Hypothesentest, Waschmittel

13.08.2012, 17:29

Gast11022013

Hypothesentest, Waschmittel

Meine Frage:
Hi,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

In einem Supermarkt hatte das Waschmittel WAM bisher einen Marktanteil von maximal 30%. Die Filialleiterin hat die Vermutung, dass aufgrund einer Werbeaktion der Marktanteil des Waschmittels gestiegen ist. Bei einer Überprüfung von 50 Waschmittelkäufern stellt sie fest, dass 21 Kunden sich für WAM entschieden hatten. Kann die Filialleiterin nun bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% von einem erhöhtem Marktanteil von WAM ausgehen?

Meine Ideen:
X: "WAM-Käufer"

$\begin{eqnarray*} n=50 k=21 p=0,3 \alpha=0,05 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_0 : p\leq 0,3 H_1 : p> 0,3 \end{eqnarray*}$

Es ist ein rechtsseitiger Test.

Doch wie gehe ich nun weiter vor?

Der Ablehnungsbereich, dass sich der Markteinteil erhöht hat wäre ja wenn es mit der Irrtumswahrscheinlichkeit in den Bereich

$\begin{eqnarray*} \overline{A}=\{0,...,21\} \end{eqnarray*}$

fällt.

Also

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k)\leq \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-P(X\geq k-1)\leq 0,05 P(X\geq k-1)\geq 0,95 \end{eqnarray*}$

Jetzt in der n=50 Tabelle ablesen, wo dies erreicht wird. Wenn es nicht in dem Ablehnungsbereich liegt, hat sich der Marktanteil wohl erhöht.

Ich lese den Wert k=20=0,9522 ab.

$\begin{eqnarray*} k-1=20 k=21 \end{eqnarray*}$

Es liegt also im Ablehnungsbereich und hat sich damit nicht erhöht.
Ist dies so richtig?

Danke im Voraus.

Mfg

14.08.2012, 11:47

Kasen75

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Hallo Gmasterflash,

den Ablehnungsbereich legt man ja in Bezug auf das Signifikanzniveau fest. Also mit den Schwankungen. Du hast dein Intervall aber aufgrund der Stichprobe festgelegt, unabhängig von irgendeinem Signifikanzniveau. Des Weiteren machst du laut Hypothese einen Test bezüglich den Anteilswertes.

Dazu gibt es zwei Wege.

1. Man kann ein Konfidenzintervall für den Anteilswert konstruieren und schauen ob der empirische Anteilswert im Intervall enthalten ist.

Da hier $\begin{eqnarray*} n \cdot p \cdot q > 9 \end{eqnarray*}$ ist, kann man hier mit der Normalverteilung approximieren.

Annahmebereich bei deiner Null-Hypothese wäre dann:

Obere Grenze: $\begin{eqnarray*} P_0 + Z_{1-\alpha} \cdot \sqrt{\frac{p_0 \cdot (1-p_0) }{n}} \end{eqnarray*}$
untere Grenze: 0

$\begin{eqnarray*} [0;P_0 + Z_{1-\alpha} \cdot \sqrt{\frac{p_0 \cdot (1-p_0) }{n}}] \end{eqnarray*}$

2. Du kannst eine Prüfgröße berechnen:

$\begin{eqnarray*} T=\frac{\theta - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 \cdot (1-p_0)}{n}}} \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} T > \phi^{-1}(1-\alpha) \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ nicht annehmen.

Andernfalls $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ nicht verwerfen.

Soweit meine Idee. Ich denke es ist nicht richtig, schon vorher einen Ablehnungsbereich festzulegen.

Mit freundlichen Grüßen.

14.08.2012, 12:08

Gast11022013

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Leider kann ich deine Lösungsmethode nicht nachvollziehen, da wir die Normalverteilung noch nicht hatten.

Trotzdem danke für deine Mühe. Freude

Ist meine Vorgehensweise den falsch?

Ich habe eigentlich meinen Ablehnungsbereich in Abhängigkeit des Signifikanzniveaus angelegt. Wenn ich bei k<0,95 ablese (was ja das Signifikanzniveau angibt) erhalte ich k=21

Das wäre dann der Ablehnungsbereich. Von 0-21.
Da 21 Kunden das Waschmittel kaufen und der Ablehnungsbereich bis 21 geht, kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% ablehnen, dass sich der Marktanteil erhöht hat.

