Integral: x/sin x Wie rechnen?

13.08.2012, 19:35	nobody79	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral: x/sin x Wie rechnen? Hallo folgendes Integral muss gelöst werden: $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \frac{x}{\sin x} \, dx \end{eqnarray}$ mir fehlt der richtiger Ansatz! folgende Ansätze waren bei mir erfolglos: 1) $\begin{eqnarray} \sin x = \frac{2t}{t^2+1} ; dx = \frac{2}{t^2+1}dt ; x = 2\cdot \arctan t \end{eqnarray}$ dabei kam das hier raus: $\begin{eqnarray} 2\cdot \int_{}^{} \! \frac{\arctan t}{t} \, dx \end{eqnarray}$ 2) Partiell integrieren egal was ich als u und v' auswähle, komme ich irgendwie nicht weiter 3) mit sin erweitern: $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \frac{x}{\sin x} \, dx = \int_{}^{} \! \frac{x \sin x}{\sin^2 x} \, dx = \int_{}^{} \! \frac{x \sin x}{1- \cos^2 x} \, dx \end{eqnarray}$ dann cos x = u; sin x dx = -du. damit kriege ich nicht alle x weg. und mit x = arccos u komme ich auch nicht weiter. Also welcher Ansatz wende ich hier an? Danke!
13.08.2012, 20:23	wubi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral: x/sin x Wie rechnen? Die Funktion x/sin(x) hat Polstellen. Erstmal müsste man zeigen, ob das uneigentliche Integral dort konvergiert. Zunächst lässt dann Si(x)=int_0^x sin(x)/x dx schon vermuten, dass auch int x/sin(x) dx nicht auf normale Art durch Ausdrücke mit elementaren Funktionen darstellbar ist. Im Bronstein steht für int x/sin(x) dx eine Reihenentwicklung mit Bernoulli-Zahlen. Wolfram und Maxima spucken einen längeren Ausdruck aus, wo Li(x) enthalten ist.
13.08.2012, 22:08	nobody79	Auf diesen Beitrag antworten »
Polstellen erstmal außen vor lassen. Denn ich will ja keine Fläche unter dem Integral ausrechnen. Ich will nur die Stammfunktion haben. @wubi Kannst du mir diese Seite aus dem Borstein einscannen, bitte? Wo sind eigentlich die Mathematiker hier? In Urlaub?

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