Unendliche Reihe konvergenz e-Funktion

14.08.2012, 06:58

SoerenC

Unendliche Reihe konvergenz e-Funktion

Hallo,

ich habe eine Aufgabe aus einer Altklausur, die ich nicht zu lösen weiß:

$\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{k=1}( 1 + \frac{1}{k})^k \cdot x^k \end{eqnarray*}$

Gesucht sind alle reellen Zahlen x, für die die Reihe konvergiert.

Kann mir jemand den Lösungsweg zeigen?
Danke+Gruß

14.08.2012, 08:20

Leopold

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Für große $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^k \end{eqnarray*}$ nahezu gleich $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ . Und ein konstanter Faktor wirkt sich auf die Konvergenz nicht aus. Jetzt überlege, wie du dieses heuristische Argument in korrekte Form bringen kannst.

Oder direkt Cauchy-Hadamard.

14.08.2012, 08:59

SoerenC

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Hallo,

danke für die Antwort. Soweit war ich auch. Ich verstehe nicht, wie es weiter gehen muss.
Vielleicht findet sich jemand, der/die mir den Weg erklärt?
Es handelt sich nicht um eine bewertete Aufgabe.

14.08.2012, 09:10

klarsoweit

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Du kennst doch sicherlich das eine oder andere Konvergenzkriterium für Reihen? Für diese Reihe bietet sich direkt eins an. smile

14.08.2012, 09:11

HAL 9000

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Und es steht sogar schon da:

Zitat:

Original von Leopold
Oder direkt Cauchy-Hadamard.

14.08.2012, 11:30

SoerenC

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Lösungsvorschlag
Konvergenzradius mittels Cauchy-Hadamard bestimmen.
Der Konvergenzradius ist das Intervall um den Entwicklungspunkt herum, innerhalb dessen obige Reihe konvergiert.
Der Entwicklungspunkt ist der Mittelpunkt des Intervalls.
Der Entwicklungspunkt ist : $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ (da nichts anderes vorgegeben)

Obige Formel hat die abstrakte Form: $\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{k=1} {a_k \cdot (x - x_0)^k} \end{eqnarray*}$
Auf obige Formel bezogen bedeutet das: $\begin{eqnarray*} a_k = (1 + \frac{1}{k})^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x -x_0)^k = x^k \end{eqnarray*}$

1.) Gelte $\begin{eqnarray*} k \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} lim (1 + \frac{1}{k})^k = e < \infty \end{eqnarray*}$ (hat einen endlichen Wert)
Prüfe, ob mit $\begin{eqnarray*} lim \ sup \sqrt[k]{|(1+\frac{1}{k})^k|} < \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} lim \ sup \ (1+\frac{1}{k}) = 1 < \infty \end{eqnarray*}$ . Stimmt.

Da ja, befinden sich die gesuchten x innerhalb des Intervalls $\begin{eqnarray*} ( x_0 - r , x_0 + r) = (-r, r) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ wird bestimmt mit: $\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{lim \ sup \sqrt[k]{|a_k|}} = 1/1 = 1 \end{eqnarray*}$

Der gesuchte Zahlenbereich ist also (-1,1)

ok?

14.08.2012, 12:31

klarsoweit

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RE: Lösungsvorschlag
Ja, wobei du auch noch etwas über die Randpunkte sagen solltest.

14.08.2012, 16:35

SoerenC

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RE: Lösungsvorschlag
Genügt die Angabe des Intervalls in runden Klammern für die Offenheit nicht?

14.08.2012, 16:41

Mulder

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RE: Lösungsvorschlag
Die Randpunkte muss man im Allgemeinen separat untersuchen. An diesen Randpunkten (in diesem Fall eben -1 und 1) KANN die Reihe konvergieren, muss sie aber nicht. Schau dir die beiden Punkte noch kurz an. Du wirst dann aber auch wohl sofort sehen, was in diesem Fall an den Randpunkten passiert.

14.08.2012, 19:10

SoerenC

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Mh, wenn ich richtig verstanden habe, muss ich explizit sagen, dass -1 < r < 1 ist?
Ist das nicht selbstverständlich, dass x=1^k und x=(-1)^k keine Nullfolge ist?

14.08.2012, 20:35

Mulder

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In diesem Fall ist es in der Tat leicht ersichtlich, dass die Reihe an den Randpunkten divergent ist. Das ist aber nicht immer so, daher gehört es eben zu einer vollständigen Bearbeitung der Aufgabe dazu, das zu erwähnen, auch wenn es dir trivial erscheinen mag.

14.08.2012, 23:47

SoerenC

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ok. danke alle, für die Zeit, die Ihr Euch genommen habt. vg

15.08.2012, 08:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von SoerenC
Ist das nicht selbstverständlich, dass x=1^k und x=(-1)^k keine Nullfolge ist?

Das alleine ist es nicht. Es kommt auch auf das a_k an. Beispielsweise konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1 k x^k \end{eqnarray*}$ nicht nur für -1 < x < 1, sondern auch für x=-1 . Augenzwinkern

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