Lipschitz-Stetigkeit

11.08.2012, 19:54

Kmac

Lipschitz-Stetigkeit

Meine Frage:
Hallo, ich versuche mir gerade zu überlegen, ob x^(1/2) auf $\begin{eqnarray*} \left[0,\infty \right) \end{eqnarray*}$ Lipschitzstetig ist.

Nach langen Überlegungen mit einem hin und her, habe ich mal berechnet, dass diese Funktion auf dem uneigentlichen Intervall L-stetig ist.

Meine Frage ist, ob meine Berechnungen richtig sind, oder Blödsinn??

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to \infty } \frac{|f(1)-f(y)|}{|1 -y|} = \lim_{y \to \infty } \frac{|\sqrt{1} -\sqrt{y} )|}{|1 - y|} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \lim_{y \to \infty } \frac{|(1/\sqrt{y} )\ -1 |}{|(1/\sqrt{y}) -\sqrt{y} |}=0 \end{eqnarray*}$

somit müsste es eine Konstante L geben, so dass Wurzel x auf diesem intervall L-stetig ist.
Kann man L genau angeben?

Vielen Dank, Kmac

11.08.2012, 20:07

Kmac

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Es ist schon schwierig sich für unendlich vorzustellen. Aber die Rechnung hat ja das letzte Wort und ich würde sagen, dass L=1/2 die L-Konstante ist.
???

11.08.2012, 20:27

Mulder

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RE: Lipschitz-Stetigkeit

Zitat:

Original von Kmac
Nach langen Überlegungen mit einem hin und her, habe ich mal berechnet, dass diese Funktion auf dem uneigentlichen Intervall L-stetig ist.

Dem würde ich widersprechen. Augenzwinkern

Bei deinen Berechnungen wundert mich grade, dass du explizit f(1) wählst. Wieso das?

11.08.2012, 20:28

shipwater

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Du meinst also $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in [0,\infty): ~ |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq \frac{1}{2} |x-y| \end{eqnarray*}$
Dass das nicht stimmt zeigt (z.B.) das Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ .
Du musst dir also nochmal überlegen, ob die Funktion wirklich Lipschitz-stetig ist.
Hinweis: Eine diffbare Funktion ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.

Gruß Shipwater

11.08.2012, 21:52

Che Netzer

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Die Ableitung braucht man hier aber auch nicht, mit $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ geht das auch ganz direkt.

11.08.2012, 22:03

shipwater

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Schon klar, dieser Hilfssatz ist jedoch eine gute Möglichkeit, um sich anschaulich klar zu machen ob eine Funktion nun Lipschitz-stetig ist oder nicht. Der Hinweis sollte dem Threadersteller klar machen, dass die Funktion nicht Lipschitz-stetig ist. Mit diesem Wissen kann er jetzt versuchen ein allgemeines Gegenbeispiel zu suchen.

Gruß Shipwater

11.08.2012, 23:46

Kmac

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OHNEIN!!! Ich wähle f(1) weil ich mich verschrieben habe. Ich wollte zeigen, dass Wurzel x auf dem Intervall [1, 00) L-stetig ist oder auch nicht?
Dass es auf [0,1] nicht L-stetig ist, ist mir klar.

Bin auch nach dem Satz: "Eine diffbare Funktion ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist." Dann habe ich mir aber überlegt, dass das ja nur die Tangentensteigungen sind, und was ist mit den Sekantensteigungen? oder gibts da einen Satz, der besagt, dass die Tangentensteigung <= der Sekantensteigung ist? oder ist das trivial? (wobei mir das nicht so trivial ist, weil ich ja das besagt Problem hatte, mir eine Sekante durch (1/f(1)) und quasi (00/ f(00)) vorzustellen) mhhhhh

1. Sorry für den Verschreiber oben! unglücklich

2. Danke für soviel interesse! smile

kmac

11.08.2012, 23:54

Kmac

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es schießt mir gerade in den Kopf:

natürlich gibt es da einen "kleinen" Satz, der mir hier hilft:
Mittelwertsatz der Differentialrechnung. oO. wie konnte ich den vergessen! Hammer

12.08.2012, 00:01

Kmac

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und somit ist dann meine Konstante L:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
Abschätzung: $\begin{eqnarray*} 0<\frac{1}{2\sqrt{x} }\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
=> L=1/2

falls das falsch ist bitte um Verbesserungsvorschläge! Danke

12.08.2012, 09:43

Mulder

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Wenn die Tangentensteigung in jedem Punkt beschränkt ist, wie soll eine etwaige Sekantensteigung dann denn irgendwo größer sein? Die Steigung ist nirgends größer als 1/2, daher kann auch die durchschnittliche Steigung auf einem festen Intervall nirgends größer als 1/2 sein.

Man kann hier übrigens auch direkt nach der Definition gehen. Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}Für $x_1,x_2 \in [1, \infty)$ beliebig gewählt gilt:\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}| \leq L \cdot |x_1-x_2| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}für eine Konstante $L$. \begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Was gleichbedeutend ist mit

$\begin{eqnarray*} \frac{|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|}{|x_1-x_2|} = \frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}} \leq L \end{eqnarray*}$

Und das ist in jedem Fall erfüllt, denn wegen

$\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \geq 1 \end{eqnarray*}$

folgt ja

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ist aber letztlich natürlich der gleiche Weg, denn links steht ja einfach nur ein Differenzenquotient. Aber man braucht den Begriff der Ableitung halt nicht zu kennen.

Übrigens: Niemand verlangt von dir, diese Konstante möglichst klein zu wählen. Man kann auch einfach sagen L=1000 oder sowas. Die kleinstmögliche Schranke zu suchen ist eine Arbeit, die man sich gar nicht unbedingt machen muss (auch wenn das hier natürlich problemlos möglich ist). Es gibt deswegen nicht DIE Lipschitz-Konstante, sondern im Allgemeinen ja unendlich viele, die man sich da wählen kann.

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