Umformung Vollständige Induktion

14.08.2012, 11:46

N3086

Umformung Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo Forummitglieder! Ich habe mal wieder eine Frage zu einer Umformung bei der vollständigen Induktion. Versuche den Beweis nachzuvollziehen.

Induktionsschluss:

zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n} *\frac{(n+1)*(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n-1}*\frac{n*(n+1)}{2} + (-1)^n*(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt der erste Schritt
$\begin{eqnarray*} -(-1)^n*\frac{n(n+1)}{2} +\frac{2*(-1)^n*(n+1)^2}{2} \end{eqnarray*}$

Wie kommt es den zu dem - vor (-1)^n ?

Und zu guter letzter noch der vorletzte Schritt:
$\begin{eqnarray*} \frac{2*(-1)^n*(n+1)^2-(-1)^n*n*(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
nach

$\begin{eqnarray*} (-1)^n*\frac{(n+1)*(2n+2-n)}{2} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank vorab.

14.08.2012, 11:54

Alive-and-well

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RE: Umformung Vollständige Induktion

Zitat:

Original von N3086
Meine Frage:

Induktionsschluss:

zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n} *\frac{(n+1)*(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Was ist denn da zu Zeigen? das ist einfach nur ein Term!
Poste doch mal die ganze Aufgabe

14.08.2012, 12:08

N3086

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RE: Umformung Vollständige Induktion
Also:

Komplette Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 1^2-2^2+3^2-4^2+-...+(-1)^{n-1}*n^2 = (-1)^{n-1}*\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} (1^2-2^2+3^2-4^2)+-...+((-1)^{n-1}*n^2)+((-1)^{n}*(n+1)^2 =(-1)^{n-1} *\frac{n(n+1)}{2} +(-1)^n*(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

14.08.2012, 12:33

klarsoweit

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RE: Umformung Vollständige Induktion
Mir scheint, du hast das Prinzip der vollständigen Induktion noch nicht so ganz verstanden. Überlege dir nochmal genau, was zu zeigen ist.

14.08.2012, 12:44

N3086

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RE: Umformung Vollständige Induktion
Sry war nur der kampf mit dem Formeleditor:

Rechte Seite muss natürlich lauten (wie erster Post)

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n} *\frac{(n+1)*(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

14.08.2012, 14:09

klarsoweit

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RE: Umformung Vollständige Induktion
Sorry, es macht keinen großen Spaß, sich zusammenreimen zu müssen, was du zeigen willst und wo jetzt dein Problem ist. Es wäre nett, wenn du das mal etwas ausführlicher darstellen könntest.

14.08.2012, 18:15

Helferlein

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RE: Umformung Vollständige Induktion
Auch wenn die Helfer vor mir recht haben, dass man die Aufgabe besser im Gesamtkontext darstellt, anstatt ein paar wenige Punkte herauszugreifen, kann man deine beiden Fragen doch recht schnell beantworten:

Zitat:

Original von N3086
Wie kommt es den zu dem - vor (-1)^n ?

Potenzgesetze: $\begin{eqnarray*} (-1)^{n-1} = (-1)^n(-1)^{-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von N3086
Und zu guter letzter noch der vorletzte Schritt:
...

Klammere $\begin{eqnarray*} (-1)^n(n+1) \end{eqnarray*}$ aus.

15.08.2012, 10:34

N3086

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Vielen Dank. Das war genau das,was ich wissen wollte. Werde versuchechste mal etwas klarer zu veranschaulichen. vielen Dank Augenzwinkern

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