Relative Homologie, algebraische Topo

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Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »
Relative Homologie, algebraische Topo
Gibts hier jemanden der sich mit algebraischer Topologie auskennt?
Ich hätt nämlich eine kurze Frage zu Homologien
Wieso gilt: , falls A eine Teilmenge von X und und es eine Umgebung in X gibt, die A als Deformationsretrakt besitzt.
Ich wäre sehr froh um Hilfe und danke schon jetzt im Voraus.
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relative Homologie, algebraische Topo
Der Beweis ist wenn ich mich recht erinnere nicht ganz einfach, je nachdem, wovon man ausgehen kann...

Spontan häte ich folgende Idee:

Was du zeigen musst ist, dass Die Sequenz exakt ist. Zusammen mit der exakten Sequenz für das Paar (X,A) erhälst du dann mit dem 5-lemma den Isomorphismus zumindest für , da dann ja Gruppen ohne Tilde und mit Tilde übereinstimmen.
Für den letzten Fall muss man sich dann wohl ein großes Diagramm anschauen, wo man sich noch mal die Definition der reduzierten Homologie anschaut.

Hauptteil ist also das Zeigen der Exaktheit obiger Sequenz. Ich vermute jetzt einfach mal, dass man sich das ganze auf Kettenniveau einmal anschauen sollte und dann das Zig-Zag-Lemma nutzen kann.


Alternativ habe ich noch mal meinen Hatcher konsultiert:
Dort ist die Idee ausgehend von der exakten Sequenz des Tripels (X,V,A) (wobei V eine Umgebung von A ist, sodass A ihr Deformationsretrakt ist) mittels Ausschneidung zu zeigen, dass die Quotientenabbildung einen Isomorphismus in Homologie induziert. Dann bist du fertig, weil die entsprechenden Homologiegruppen von dem rechten Paar genau die reduzierten Hom-gruppen von X/A sind, da A/A nur aus einem Punkt in X/A besteht.

Schau dir das mal bei Hatcher auf Seite 124 an, das Buch gibt's ja kostenfrei legal im Internet.

Gruß
MI
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