bed. Erwartungswert

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
bed. Erwartungswert
Meine Frage:
Moin, ich habe mal eine ganz generelle Frage.

Wenn eine Zufallsvariable nicht diskret ist, sagt man dann, dass sie "stetig" ist? Oder ist "stetig" nicht das Gegenteil von "diskret"?


Sollte man vielleicht besser sagen: Sie nimmt überabzählbar viele Werte an?




Ich beziehe mich zum Beispiel auf bedingte Erwartungswerte.

Da hat man einmal den Fall

, wo T nur endliche viele oder abzählbar unendlich viee Werte annimmt.

Daraus macht man ja .

Hier ist doch eine diskrete Zufallsvariable (egal, ob X diskret oder stetig ist.)


Wenn ich jetzt den allgemeinen Fall betrachte, wo T nicht diskret ist, bedeutet das doch, daß T überabzählbar viele Werte annehmen kann.

Dann ist auch bzw. eine überabzählbare Zufallsvariable, richtig?



Macht es dann Sinn zu sagen, man muss bei der Definition der bedingten Erwartung den diskreten und den allgemeinen (stetigen) Fall voneinander unterscheiden

oder

Ist es korrekt zu sagen, man muss den diskreten vom allgemeinen (nicht-diskreten) Fall unterscheiden?

Meine Ideen:
...irgendwie habe ich "stetig" immer als Gegenteil von "diskret" aufgefasst. Aber jetzt zweifle ich, ob das korrekt ist. Denn stetig bedeutet ja eigentlich nur, dass die ZV eine Dichte besitzt bzw. eine stetige Verteilungsfunktion.




Kann man die Unterscheidung auch anhand der Unter-sigma-Algebren allein treffen?

Also unterscheiden zwischen dem Fall, dass die Unter-sigma-Algebra endlich viele oder höchstens abzählbar unendliche Elemente hat und den Fall dass sie überabzählbar viele Elemente hat?
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Stetig ist auf jeden Fall nicht das Gegenteil von diskret! Eine Zufallsvariable kann weder stetig noch diskret sein.

Dass man das an der "Größe" der erzeugten sigma-Algebra ablesen kann, wage ich zu bezweifeln. Selbst wenn der Wertebereich der Zufallsvariable abzählbar ist und die sigma-Algebra somit von abzählbar vielen Mengen erzeugt wird, heißt dass ja noch lange nicht, dass die erzeugte sigma-Algebra wieder abzählbar ist.

(Nebenbei bemerkt sollte man bei "stetig" immer dazu sagen bzgl. welchem Maß man diese Stetigkeit betrachtet. Bei dir ja wahrscheinlich das Lebesgue-Maß...?)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von saz
Selbst wenn der Wertebereich der Zufallsvariable abzählbar ist und die sigma-Algebra somit von abzählbar vielen Mengen erzeugt wird, heißt dass ja noch lange nicht, dass die erzeugte sigma-Algebra wieder abzählbar ist.

Es gibt gar keine abzählbar unendlichen Sigma-Algebren:

Eine Sigma-Algebra ist entweder endlich, oder überabzählbar.
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von saz
Selbst wenn der Wertebereich der Zufallsvariable abzählbar ist und die sigma-Algebra somit von abzählbar vielen Mengen erzeugt wird, heißt dass ja noch lange nicht, dass die erzeugte sigma-Algebra wieder abzählbar ist.

Es gibt gar keine abzählbar unendlichen Sigma-Algebren:

Eine Sigma-Algebra ist entweder endlich, oder überabzählbar.


Ahja, danke, so genau wusste ich es nicht. Damit ist ja dann auf jeden Fall klar, dass auch diskrete Zufallsvariablen eine überabzählbare sigma-Algebra haben können.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von saz

Damit ist ja dann auf jeden Fall klar, dass auch diskrete Zufallsvariablen eine überabzählbare sigma-Algebra haben können.


Können sie das wirklich?
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso denn nicht? Betrachte eine Zufallsvariable mit (d.h. X ist diskret). Dann wird die von X erzeugte sigma-Algebra durch das Mengensystem



erzeugt und da dieses bereits Erzeugendensystem bereits abzählbar unendlich ist, kann nach der Aussage von Hal9000 die sigma-Algebra nur überabzählbar unendlich sein.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

X nimmt also jetzt abzählbar unendlich viele Werte an, d.h. ist diskret.

