Minimaler Abstand zweier windschiefer Geraden

11.08.2012, 14:18

Fokus

Minimaler Abstand zweier windschiefer Geraden

Edit (mY+): Titel modifiziert. Die Steigerungsform "minimalster" ist zuviel des Guten, "minimaler" reicht schon.

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,

ich bin gerade am Thema "Minimalster Abstand zweier windschiefer Geraden" dran und habe dazu eine Aufgabe gerechnet.
Gegeben sind zwei Geradengleichungen:
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Lösung ist: d = 2,069 LE
Ich habe auf meinem Handy einen Rechner der mir als Lösung d = 1,96 LE liefert. Kann ich davon ausgehen, dass mein Ergebnis richtig ist?

11.08.2012, 14:52

riwe

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RE: Minimalsten Abstand zweier windschiefer Geraden?
eher vom gegenteil traurig

11.08.2012, 15:12

Fokus

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Ist es denn nun richtig oder nicht ^^

11.08.2012, 15:13

mYthos

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Wenn dein CAS (Rechner) dieses Ergebnis geliefert hat, erhebt sich erstens die Frage, WIE dies bewerkstelligt wurde und zweitens, ob es dir nicht gelingen könnte, ein Resultat auf anderem Wege zustande zu bringen.

Zeige doch mal einen entsprechenden Ansatz und befrage auch die Suchfunktion hierorts, denn dieses Thema und auch die verschiedenen zur Anwendung gelangenden Methoden waren schon oft Gegenstand dieses Forums.

mY+

11.08.2012, 15:33

riwe

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Zitat:

Original von Fokus
Ist es denn nun richtig oder nicht ^^

dein frage hat gelautet:"... kann ich davon ausgehen, dass mein ergebnis richtig ist?"

meine antwort darauf: "eher das gegenteil"

daraus sollte man schon den sehr einfachen schluß ziehen können:

NEIN, das ergebnis d = 2.096 ist FALSCH unglücklich

(dein handy ist schlauer Augenzwinkern

)

11.08.2012, 16:33

Fokus

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@riwe:
Ich weiß dass du das ironisch meinst, aber ich möchte, dass mein Ergebnis exakt ist, sonst gibt es Punktabzüge ^^

Ich schreib einfach mal meine Rechnung in Kurzform auf:

Schritt 1 - Fußpunktvektor bilden:

$\begin{eqnarray*} \vec{d} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - [\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + s* \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ] \end{eqnarray*}$

Schritt 2 - Gleichungen aufstellen und Gleichungssystem lösen:

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \vec{d} * \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \vec{d} * \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
Diese beiden ausgerechnet ergeben:
$\begin{eqnarray*} \vec{d} * \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = -9 + 21r - 30s = 0 \end{eqnarray*}$ I
und
$\begin{eqnarray*} \vec{d} * \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -8+30r-50s = 0 \end{eqnarray*}$ II

Umformen von I nach r und einsetzen in II liefert s = 13/14 und r = 86/49.
Einsetzen von r und s in \vec{d} liefert:
$\begin{eqnarray*} \vec{d} = \begin{pmatrix} \frac{-47}{98} \\ \frac{155}{98} \\ \frac{-61}{49} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schritt 3 - Länge des Vektors ausrechnen
$\begin{eqnarray*} |\vec{d}| \end{eqnarray*}$ = 2,069

Sind die Schritt so alle korrekt, also kann ich das immer so machen?

11.08.2012, 16:43

riwe

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bis II ist alles korrekt
ich erhalte allerdings damit

$\begin{eqnarray*} r=\frac{7}{5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s=\frac{17}{25} \end{eqnarray*}$

(wobei ich eventuell r und s vertauscht habe Augenzwinkern

)

edit: wenn´s exakt sein soll, würde ich

$\begin{eqnarray*} d=\frac{4}{5}\sqrt{6} \end{eqnarray*}$ hinmalen

12.08.2012, 12:03

Fokus

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Vielen Dank, das war mein Fehler !
Jetzt bekomm ich auch das richtige Ergebnis raus smile

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