Volumenintegral von einer Kugel mit Bohrung

13.08.2012, 11:31

Redwood

Volumenintegral von einer Kugel mit Bohrung

Guten Tag,
Die Aufgabe lautet:
Ein Kugelgriff mit einem Kugeldurchmesser d=36mm soll eine zylindrische Bohrung mit einem Durchmesser von 10mm erhalten. Die Bohrung soll bis zur Mitte gehen (Tiefe18mm). Die ausbohrung soll mit einem Flachbohrer erfolgen.Welches Volumen hat die Restkugel.

So mein Lösungsweg.

Ich habe zu erst das Kugelvolumen berechnet mit der Formel Ursprungsgleichung eines Kreises.
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray*}$ umgeformt
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt(r2-x^2) \end{eqnarray*}$ eigesetzt
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt(1296-x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Vx=\pi\int_{-18}^{18} \! \sqrt(1296-x^2)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Vx=\pi\int_{-18}^{18} \! 1296x-\frac{1}{3} x^3 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Vx=\pi(21384-(-21384))=42768\pi \end{eqnarray*}$

Jetzt die Bohrung,
eine Konstante Funktion f(x)=5 die ich um die x Achse rotieren lasse.
y=5
$\begin{eqnarray*} Vx=\pi\int_0^{18} \! 5 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Vx=\pi\int_0^{18} \! 5x \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Vx=90\pi \end{eqnarray*}$

Man ich habe mir das selber Überlegt. Leider stimmt nicht mal das Kugelvolumen ...
Die Ergebnisse sind, $\begin{eqnarray*} Vkugel=24401,02mm^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Vbohrung=1358,08mm^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Vrest=23,04cm^3 \end{eqnarray*}$

Edit: Den ersten Fehler habe ich, ich habe in die Kreisgleichung den Durchmesser und nicht den Radius eingesetzt. Leider komme ich jetzt auf Vkugel= 24429,02mm^3
edit2: Ich habe die 5 bei dem Volumen der Bohrung nicht Quadriert. Komme jetzt auf 1413,71mm^3.

13.08.2012, 15:18

opi

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Das Volumen der Kugel als Rotationsvolumen zu berechnen ist Luxus, da hätte es eine einfache Formel auch getan. Augenzwinkern

Bei der Berechnung der Bohrung bohrst Du an Stellen, an denen keine Kugel ist. Die Bohrung setzt sich aus einem Zylinder und einem Kugelabschnitt zusammen:
[attach]25490[/attach]

Den roten Abschnitt kannst Du als Rotationsvolumen berechnen, es gibt allerdings auch eine direkte Formel dafür. smile

13.08.2012, 16:43

Redwood

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Ja du hast recht, da drüber habe ich gar nicht nachgedacht. traurig

Die Länge der Bohrung habe ich jetzt über den Pythagoras gerechnet, müsste dann 17,2916mm sein.
Also muss ich das Kegel Volumen von 0 bis 17,2916 berechnen plus das Kugelvolumen von 17,2916 bis 18 oder ?
Warum habe ich auch mehr bei der Kugel raus ?
Gruß Kai

13.08.2012, 17:10

opi

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Nicht Kegel, sondern Zylinder! Big Laugh

Deine berechnete Zylinderhöhe stimmt, ich würde aber mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{299} \end{eqnarray*}$ weiterrechnen. Die Integrationsgrenzen sind auch richtig.

Dein rot editiertes Kugelvolumen ist richtig, in der Musterlösung wurde schon die Kappe abgeschnitten. Vergleiche das Volumen des Zylinders mit dem in der Musterlösung angegebenen Volumen der Bohrung.

13.08.2012, 17:18

Redwood

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Ja wenn ich mit \sqrt{299} rechne komme ich genau auf das Ergebnis der Lösung.
Aber muss ich da nicht noch die das rote Kugelstück zurechnen ?

Gruß Kai

edit:
Wenn nach dem Volumen der kompletten Bohrung gefragt wäre müsste ich aber noch die Kugelkappe dazurechnen oder ?
Aber da ja nur nach dem Zylinder gefragt ist, brauche ich das nicht oder ?

13.08.2012, 17:23

opi

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Ja. Die Musterlösung versteht anscheinend unter $\begin{eqnarray*} V_{Bohrung} \end{eqnarray*}$ etwas anderes als wir beide. Augenzwinkern

Hast Du schon das Rotationsvolumen berechnet? Das sollte dann auch den Unterschied der Kugelvolumen ergeben.

13.08.2012, 17:43

Redwood

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Ok, Danke dir wäre ich nicht alleine drauf gekommen! Wink

Ja passt alles, wie du schon sagtest.
Gruß Kai

13.08.2012, 20:00

opi

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Gern geschehen! Wink

Zitat:

Original von Redwood

edit:
Wenn nach dem Volumen der kompletten Bohrung gefragt wäre müsste ich aber noch die Kugelkappe dazurechnen oder ?
Aber da ja nur nach dem Zylinder gefragt ist, brauche ich das nicht oder ?

Einen Beitrag zu editieren, nachdem bereits darauf geantwortet wurde, ist nicht sehr geschickt, da ein Edit wenig auffällig und die nachfolgende Antwort dann auch oft wenig sinnvoll ist. Augenzwinkern

Gefragt wurde nur nach dem Restvolumen der Kugel. Ob man nun erst den Kugelabschnitt berechnet und danach hineinbohrt oder eine leicht kompliziertere Bohrung in eine ganze Kugel berechnet ist egal. Auch der Weg über ein Rotationsvolumen oder eine Formel ist gleich (un)aufwendig. smile

13.08.2012, 20:26

Redwood

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Das Stimmt natürlich, war aber nicht mit Absicht. Ich habe die Seite die ganze Zeit auf gehabt und vergessen vor dem Editieren zu Aktualisieren. Erst nach dem Editieren habe ich gesehen das du gerade geantwortet hast.

Gruß Kai

13.08.2012, 20:56

opi

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Kein Problem, ich hatte den Hinweis nur der Vollständigkeit halber geschrieben.

Gruß,
opi Wink

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