Exponentialfunktion Schnittpunkt errechnen

12.08.2012, 18:15

cmate

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Exponentialfunktion Schnittpunkt errechnen

Hallo,

ich will den Schnittpunkt der Exponentialfunktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{2-x} \end{eqnarray*}$
und der Geraden
$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{e}{4}x+\frac{3}{4}e \end{eqnarray*}$
errechnen. Also hab ich beide Funktionen gegenüber gestellt.
$\begin{eqnarray*} e^{2-x}=\frac{e}{4}x+\frac{3}{4}e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=\frac{e}{4}x+\frac{3}{4}e-e^{2-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=ex+3e-4e^{2-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=x+3-4e^{1-x} \end{eqnarray*}$ (nachträglich korregiert)

Das richtige Ergebnis für x ist 1. Ich bekomme das aber leider algebraisch nicht weiter durchgerechnet.

Beste Grüße

12.08.2012, 18:50

Gast11022013

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Stimmt algebraisch kommst du da nicht weiter.

Da hilft dir das Newton-Verfahren um diese Gleichung zu lösen.

Deine Umformungen sind soweit korrekt.

12.08.2012, 19:54

Mathe-Maus

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Durch geschicktes Umformen (Potenz- und Logarithmengesetze nutzen) erhält man die Lösung in diesem Fall auch durch genaues Hinschauen. Big Laugh

Big Laugh

Ich habe umgeformt und erhalte

(ln4) +1 = ln(x+3) + x

Meistens geht es aber nicht so schön, dann muss man wie bereits erwähnt, ein Näherungsverfahren anwenden ...

LG Mathe-Maus Wink

Wink

12.08.2012, 22:17

cmate

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Das Newtonverfahren hatten wir in der Schule bisher nicht - werde mich also damit beschäftigen müssen.
Zu der von Mathe-Maus vorgestellten Umformung muss ich mir die Logarithmengesetze nochmal anschauen und danach eventuell noch Fragen haben.
So komme ich noch nicht dahinter - bisher kann ich nur die beiden Seiten der Gleichung, genau wie schon vorher, in den GTR eingeben und dann den Schnittpunkt mit 'intersect' anzeigen lassen.

Vielen Dank erstmal an euch beide!

12.08.2012, 22:53

Gast11022013

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Wenn du das Newton-Verfahren noch nicht hattest (oder ein anderes geeignetes Näherungsverfahren) dann hast du eigentlich keine Möglichkeit diese Gleichung zu lösen.

Dann soll die Gleichung wohl vom TR gelöst werden.
Das Newton-Verfahren sich selber anzueignen ist glaubig ein wenig tricky. Diese Lösungsmöglichkeit ist zwar nicht wirklich schwer, aber wenn es einem niemand erklärt kann ich mir vorstellen, dass es relativ Missverständlich ist.

Die Formel für dieses Verfahren lautet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} x_n-\frac{f(x_n)}{f '(x_n)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ bezeichnet irgendeinen Startwert.

Der Startwert wird im Idealfall so gewählt, dass es nahe der vermuteten Nullstelle liegt.
Da du weißt, dass die Nullstelle bei 1 ist kannst du ja mal 0,9 als Anfangswert benutzen.

Du setzt also ein:

$\begin{eqnarray*} 0,9-\frac{f(0,9)}{f '(0,9)}=0,996054982 \end{eqnarray*}$

Jetzt führen wir die selbe Rechnung nochmal durch. Diesmal nehmen wir jedoch das Ergebnis der ersten Rechnung.

$\begin{eqnarray*} 0,996054982-\frac{f(0,996054982)}{f '(0,996054982)}=0,999993778 \end{eqnarray*}$

Und nochmal, und nochmal, ....

Wenn man jetzt noch einmal iteriert erhält man das gewünschte Ergebnis 1.

Man führt dieses verfahren solange durch, bis sich das Ergebnis an einen bestimmten Wert annähert. Dies ist dann die Nullstelle.

Wie gesagt ist das Verfahren an sich nicht kompliziert, aber wenn man es so ließt wiederstrebt es vielleicht ein wenig.

