacht
2. ist eine Funktion, die in einem Intervall steigend und im nächsten Intervall fallend ist, umkehrbar? Also z.B für x<3 sei sie streng monoton fallend und für x>3 streng monoton steigend

11.08.2012, 11:49

Bjoern1982

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Zitat:

Man sieht, dass x=3 eine kritische Stelle ist, die Steigung könnte sich also hier ändern.

Das ist aber eine Nennernullstelle bzw allgemein auch eine nicht hebbare Definitionslücke und hat nichts mit einem möglichen Vorzeichenwechsel der Steigung zu tun (falls du das mit "die Steigung könnte sich ändern" meintest).

Eigentlich kann man bereits an der Stelle f'(x)=-1/(x-3)² direkt dein Argument mit der Monotonie bringen, denn offensichtlich können wegen dem Quadrat im Nenner insgesamt nur negative Steigungswerte für alle x aus der Definitionsmenge D entstehen.

Zitat:

2. ist eine Funktion, die in einem Intervall steigend und im nächsten Intervall fallend ist, umkehrbar? Also z.B für x<3 sei sie streng monoton fallend und für x>3 streng monoton steigend

Naja, dann aber eben nur auf den entsprechenden Intervallen. Augenzwinkern

11.08.2012, 11:53

Helferlein

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Wenn Du nur die Steigung betrachtest, zeigst Du damit nur, dass die Funktion vor und nach der Polstelle monton fällt, nicht aber ob sie auf dem kompletten Bereich umkehrbar ist.

Nehmen wir mal die künstlich konstruierte Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac 1{x}+2 & falls \quad x<0 \\ \\ \frac 1{x^2} & falls \quad x>0 <br /> \end{array} \right.<br /> \end{eqnarray*}$

Hier ist

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\left\{ \begin{array}{cc} -\frac 1{x^2} & falls \quad x<0 \\ \\ -\frac 2{x^3} & falls \quad x>0 <br /> \end{array} \right.<br /> \end{eqnarray*}$

und somit $\begin{eqnarray*} f'(x)<0 ~\forall x \end{eqnarray*}$ . f ist aber wegen f(-1)=f(1) nicht umkehrbar auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Entweder beziehst Du Dich also auf die beiden Bereiche in denen Du die Monotonie gezeigt hast, oder Du überlegst Dir einen anderen Weg. Ich würde beispielsweise Polynomdivision anwenden.

edit: Text zu lang, Björn macht weiter.

11.08.2012, 13:11

ille90

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Zitat:

Entweder beziehst Du Dich also auf die beiden Bereiche in denen Du die Monotonie gezeigt hast, oder Du überlegst Dir einen anderen Weg. Ich würde beispielsweise Polynomdivision anwenden.

hmm okay

also f(x) =1+1/(x-3)

jetzt auf bijektivität prüfen:

Da der Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ \{3} ist die Funktion schon mal surjektiv.

Injektivität prüfen :
Wenn aus $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ folgt, ist die Abbildung injektiv.

Nun das mach ich mal so:

für x<3 ist 1/(x-3)<0 => injektiv
für x>3 ist 1/(x-3)>0 => injektiv

Dh also die Funktion ist in beiden Bereichen Injektiv.

Somit wäre sie Bijektiv und umkehrbar?

12.08.2012, 17:06

Monoid

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Abbi
Nicht suRjektiv.

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