mit Q und R eine QR-Zerlegung von B erhalten

11.08.2012, 18:09	shizzophate	Auf diesen Beitrag antworten »
mit Q und R eine QR-Zerlegung von B erhalten Servus, die Aufgabe lautet: Zu $\begin{eqnarray} B = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 2/5 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & 11/5 \end{vmatrix} \in \mathbb R^{3,3} \end{eqnarray}$ sind Matrizen $\begin{eqnarray} Q = \begin{vmatrix} -4/5 & q & 3/5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3/5 & 0 & 4/5 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R = \begin{vmatrix} 3 & 0 & r_1 \\ r_2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & r_3 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben. a) bestimmen Sie $\begin{eqnarray} q,r_1,r_2, r_3 \end{eqnarray}$ so, dass Sie mit Q und R eine QR-Zerlegung von B erhalten. Bestimmt habe ich q, indem ich davon ausging, dass $\begin{eqnarray} QQ^T = I_n \end{eqnarray}$ gelten muss. So erhielt ich $\begin{eqnarray} q = 0 \end{eqnarray}$ . Da R eine obere Dreiecksmatrix sein muss, muss $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ schonmal 0 sein. Mit $\begin{eqnarray} R = Q^TB \end{eqnarray}$ habe ich für $\begin{eqnarray} r_1 = 1 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} r_3 = 2 \end{eqnarray}$ . Weiter ist mir aber nicht klar, wie ich jetzt zeigen soll, dass aus Q und R wieder B entsteht. Ich habe das Gefühl, dass ich $\begin{eqnarray} Rx = Q^Tb \equiv Bx = b \end{eqnarray*}$ verwenden muss, aber wie soll ich da auf B kommen, was ja fast nur aus variablen besteht?
11.08.2012, 21:00	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mit Q und R eine QR-Zerlegung von B erhalten Hi shizzophate, Der Sinn einer QR-Zerlegung ist, B als B=QR zu schreiben. Wenn Du Q und R kennst, kennst Du damit auch B. Gruß, Reksilat.
12.08.2012, 13:02	shizzophate	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie, also brauche ich einfach nur konkret zu zeigen, dass ich durch Matrixmultiplikation von QR mit meinen "berechneten" Werten für $\begin{eqnarray} q, r_1, r_2 und r_3 \end{eqnarray}$ auf die beiden bekannten Werte von B: $\begin{eqnarray} a_3 = \frac{2}{5} und c_3 = \frac{11}{5} \end{eqnarray}$ komme? Der Rest ist sozusagen "egal", da sonst nichts bekannt ist? Man und ich hock den ganzen schönen Samstag an der...
12.08.2012, 13:58	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, der Rest ist nicht egal, sondern ergibt sich, wenn man Q mit R multipliziert.

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