Pyramide zerlegen

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Mathema Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramide zerlegen
Meine Frage:
Eine dreiseitige Pyramide mit Grundfläche G, Höhe h und Volumen V ist nach Halbieren ihrer Kanten in 2 Prismen und 2 Pyramiden zerlegt. Zeigen Sie, dass der Inhalt jedes Prismas V = 1/8 Gh ist.

Meine Ideen:
Grundflächen der Prismen sind ähnlich mit Streckfaktor 1/2 und die Prismen besitzen die halbe Höhe.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das beweisen willst, dann würde ich mal ganz trivial den Anteil der Prismen an der Grundfläche berechnen
Lg
kgV
Wink
 
 
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide zerlegen
Gibt es noch weitere Angaben, wie z.B. alle Kanten gleichlang (z.b. alle Kanten =a) ?
LG Mathe-Maus Wink
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll ein Prisma (Körper) Anteil an einer Fläche haben?

Nein, das sind alle Angaben. Soll wohl allgemeingültig sein.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte natürlich den Anteil der Grundflächen der Prismen an der Gesamtgrundfläche, entschuldige bitte die Ungenauigkeit
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

einfacher scheint mit, das volumen der 2 teilpyramiden zu bestimmen, woraus das gesuchte der (rest)prismen folgt.
der strahlensatz erledigt dies recht flott Augenzwinkern
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Setzt du dabei die Volumina ins Verhältnis? Dann müsste man jedoch noch wissen, wie sich die Höhen verhalten.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Setzt du dabei die Volumina ins Verhältnis? Dann müsste man jedoch noch wissen, wie sich die Höhen verhalten.


das weiß man ja unglücklich
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

@riwe: Daraus folgt aber nicht zwingend, dass jedes Prisma ein Volumen von Gh/8 hat Außerdem geht es um das Volumen eines Prismas mit der Grundfläche und Höhe der Pyramide, zumindest interpretiere ich das in die Angaben hinein.

Da finde ich meinen Ansatz etwas schneller. Aber überlassen wir es Mathema zu entscheiden, wie er/sie die Aufgabe angehen will
Lg
kgV
Wink
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kgV
@riwe: Daraus folgt aber nicht zwingend, dass jedes Prisma ein Volumen von Gh/8 hat Außerdem geht es um das Volumen eines Prismas mit der Grundfläche und Höhe der Pyramide, zumindest interpretiere ich das in die Angaben hinein.

Da finde ich meinen Ansatz etwas schneller. Aber überlassen wir es Mathema zu entscheiden, wie er/sie die Aufgabe angehen will
Lg
kgV
Wink


deinen ansatz kenne ich nicht

klar folgt das unglücklich
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe es auch so, dass sich das G und h nur auf die Pyramide beziehen und man somit hiermit das Volumen jedes Prismas ausdrücken soll. Wenn ich erst die beiden Restpyramiden berechne, müsste ich ja dennoch zeigen, dass die beiden Prismen gleich groß sind. Zu einer Lösung bin ich jedoch noch nicht gekommen verwirrt
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte diesen Gedanken näher ausgeführt:
Zitat:
Original von Mathema

Meine Ideen:
Grundflächen der Prismen sind ähnlich mit Streckfaktor 1/2 und die Prismen besitzen die halbe Höhe.


Nehmen wir z. B. das Dreieck ABC als Grundfläche der Pyramide; sei die dazugehörige Körperhöhe. Da die Punkte U bis Z die jeweiligen Seiten, auf denen sie liegen, halbieren, ergeben sich wie gesagt ähnliche Dreiecke mit dem Streckfaktor 1/2.

Es gilt also:

Und wenn wir die Höhe von z. B. nennen, dann ist die Höhe der Prismengrundfläche (= Dreieck ZVC):

Für die Körperhöhe des Prismas lassen sich ebenfalls ähnliche Dreiecke finden, die zeigen, dass gleich der doppelten Prismenhöhe ist.

Wenn man diese Ergebnisse in die Volumenformel für das Prisma einsetzt, kommt man auf die Behauptung bzw. Formel in der Angabe.


Edit: Skizze eingefügt

[attach]25513[/attach]
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zu meinem Ansatz: Ich weise nach, dass die Grundfläche der Prismen jeweils ein Viertel der Gesamtgrundfläche betragen und mit den halben Höhen kombiniert ergibt sich das geforderte Ergebnis.
Aus deinem Ansatz kann ich aber nicht erkennen, wie daraus folgen soll, dass jedes Prisma genau das geforderte Volumen hat. Zusammen schon, aber getrennt? Sollte ich iwas übersehen haben, bitte ich um Aufklärung
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

du weist doch auch das offensichtliche nach,nämlich, dass die beiden prismen gleiches volumen haben Augenzwinkern
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verstehe ich es Hammer Idee!

Indem du nachweist, dass sie in der Pyramide 3/8 des Raums einnehmen, weist du nach, dass sie im Prisma 1/8 einnehmen. Was bin ich doch manchmal blind, wenn ich auf meine Methode fixiert bin. Allerdings gefällt mir meine immer noch besser Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

naja, über geschmack läßt sich ja bekanntlich nicht streiten Augenzwinkern

meine lösungsidee:

dazu sollte man die boardsuche bemutzen und Leopolds wunderbare ausführungen zu teilungsvehältnissen lesen!

mit meinen laienhaften worten: werden in einer "ähnlichkeitsfigur" strecken durch eine zu einer grundfläche parallele ebene im verhältnis geteilt, so verhalten sich die zugehörigen flächen wie und die entsprechenden volumina wie

daraus folgt mit unmittelbar, dass die beiden abgeschnittenen pyramiden dasselbe volumen von haben

daher gilt


zur VOLUMSgleichheit der beiden prismen auch ein bilderl Augenzwinkern
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Über Geschmack lässt sich wirklich nicht streiten Big Laugh Das ist ja ein ganz ordentliches Geschütz, das du da auffährst. Da komm ich mir mit meiner kleinen Argumentation über die Fläche wie ein Wurm vor...
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kgV
Über Geschmack lässt sich wirklich nicht streiten Big Laugh Das ist ja ein ganz ordentliches Geschütz, das du da auffährst. Da komm ich mir mit meiner kleinen Argumentation über die Fläche wie ein Wurm vor...


wieso verwirrt
ich bin nur faul und rechne ungern
(wenn man nicht rechnet, kann man sich auch nicht verrechnen, sagte schon pythagoras Augenzwinkern

mein zeug ist doch einfach strahlensatz pur
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man nicht rechnet, kann man sich auch nicht verrechnen, sagte schon pythagoras

Ich rechne hier auch nicht viel mehr Augenzwinkern

Damit will ich es dabei belassen: Viele Wege führen nach Rom, sagten schon die Lateiner
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

die sagten allerdings: ALLE wege führen nach rom unglücklich
auch amen
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