Die von erzeugte -Algebra ist doch

.


Ich sehe gerade nicht, wieso die von Dir angegebene Menge ein Erzeugendensystem dieser -Algebra ist.
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Na, meinetwegen kannst du es auch auf diesem Wege betrachten, ohne Erzeugendensystem: Die von X erzeugte sigma-Algebra muss doch alle Urbilder der Form



für enthalten. Da dies bereits abzählbar viele (disjunkte nichttriviale) Mengen sind, bleibt wie gesagt nur der Schluss, dass die sigma-Algebra überabzählbar ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, jetzt ist der Groschen gefallen!

Danke.

Die Urbilder bilden eine Partition von und es sind abzählbar unendliche viele.. dann sind ja auch noch z.B. die Vereinigungen in der sigma-Algebra und so weiter und so fort... also können das dann nur überabzählbar unendlich viele Elemente in der sigma-Algebra sein.
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Zufallsvariable NICHT diskret ist, ist die von ihr erzeugte sigma-Algebra IMMER überabzählbar unendlich?


(Machen nicht-diskrete ZV überhaupt Sinn?)


Also bei Billingsley wird bei den bedingten Erwartungswerten nur unterschieden zwischen dem diskreten Fall und dem allgemeinen Fall (wenn die Unter-sigma-Algebra nicht durch eine Partition erzeugt wird). Vom nicht-diskreten Fall ist da nirgends die Rede.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Wenn die Zufallsvariable NICHT diskret ist, ist die von ihr erzeugte sigma-Algebra IMMER überabzählbar unendlich?

Ja.

Zitat:
Original von Dennis2010
(Machen nicht-diskrete ZV überhaupt Sinn?)

Merkwürdige Anmerkung - als hättest du noch nie mit (absolut-)stetigen Zufallsgrößen zu tun gehabt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist stetig doch das Gegenteil von diskret?


Sorry, aber... ich meinte jetzt Zufallsvariablen, die überabzählbar unendlich viele Werte annehmen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, diese Klassifikation ist total unzureichend. Es gilt der Zerlegungssatz von Lebesgue:

Jedes sigma-endliche Maß (und dazu zählen insbesondere auch alle Verteilungsmaße ) lässt sich gemäß



zerlegen in einen absolut-stetigen Anteil , einen singulär-stetigen Anteil (vgl. Cantor-Funktion als Beispiel für eine singulär-stetige Verteilungsfunktion) sowie einen diskreten Anteil .

Die Fälle "diskrete Zufallsgröße" (mit ) sowie "absolut-stetige Zufallsgröße" (mit ) sind also nur Spezialfälle - wenn auch wichtige - der allgemeinen Situation. Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will mich gerne damit beschäftigen, im Moment verstehe ich da aber nur Bahnhof. Ich danke Dir dennoch für diesen Hinweis, da habe ich wieder etwas, was ich lernen muss.

---Nochmal bitte zurück zu meinem Problem:

Was mich halt wundert ist, dass in dem Billingsley bei der Definition des bedingten Erwartungswerts zwischen dem "discrete case" und dem "general case" unterschieden wird.


Beim "discrete case" betrachtet er den Fall, daß man den Ergebnisraum als endliche oder abzählbare Partition schreiben kann und lässt dann die Unter-sigma-Algebra von dieser Partition erzeugen. Das ist doch der Fall, daß man auf eine diskrete Zufallsvariable bedingt (Deswegen wohl die Überschrift "discrete case").

Beim "general case" betrachtet er allgemein Unter-sigma-Algebren (daß sigma-Algebren von einer Partition erzeugt werden, ist ja nur ein Spezialfall).



Doch wo bleibt der Fall, daß man auf eine Zufallsvariable bedingt, die überabzählbar unendlich viele Werte annimmt? Dann ist die Partition des Ergebnisraums ja überabzählbar, oder?

Lässt er diesen Fall vielleicht weg, weil das nicht so sinnvoll ist? Oder fällt das mit in den allgemeinen Fall?...
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