So habe ich es gelöst.

Wenn du es nicht mit der Normalverteilung lösen würdest, wie würdest du es machen? Hast du eine plausiblere Lösungsmethode, weil bisher würde ich noch sagen, dass ich eigentlich von der Lösung "überzeugt" bin.

Ich lasse mich aber gerne eines besseren belehren.

14.08.2012, 18:23

Kasen75

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Hallo,

du hast ja erst die Hypothesen. Die Ablehnungs- bzw. Annahmebereiche werden ja erst ermittelt.

Die Fläche von k bis n darf höchstens 5% betragen.

$\begin{eqnarray*} P(x > C) \leq 0,05 \end{eqnarray*}$

C ist die kritische Grenze.

Jetzt die Gegenwahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} 1-P(x \leq C) \leq 0,05 \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt auf die linke Seite der Grenze geht, dann sind es ja mehr als 5%.

$\begin{eqnarray*} 1-P(x-1 \leq \ C) \geq 0,05 \end{eqnarray*}$

-1

$\begin{eqnarray*} -P(x-1 \leq \ C) \geq -0,95 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cdot (-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(x-1 \leq \ C) \leq 0,95 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt in der Binomialverteilungstabelle schaue, bei welchem x-1 die Binomialverteilung kleiner als 0,95 ist, kommt bei mir x-1=20 heraus.

Somit kann man den Ablehnungsbereich bzw. Annahmebereich bestimmen.

Jetzt kann man schauen, in welchen Bereich die Stichprobe fällt. Ablehnen oder Annehmen?

Die "Grafik" soll veranschaulichen was ich mit x und x-1 meine. Sieht wirklich nicht schön aus. Hoffentlich macht es meine Ausführung deutlicher.

Mit freundlichen Grüßen.

14.08.2012, 18:31

Gast11022013

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Ich bin mir gerade nicht sicher, ob wir aneinander vorbei reden, oder ich dich falsch verstehe.

Zitat:

Wenn ich jetzt in der Binomialverteilungstabelle schaue, bei welchem x-1 die Binomialverteilung kleiner als 0,95 ist, kommt bei mir x-1=20 heraus.

Somit kann man den Ablehnungsbereich bzw. Annahmebereich bestimmen.

Genau das habe ich ja gemacht. (Ich lese meine Werte aus so einer kumulierten Wahrscheinlichkeitstabelle ab. Das hätte ich vielleicht von anfang an anmerken sollen.)

So erhalte ich ja die k=21 und den Ablehnungbereich von

$\begin{eqnarray*} \overline{A}=\{0,...,21\} \end{eqnarray*}$

Und da wir 21 Kunden haben und diese in den Ablehnungsbereich fallen muss ich die Hypothese verwerfen.

Verstehe ich dich falsch?

Sry.

smile

14.08.2012, 18:51

Kasen75

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Hallo,

ich habe für x-1 = 20 heraus. x-1 ist die obere Grenze des Annahmebereichs. x ist die untere Grenze des Ablehnungbereichs. Das wollte ich mit meiner Grafik auch ausdrücken. Insofern gibt es schon Unterschiede bei unseren Lösungen.

Edit:

Im Übrigen geht der Ablehnungsbereich von x bis 50.

14.08.2012, 19:14

Gast11022013

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Der Ablehnungsbereich geht von x bis 50 ?

Das würde ja heißen, dass wenn wir 50 WAM-Käufer hätten sich trotzdem der Marktanteil nicht erhöht hat. verwirrt

14.08.2012, 19:24

Kasen75

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Deine Nullhypothese ist doch: $\begin{eqnarray*} p \leq 0,3 \end{eqnarray*}$ .

Wenn man als Stichprobenergebnis z.B. 30 hat, dann wird $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ verworfen. Dann hat sich der Anteilswert, mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95%, erhöht.

Wenn jetzt 21 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ der unteren Grenze des Ablehnbereichs ist, dann ist wahrscheinlich p>0,3 (Gegenhypothese, von Dir aufgestellt).

14.08.2012, 22:08

Gast11022013

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Klar, dass wir aneinander vorbeireden wenn ich falsche Hypothesen aufstelle. unglücklich

Ich muss das morgen nochmal korrigieren. Ich hoffe du kannst dann nochmal drüber gucken.

Vielen Dank schonmal für deine Hilfe. Freude

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