Numerisch stabil

14.08.2012, 12:52	Wellenoptik	Auf diesen Beitrag antworten »
Numerisch stabil Meine Frage: Hallo, in der Vorlesung wurde unter anderem das Thema "numerisch stabil" behandelt. Mein Prof. definierte das so: "Ein Verfahren heißt numerisch stabil, wenn des Ergebnis der Rechnung mit Rundungsfehlern dem exakten Ergebnis der Rechnung ohne Rundungsfehler entspricht, falls man entweder die Eingabe oder die Ausgabe wenig stört." Weiters haben wir 3 Gründe für numerische Instabilität aufgeschrieben: 1) Auslöschung (Subtraktion zweier gleich großer Zahlen) 2) Division durch eine sehr kleine Zahl 3) Multiplikation mit einer sehr großen Zahl Danach wurden Beispiele gezeigt: $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & \text{ wenn } x \not= 0 \\ 1 & \text{ wenn } x = 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ soll stabil sein wohingegen $\begin{eqnarray} g(x) = 1 - \cos(x) \end{eqnarray}$ instabil für $\begin{eqnarray} x \approx 0 \end{eqnarray}$ sein soll. Warum ist das so? Meine Ideen: Meiner Meinung nach müsste $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ebenfalls instabil sein, weil ja durch eine sehr kleine Zahl dividiert wird. Warum ist die stabil? $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ könnte aufgrund der Auslöschung instabil sein. Stimmt das? Wenn ich die beiden Funktionen zeichne, dann ergeben beide schöne Kurven. Kann ich mit Hilfe von Zeichnungen überhaupt numerische Stabilität schließen? Vielen Dank für Eure Hilfe
14.08.2012, 13:09	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Numerisch stabil Hallo, Zur Funktion f(x) Der Punkt ist der, dass der Zähler der Funktion ebenfalls sehr klein wird, dadurch gleicht sich das quasi wieder aus. Eine kleine Änderung von x bewirkt auch nur eine kleine Änderung des Funktionswertes. Zur Funktion g(x) Hier kommt genau der Effekt der Auslöschung zum tragen.

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