Intervallgrenzen bei Substitution

13.08.2012, 21:44

T311

Intervallgrenzen bei Substitution

Meine Frage:
Berechne Integral von 0 bis 1 von x^2. Trivial: Lösung ist 1/3.

Jetzt meine Überlegungen: substituiere x^2=t; 2xdx=dt. Und das Integral wird zu: Integral von 0^2 bis 1^2 von (x^.5)/2. Lösung immer noch korrekt.
Jetzt mein Problem: für dasselbe Integral von -1 bis 1 ergibt sich 2/3 als Lösung, bei derselben Substitution ergeben sich die Intervallgrenzen aber zu (-1)^2=1 und 1^2=1 => Wert des Integrals wäre Null. Welche Vorraussetzungen des Substitutionssatzes erfülle ich nicht oder was mache ich falsch?

Meine Ideen:
a

13.08.2012, 21:55

Cheftheoretiker

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RE: Intervallgrenzen bei Substitution
Wenn du das Integral

$\begin{eqnarray*} \int _0^1 x^2 dx \end{eqnarray*}$ hast, wieso willst du denn substituieren?

Deine Substitution $\begin{eqnarray*} t=x^2 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=2x \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{2x}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 t\cdot\frac{1}{2x}dt \end{eqnarray*}$

Was stellst du denn nun mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$ an?

Für gewöhnlich wird es per $\begin{eqnarray*} \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$ integriert.

13.08.2012, 22:16

Helferlein

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@Hangman:
Wenn man die Substitution vollständig durchführen würde, wäre die Aufgabe auch mit Substitution kein Problem. Du hast nur eine "Teilsubstitution" durchgeführt, denn dein Term enthält neben t auch noch x als Variable.
Unstrittig dürfte allerdings sein, dass hier eine Substitution nicht wirklich angebracht ist.

@T311
Die Rücksubstitution von $\begin{eqnarray*} t=x^2 \end{eqnarray*}$ ist nicht eindeutig, da es auf das Vorzeichen von x ankommt. Wenn Du die Grenzen aber erst einmal außer acht lässt, kannst Du eine Stammfunktion ermitteln, in die Du die Grenzen dann wieder einsetzen kannst.

14.08.2012, 10:15

T311

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Dass die Rücksubstitution nicht eindeutig ist, ist klar. Nur beantwortet das meine Frage nicht, ich wende, zumindest glaube ich das, nur den Satz mit seinen Voraussetzungen an. Irgendetwas muss ich ausser Acht gelassen haben, sonst wäre der Satz ja falsch. Also was genau?

14.08.2012, 10:33

T311

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Vielleicht sollte ich meine Frage anders formulieren, allgemeiner:
(Referenz ist der Wikipedia Artikel: "Integration durch Substitution")
Sei phi: [-b,b]->I gerade, d.h. phi(-x)=phi(x), für alle x in [-b,b], a=-b und alles andere wie im Artikel. Dann ist das Integral auf der rechten Seite stets 0, wegen denselben Integrationsgrenzen, aber auf der linken Seite nicht im allgemeinen. Was mache ich falsch?

14.08.2012, 10:36

klarsoweit

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RE: Intervallgrenzen bei Substitution
Das Problem liegt eben an dieser Stelle:

Zitat:

Original von hangman
Deine Substitution $\begin{eqnarray*} t=x^2 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=2x \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{2x}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 t\cdot\frac{1}{2x}dt \end{eqnarray*}$

Was stellst du denn nun mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$ an?

Und die Frage, was mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$ passiert, ist noch nicht beantwortet.

14.08.2012, 15:16

T311

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RE: Intervallgrenzen bei Substitution
x=t^.5: also Integral von t/(2*t^.5)=.5*t^.5 wie oben im ersten post geschildert.

14.08.2012, 15:28

klarsoweit

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RE: Intervallgrenzen bei Substitution
Sorry, die Lesbarkeit ist quasi gleich Null. Und wie transformierst du die Intervallgrenzen?

14.08.2012, 19:19

T311

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RE: Intervallgrenzen bei Substitution
Vielleicht ist das kein allzu schönes Beispiel, aber nochmal:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! x^{2} \, dx \end{eqnarray*}$
nun substituiere
$\begin{eqnarray*} t=x^{2} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} dt/2x=dx \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} 2x=2\sqrt{t} \end{eqnarray*}$ , für die Integrationsgrenzen folgt $\begin{eqnarray*} {-1}^{2}=1, 1^{2}=1 \end{eqnarray*}$
also schlussendlich: $\begin{eqnarray*} \int_1^1 \! \sqrt{t}/2 \, dt = 0 \end{eqnarray*}$ .

14.08.2012, 19:40

Cheftheoretiker

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RE: Intervallgrenzen bei Substitution
Wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray*} 2x=2\sqrt{t} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Wenn du folgendes machst, $\begin{eqnarray*} t=x^2 \end{eqnarray*}$ und du nun die Wurzel ziehst erhälst du $\begin{eqnarray*} \sqrt{t}=|x| \end{eqnarray*}$ . Du darfst nicht einfach sagen das es $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist.
Deswegen befolge den Ratschlag von Helferlein und integriere erstmal unbestimmt.

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 t\cdot\frac{1}{2x}dt \end{eqnarray*}$

Es darf gerne jemand anderes weiter machen. Wink

14.08.2012, 20:06

T311

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RE: Intervallgrenzen bei Substitution
Ja, das ist es wohl. Danke für den Hinweis. Beschissene Wurzelfunktion smile

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Intervallgrenzen bei Substitution

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