Wenn du mal nicht weißt wo die Nullstelle zu erwarten ist, dann musst du eine Wertetabelle anlegen und gucken wo ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Zwischen diesen Werten, des Vorzeichenwechsels, liegt dann eine Nullstelle (Zwischenwertsatz)

Ich denke das Verfahren an sich sollte einigermaßen klar geworden sein. Ansonsten kannst du gerne nochmal fragen.
Ob du tatsächlich zum lösen dieser Aufgabe dir speziell dieses Verfahren aneignen solltest ist die andere Frage. In deinem Fall reicht wahrscheinlich stumpfes ablesen aus dem GTR.

Wink

Wink

12.08.2012, 23:10

Mathe-Maus

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@Gmasterflash: Newtonverfahren sehr schön erklärt, hier aber nicht wirklich notwendig.
@cmate: Löblich von Dir, dass Du Dich nochmal mit den Grundlagen (10.Klasse) beschäftigen möchtest. Freude

Freude

Bitte bedenkt, es ist nicht unüblich, dass Lehrer/Prof Aufgaben für Testat gibt, die ohne jegliche Hilfsmittel zu lösen sind ( ohne TR, ohne GTR, ohne Handy).

Die hier benannte Aufgabe zählt dazu !

Kleiner Tipp an cmate:

$\begin{eqnarray*} 0=x+3-4e^{1-x} \end{eqnarray*}$

Nach Anwendung der Potenzgesetze und Umformung kommst Du auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{4e}{x+3}= e^{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt auf beiden Seiten den ln anwenden und so weit wie möglich aufsplitten !
Beachte: ln(e)=1.

LG Mathe-Maus Wink

Wink

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12.08.2012, 23:53

Helferlein

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RE: Exponentialfunktion Schnittpunkt errechnen
@Mathe-Maus:
Wozu der ganze Aufwand? Man kann doch auch direkt auf die Ausgangsgleichung den Logarithmus anwenden und erhält

$\begin{eqnarray*} ln(e^{2-x})=ln(\frac{e}{4}x+\frac{3}{4}e) \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} 2-x=ln(\frac e4)+ln(x+3)=1-ln4+ln(x+3) \end{eqnarray*}$
oder sortiert
$\begin{eqnarray*} 1+ln4=x+ln(x+3) \end{eqnarray*}$

Das Problem dabei ist aber nur, dass man zwar eine Lösung erkennen kann, aber nicht weiss, ob diese auch die einzige ist.

13.08.2012, 00:06

Mathe-Maus

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RE: Exponentialfunktion Schnittpunkt errechnen
@Helferlein:
1) Ich habe die letzte Umformung von cmate verwendet ! ... und ihm die Richtung von dort aus gewiesen ... (Sicher kann man auch gleich am Anfang einsteigen.)
2) WARUM postest Du die KOMPLETTE UMFORMUNG ? Widerspricht dem Boardprinzip geschockt

geschockt

LG Mathe-Maus

13.08.2012, 00:07

carm561

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RE: Exponentialfunktion Schnittpunkt errechnen
Die Eindeutigkeit ist hier allerdings ein sehr lösbares Problem

13.08.2012, 00:17

Helferlein

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@Mathe-Maus:
Dem Boardprinzip widerspricht eine Komplettlösung, aber ich habe nur Umformungen aufgeschrieben, die zu einer Gleichung führen, die Du ohnehin schon zitiert hattest. Die Aufgabe ist mit diesen Umfomungen aber noch lange nicht komplett gelöst, mal ganz davon abgesehen, dass ich bezweifle, dass die Aufgabe vom Lehrer so gedacht war.

13.08.2012, 00:50

Mathe-Maus

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@Helferlein: Lassen wir die Hinweise zur Umformung als Tipp an cmate stehen. cmate muss sich trotzden noch die Logarithmengesetze zur Umformung anschauen, damit er Deinen Weg versteht ... hier ist der Weg das Ziel.

Sicherlich ist die Frage, was will der Lehrer zur Lösung sehen.
a) Benutzung des GTR
b) Näherungsverfahren
c) Umformung und Erkennen der Lösung

Wir wissen es nicht ....

LG Mathe-Maus Wink

Wink

PS: Mich persönlich würde noch interessieren, wie man nachweist, dass es nur eine Nullstelle gibt ... Potenzwert von x ?

