Drehmatrix T positiv orientiert

12.08.2012, 13:06	toppics	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehmatrix T positiv orientiert Meine Frage: Hallo, ich habe ein Problem mit einer Quadrik die ich in die euklidische Normalform bringen muss. Das Vorgehen dabei ist mir klar, nur habe ich immer wieder das Problem das meine Transformationsmatrix nicht mit der in den Lösungen übereinstimmt. Soweit ich weiß muss die Transformationsmatrix $\begin{eqnarray} F(f_1,f_2,f_3) \end{eqnarray}$ normiert und positiv orientiert sein. D. h. $\begin{eqnarray} \|f_1\|,\|f_2\|,\|f_2\| \end{eqnarray}$ = 1 und detF > 0 nun habe ich folgende Aufgabe gerechnet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & -4 & \\ -4 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix} -9 \end{eqnarray}$ Die Eigenwerte der 2x2 Matrix sind $\begin{eqnarray} \lambda_1 = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2 = 9 \end{eqnarray}$ somit egeben sich die eigenvektoren zu $\begin{eqnarray} f_1\left(\lambda_1\right) = \frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2\left(\lambda_2\right) = \frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Da im Fall von $\begin{eqnarray} f_2\left(\lambda_2\right) \end{eqnarray}$ als Lösung $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2} }\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2} }\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in Frage kommen, habe ich mein $\begin{eqnarray} f_2 \end{eqnarray}$ so gewählt, dass die Determinante Transformationsmatrix größer als Null, also 2 ist. Also F = $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2} }\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In der Musterlösung wurde aber die Matrix $\begin{eqnarray} F = \frac{1}{\sqrt{2} }\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gewählt und die Determinante davon ist -2. Andere Aufgaben habe ich mit mit meinem Vorgehen lösen können aber hin und wieder kommt eben dieser Fall vor und ich weiß beim besten Willen nicht was ich da falsch gemacht habe. Ich hoffe ihr könnt es mir sagen.
20.08.2012, 18:47	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann man denn bitteschön Matrizen mit Vektoren addieren und davon einen Skalar subtrahieren? Ibn Batuta
20.08.2012, 21:48	toppics	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die Matrixschreibweise einer Quadrik.
21.08.2012, 10:32	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Transformationsmatrix F kann sowohl die Determinante +1 als auch -1 haben. Rein geometrisch ist diese Transformation im Falle det(F)=+1 eine "echte" Drehung des Koordinatensystems, wogegen im Falle det(F)=-1 zusätzlich eine Spiegelung ausgeführt wird. Mit anderen Worten - es werden zusätzlich die x-Achse und y-Achse vertauscht (wie beim Vertauschen eines rechten und linken Handschuhs). Das ist aber aus mathematischer Sicht ziemlich unwesentlich. Beide Transformationen sind im Prinzip erlaubt.
22.08.2012, 12:25	toppics	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok beim Anwenden mancher Tranformationsmatrizzen hat das eben nicht funktioniert, aber vielleicht habe ich mich da verrechnet. Danke für die Infos

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »