Quotient zweier Summen vieler Logarithmen berechnen

14.08.2012, 14:08

Iomegan

Quotient zweier Summen vieler Logarithmen berechnen

Hallo Leute,

ich habe folgende Gleichung die ich nach x auflösen möchte:

$\begin{eqnarray*} 4^{2x-1}=\frac{8^{x+1}}{2^{3x-3}} \end{eqnarray*}$
Wolframalpha

Jetzt bin ich so weit gekommen, dass ich nur noch ein x auf der rechten Seite habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{-\log \left( 4 \right)-\log \left( 8 \right)-3\cdot \log \left( 2 \right)}{\log \left( 8 \right)-3\cdot \log \left( 2 \right)-2\cdot \log \left( 4 \right)}=x \end{eqnarray*}$
Wolframalpha

Nach x ist das ganze schon mal aufgelöst.

Die Frage, die sich mir stellt ist wie ich die beiden Summen im Bruch (ohne Taschenrechner) ausrechnen kann, damit ich auch selber auf die Zwei als Lösung kommen kann.

Wie kann man das umformen? verwirrt

Vielen Dank!
Daniel

14.08.2012, 14:16

klarsoweit

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RE: Quotient zweier Summen vieler Logarithmen berechnen
Es wäre erstmal einfacher, wenn du 4 = 2² und 8 = 2³ nutzt und dann diverse Potenzgesetze anwendest.

14.08.2012, 14:19

chris95

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RE: Quotient zweier Summen vieler Logarithmen berechnen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{-\log \left( 4 \right)-\log \left( 8 \right)-3\cdot \log \left( 2 \right)}{\log \left( 8 \right)-3\cdot \log \left( 2 \right)-2\cdot \log \left( 4 \right)}=x \end{eqnarray*}$

Das kannst du dann mit den Logarithmusgesetzen aufloesen;

$\begin{eqnarray*} b\log(a) = \log(a^b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log(a) + \log(b) = \log(a\cdot b) \end{eqnarray*}$

14.08.2012, 14:22

klarsoweit

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RE: Quotient zweier Summen vieler Logarithmen berechnen
@chris95: wie ich mit meinem Beitrag andeutete, kann man schon viel früher ansetzen und braucht sich nicht mit den ungeliebten Logarithmusregeln rumschlagen. smile

14.08.2012, 15:27

chris95

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@klarsoweit: Jap, das ist natuerlich der bessere Weg, ich wollte ihn nur noch daraufhinweisen, dass man die Logarithmen auch von Hand vereinfachen kann.

15.08.2012, 11:19

Iomegan

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Danke !

Mit dem Potenzieren scheint es tatsächlich schneller zu gehen. Allerdings komme ich da wieder an einer Stelle (ohne Taschenrechner) nicht weiter unglücklich

Hab' das ganze mit den Potenzregel jetzt so weit umgeformt:
$\begin{eqnarray*} 2^{4x-2}\; =\; 64 \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich doch wieder logarithmieren, oder?
Z.B:
$\begin{eqnarray*} \left( 4x-2 \right)*\log \left( 2 \right)\; =\; \log \left( 64 \right) \end{eqnarray*}$

Aber das bekomme ich ohne Taschenrechner doch nicht im Kopf hin...

15.08.2012, 11:56

klarsoweit

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Du könntest auch leicht erkennen, daß $\begin{eqnarray*} 64 = 2^6 \end{eqnarray*}$ ist und dann die Exponenten vergleichen. Augenzwinkern

15.08.2012, 12:10

Iomegan

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Also dass $\begin{eqnarray*} 64 = 2^6 \end{eqnarray*}$ ist habe ich sogar schon gesehen.

Weiterhelfen tut es mir aber nicht. Was meinst du mit Exponenten vergleichen? Ich muss doch das x da oben runter bekommen...

Sorry, ich bin echt Mathe-Legastheniker mit großer Definitionslücke. Augenzwinkern

15.08.2012, 12:40

klarsoweit

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Da steht doch sowas wie $\begin{eqnarray*} 2^{otto} = 2^{hugo} \end{eqnarray*}$ . Und da Exponentialfunktionen injektiv sind (soll sagen: ein Funktionswert kommt nur einmal vor), muß offensichtlich otto = hugo sein. Alternativ kannst du auch den Logarithmus zur Basis 2 nehmen, was aber im Grunde nichts anderes als die Anwendung dieses Sachverhalts ist.

15.08.2012, 12:48

Iomegan

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Achsoooo. Die Perspektive hatte ich gerade nicht. ^^ Danke!

Ist ja quasi nur genau hingucken, dass die Lösung nur 2 sein kann, wegen $\begin{eqnarray*} 2^{2\cdot 2-2}\; =\; 2^{6}\; =\; 64 \end{eqnarray*}$ . Hammer

15.08.2012, 13:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Iomegan
Ist ja quasi nur genau hingucken, dass die Lösung nur 2 sein kann, wegen $\begin{eqnarray*} 2^{2\cdot 2-2}\; =\; 2^{6}\; =\; 64 \end{eqnarray*}$ . Hammer

Nun ja, richtig ist: $\begin{eqnarray*} 2^{4 \cdot 2-2} = 2^6 = 64 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

15.08.2012, 14:05

Iomegan

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Meine ich ja Big Laugh

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