Grenzwert bilden : x --> unendlich ? ( Etc. )

11.08.2012, 18:43	Roberto12	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bilden : x --> unendlich ? ( Etc. ) Hallo, Ich benötige eine gute Erklärung wie man zu diesem Ergebnis gekommen ist. Die Aufgabe lautet : Grenzwert bilden : lim x --> unendlich Schritt 1 : x^5 - 7x^3 + 3 : 3x^5 - 7x^2 lim x--> unendlich Schritt 2 : x^5 ( 1 - 7x^3/x^5 + 3/x^5 : x^5 ( 3 - 7/x^3 Schritt 3 : 1 - 7/x^2 + 3/x^5 : 3 - 7/x^3 Ergebnis : 1/3 Also ich verstehe die komplette "Schritt 2" nicht . Kann jemand mir bitte dass erklären. ( warum man zb die 1 hinzugefügt hat , wie man zu diesen Brüchen gekommen hat usw. Ich habe zurzeit Probleme Grenzwerte zu berechnen . Kennt jemand vielleicht eine gute Seite , wie es erklärt wird Grenzwerte zu berechnen ? Danke im Voraus.
11.08.2012, 18:51	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
In Zähler und Nenner wurde die Potenz mit dem höchsten Exponenten ausgeklammert, um damit so genannte "Nullfolgen" zu erzeugen (also Terme, die im Unendlichen ganz klein werden und somit gegen Null streben).
11.08.2012, 18:53	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist leider teilweise recht schwierig zu lesen. Zumal die Klammersetzung oft fehlt. Probier es doch mal mit Latex. Nutze auch gern den Formeleditor dazu: http://www.matheboard.de/formeleditor.php Zur Frage: Als erstes wurde x^5 ausgeklammert. Das ist ja klar oder? Dann wurde x^5 gekürzt und sich das Verhalten für die einzelnen Summanden für x-> unendlich angeschaut. Ist x im Nenner eines Summanden und geht gegen unendlich, so wird dieser Summand gegen 0 gehen. Am Ende kommst du dann so auf dein Ergebnis. Damit schon klar?
11.08.2012, 19:11	Roberto12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich lerne das Thema Grenzwert erst seit paar Tagen. Darum habe ich viele fragen. Also im " Schritt 2 " ist das so , dass man immer ausklammern muss ? Wann muss man es denn ausklammern wie erkennt man es. " Schritt 3 " habe ich verstanden , dass man x^5 kürzen muss und dann zum Ergebnis kommt. Wie gesagt ich habe " Schritt 2 " nicht verstanden : $\begin{eqnarray} \frac{x^{5} ( 1 - \frac{7x^{3}}{x^{5} } + \frac{3}{x^{5} }) }{x^{5}( - 3 - \frac{7}{x^{3} } ) } \end{eqnarray}$ Woher kommt die 1 im Klammer ? Am besten bitte die komplette "Schritt 2 "erklären. Damit ich dann es auch gut verstehen kann. DANKE !!! Edit Equester: Habs mal editiert und den folgenden Beitrag entfernt.
11.08.2012, 20:25	AlphaCentauri	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Roberto, da Equester und Bjoern gerade offline sind, denke ich, dass sie nichts dagegen haben, wenn ich dir darauf antworte. Also bevor wir Schritt 2 genau auseinandernehmen, sollten wir vielleicht nochmal kurz über die Idee sprechen, warum wir diese einzelnen Schritte machen und was das Ziel ist. Das Ziel ist klar: Wir wollen den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{x^5 - 7x^3 +3}{3 x^5 -7x^2} \end{eqnarray}$ berechnen. Nun könnte man ja einfach mal den Nenner bzw. Zähler getrennt betrachten und die Grenzwerte der beiden einzeln berechnen. In diesem Fall - und den meisten anderen sicher auch - bekommst du dann $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray}$ , womit wir nichts anfangen können. Also besteht die Idee nun darin Konstanten und Nullfolgen zu erzeugen, d.h. Terme zu erzeugen, die unabhängig von x sind bzw. solche, die für $\begin{eqnarray} x \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ konvergieren. Ein Standartverfahren ist dabei das Ausklammern des Terms mit dem größten Exponenten - in unserem Fall $\begin{eqnarray} x^5 \end{eqnarray}$ . Soweit die Idee, jetzt zum Beispiel: Wie gerade gesagt, wollen wir den Term mit dem größten Exponenten von Nenner und Zähler ausklammern, damit wir diesen wegkürzen können. In unserem Beispiel wäre das $\begin{eqnarray} x^5 \end{eqnarray}$ , d.h. wir erhalten $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{x^5 - 7x^3 +3}{3 x^5 -7x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^5(1 - \frac{7x^3}{x^5} +\frac{3}{x^5})}{ x^5(3 - \frac{7x^2}{x^5})} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{7}{x^2} + \frac{3}{x^5} }{ 3 - \frac{7}{x^3} } \end{eqnarray}$ Damit haben wir jetzt im Zähler die Konstante $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ bzw. im Nenner $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ und als Nullfolgen $\begin{eqnarray} \frac{7}{x^2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \frac{3}{x^5} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{7}{x^3} \end{eqnarray}$ . Nun kannst du sowohl im Nenner, als auch im Zähler $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gegen unendlich gehen lassen - und nur die Konstanten bleiben stehen. Damit hast du den Grenzwert berechnet. Ich hoffe, dass hat dir ein bissle geholfen, um zu verstehen, warum wir überhaupt diese Schritte machen - bei Fragen, einfach nochmal melden Alpha
12.08.2012, 18:42	Roberto12	Auf diesen Beitrag antworten »
danke Alpha du hast es sehr gut erklärt. Jetzt habe ich es auch verstanden. Die Rechnungswege die ich von jemand bekommen habe waren auch falsch und haben mich sehr irritiert. Jetzt ist es mir klar mit denn Kürzungen. Ene frage habe ich immer noch die nicht beantwortet ist. , Warum hast du die Konstante 1 im Zähler ? Woher kommt die 1 ? Die Konstante 3 im Nenner ist mir klar. Die ist ja schon gegeben. danke
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12.08.2012, 18:49	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil gerade niemand online ist, mische ich mich mal ein: Die Konstante 1 kommt vom ausgeklammerten x^5, denn $\begin{eqnarray} x^5=1 \cdot x^5 \end{eqnarray}$ Ansonsten würde die x^5 wegfallen, wenn du den Ausdruck wieder ausmultiplizierst Lg kgV

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