Cos Reihe alternierend

31.01.2007, 22:16

SilverBullet

Cos Reihe alternierend

Hallo haben hier nen kleines Problem den Wert der folgenden Reihe zu berechnen :

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/vinteraufg/vinteraufg101/img5.png

Der Zähler ist alternierend 1,-1,1 usw... aber 1/n^2 ergibt ja in der Summe $\begin{eqnarray*} \frac {\pi^2} 6 - 1 \end{eqnarray*}$

aber wie bekommt man das mit dem dem cosinus zusammen gerechnet :terror:

31.01.2007, 22:20

tigerbine

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RE: Cos Reihe alternierend
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty~\frac{cos(\pi n)}{n^2} = \sum_{n=2}^\infty~\frac{(-1)^n}{n^2} \end{eqnarray*}$

31.01.2007, 22:20

Buef

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RE: Cos Reihe alternierend

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty~\frac{cos(\pi n)}{n^2} = \sum_{n=2}^\infty~\frac{(-1)^n}{n^2} \end{eqnarray*}$

das haben wir schon da
cos(pi)=-1

31.01.2007, 22:24

SilverBullet

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Also für die negativen und positiven getrennt die Werte berechnen und dann zusammenrechnen

31.01.2007, 22:29

tigerbine

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RE: Cos Reihe alternierend
Notwendig:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\frac{(-1)^n}{n^2} = 0 \end{eqnarray*}$

Leibnitzkriterium

31.01.2007, 22:35

SilverBullet

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Ja schon aber Leibnitz gilt nur um zu sagen ob etwas konvergiert. Damit lässt sich das doch der Wert der Summe nicht berechnen.

Zumindest bekomm ich das nicht gebacken unglücklich

31.01.2007, 22:36

Buef

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ja wir willen, dass die Reihe gegen 0 konvergiert

was wir wissen wollen ist, wie man das umformt, sodass man sieht

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}{\sum_{n=2}^\infty {{-1}^n\over{n^2}}} =\frac {\pi^2}{6} -1 \end{eqnarray*}$

das ergebnis wissen wir durch ein matheprogramm

31.01.2007, 22:41

SilverBullet

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Der Wert der Reihe ist $\begin{eqnarray*} 1 - \frac {\pi^2} {12} \end{eqnarray*}$

Um den zu erhalten klappt das mit Leibnitz nicht... Der Onlinetest verlangt das Ergebnis auf 4 stellen hinterm Komma genau. Und mit Leibnitz bekomm ich 0.18.. raus und das ist zu ungenau

31.01.2007, 23:08

tigerbine

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Entschuldigung Ich dachte ihr müßt die Konvergenz auch zeigen. Ihr wollt also nur wissen, was der Grenzwert ist.Ok.

Aber wie kommt euer Programm auf den Grenzwert? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty~ \frac{1}{n^2} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... = \frac{\pi^2}{6} - 1 \end{eqnarray*}$

Das ist doch aber was anderes als

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty {{-1}^n\over{n^2}} =\frac {1}{2^2} -\frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} +-... = \end{eqnarray*}$

oder? verwirrt

31.01.2007, 23:13

SilverBullet

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Japp stimmt s.o.

Zitat:

Der Wert der Reihe ist $\begin{eqnarray*} 1 - \frac {\pi^2} {12} \end{eqnarray*}$

Buef hatte sich verschrieben

31.01.2007, 23:31

Leopold

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$\begin{eqnarray*} p = \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g = \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^2} = \frac{1}{4} \, p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{(2n-1)^2} = p - g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{(-1)^n}{n^2} = -u + g = - (p - g) + g = 2g - p = 2 \cdot \frac{1}{4} \, p - p = - \frac{1}{2} \, p \end{eqnarray*}$

31.01.2007, 23:49

Buef

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das muss einfacher gehn!

31.01.2007, 23:51

tigerbine

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Noch einfacher?

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Cos Reihe alternierend

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