13.08.2012, 00:54

Che Netzer

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Logarithmengesetze braucht man hier eigentlich auch nicht, wenn man sich $\begin{eqnarray*} x+3=4\mathrm e^{1-x} \end{eqnarray*}$
ansieht und überlegt, welche "vernünftigen" Werte für die Exponentialfunktion bekannt sind.

13.08.2012, 00:58

Iorek

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Zitat:

Original von Mathe-Maus
Mich persönlich würde noch interessieren, wie man nachweist, dass es nur eine Nullstelle gibt ... Potenzwert von x ?

Da gibt es verschiedene Möglichkeiten. Die einfachste (und für die Schule wohl gebräuchlichste) ist eine Motonieuntersuchung.

14.08.2012, 13:22

cmate

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Mit dem Newton-Verfahren komme ich jetzt gut zurecht - vielen Dank für die super Erklärung.

Nachdem ich mir die vier Logarithmengesetze jetzt nochmal angeschaut habe, komme ich mit den Umformungen teilweise trotzdem noch nicht wirklich weit.

$\begin{eqnarray*} ln(e^{2-x} = ln(\frac{e}{4}x+\frac{3}{4}e) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2-x)*1= ln(\frac{e}{4}x+\frac{3}{4}e) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2-x=ln(\frac{ex+3e}{4}) \end{eqnarray*}$

die weitere Umformung auf der rechten Seite zu:

$\begin{eqnarray*} 2-x=ln(\frac{e}{4})+ln(x+3) \end{eqnarray*}$

verstehe ich so noch nicht.

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{e}{4}x) \end{eqnarray*}$

könnte ich wohl umformen in

$\begin{eqnarray*} (ln(e)-ln(4))+ln(x) \end{eqnarray*}$

wie ich dann mit dem '+' innerhalb der Klammer umgehe, ist mir nicht klar. Ich stochere da doch etwas im Nebel.

14.08.2012, 16:53

Helferlein

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Zitat:

Original von cmate
$\begin{eqnarray*} 2-x=ln(\frac{ex+3e}{4}) \end{eqnarray*}$

die weitere Umformung auf der rechten Seite zu:

$\begin{eqnarray*} 2-x=ln(\frac{e}{4})+ln(x+3) \end{eqnarray*}$

verstehe ich so noch nicht.

Stelle den Summenbruch als ein Produkt dar, indem Du $\begin{eqnarray*} \frac e4 \end{eqnarray*}$ ausklammerst.

14.08.2012, 22:40

cmate

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Ich denke jetzt verstehe ich das.

$\begin{eqnarray*} 2-x=(\frac{1}{4}e*(x+3)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-x=(\frac{e}{4}*(x+3)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-x=ln(\frac{e}{4})+ln(x+3) \end{eqnarray*}$

Das muss ich sicherlich noch ein wenig üben, sehe den Weg bis dahin jetzt aber.

Wie ich darin die richtige Lösung erkennen kann, ist mir trotzdem noch unklar. Selbst wenn ich das weiter umstelle, komme ich mit ln(x+3) nicht weiter.

14.08.2012, 22:52

Helferlein

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RE: Exponentialfunktion Schnittpunkt errechnen
In den ersten beiden Zeilen fehlt links die Exponentialfunktion.

Am Ende haben wir die Gleichung $\begin{eqnarray*} 1+ln4=x+ln(x+3) \end{eqnarray*}$

Nun vergleichst Du den Term mit und den ohne ln. Dass das hier klappt ist aber eher ein glücklicher Zufall. Im Allgemeinen ist es nicht möglich Lösungen einfach abzulesen.

14.08.2012, 23:23

cmate

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RE: Exponentialfunktion Schnittpunkt errechnen

Zitat:

In den ersten beiden Zeilen fehlt links die Exponentialfunktion.

Oh ja! Ich verbessere das mal:

$\begin{eqnarray*} 2-x=ln(\frac{1}{4}e*(x+3)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-x=ln(\frac{e}{4}*(x+3)) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Nun vergleichst Du den Term mit und den ohne ln.

Jetzt verstehe ich.

Vielen Dank für die super Hilfe!

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