Radioaktiver Zerfall

14.08.2012, 17:57

li4n

Radioaktiver Zerfall

Das radioaktive Isotop Barium 140 hat eine Halbwertszeit von 13 Tagen.
Wie viel Prozent der ursprünglichen Menge, sind nach 2 Tagen noch vorhanden?
Wenn zu Beginn der Beobachtung 3,2 mg vorhanden sind, wie viel mg zerfallen am ersten Tag, wie viel zerfallen am 14. Tag? Berechne, wann nur mehr 0,1 mg übrig sind. Berechne nach wie vielen Stunden 5% zerfallen sind!
Löse alle oben angegebenen Fragen, indem du
a) eine exponentielle Abnahme annimmst,
b) eine lineare Abnahme annimmst.

-------------

Also formel für Halbwertszeit is mir bekannt:

$\begin{eqnarray*} \frac{N_{0}}{2} = N_{0} * e^{-kt} \end{eqnarray*}$

Nach 2 Tagen müsste die Gleichung doch so gehen:

$\begin{eqnarray*} N_{2} = N_{0} * e^{-2k} \end{eqnarray*}$

Nur jetz komm ich nicht wirklich auf die Prozent. Kann mir da jemand helfen?

danke

14.08.2012, 18:03

Gast11022013

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Werte für $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{N_0}{2} \end{eqnarray*}$

solltest du auch noch einsetzen können.

Ebenso weißt du, dass nach 13 Tagen noch die hälfte Vorhanden sind.

Du musst also folgende Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} 1,6=3,2\cdot e^{-13k} \end{eqnarray*}$

14.08.2012, 18:21

Helferlein

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@Gmaster: Das klappt aber nur, wenn man Werte hat. Im ersten Aufgabenteil sind aber noch keine angegeben, so dass man korrekter Weise schon bei $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{N_0}2 \end{eqnarray*}$ bleiben muss.
Daraus lässt sich die Konstante k bestimmen, die man für die weiteren Aufgabenteile benötigt.

14.08.2012, 18:26

Gast11022013

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Ich habe das Beispiel mit 3,2 und 1,6 durchgeführt, weil diese im Aufgabentext vorkommen und somit am meisten Bezug haben wieso, weshalb, warum.

Prinzipiell hätte man auch 1 und 0,5 oder 1.000.000 und 500.000 nehmen können.

16.08.2012, 14:50

li4n

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Ok, also

$\begin{eqnarray*} 0.5 = e^{13k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log(0.5) = 13k \cdot e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k= -0.1449 \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} N_{2} = N_{0} \cdot e^{-0.145\cdot 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_{2} = 100 \cdot e^{-0.145\cdot 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_{2} = 0.748 \end{eqnarray*}$

Also sind nach 2 Tagen noch 74,8 % erhalten? Kann ich das so machen??

16.08.2012, 14:59

Gast11022013

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Deine Umformnung sind leider nicht ganz korrekt.

Ich hoffe du meinst mit log den natürlichen Logaritmus ln. Ansonsten wäre das der erste Fehler.

$\begin{eqnarray*} 0.5=e^{-13k} \end{eqnarray*}$

Siehe deine oben genannte Formel.
Das Minuszeichen unterschlägst du.

Dann machst du noch einen Fehler. Und zwar wendest du den Logaritmus (ich hoffe den natürlichen Logaritmus) an. Dabei fällt jedoch das e raus.

$\begin{eqnarray*} ln(0.5)=-13k \end{eqnarray*}$

Der natürliche Logaritmus ist sogesehen ein "e-Fresser".

16.08.2012, 15:04

li4n

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Ahh ok, verstehe!

thx for info!

16.08.2012, 15:16

li4n

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Hab da noch ne ähnliche Frage zu folgendem Bsp.:

Die Halbwertszeit des Radionuklid Technetium-99m beträgt 6,02 Stunden.
Stelle das Zerfallsgesetz in der Form $\begin{eqnarray*} N_{t} = N_{0} \cdot a^{t} \end{eqnarray*}$ auf. Wie viel beträgt die prozentuelle Abnahme stündlich?

Also

$\begin{eqnarray*} 0.5 = a^{6.02} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log(0.5) = 6.02 \cdot \log(a) \end{eqnarray*}$

Wie komm ich jetzt auf das a?

16.08.2012, 15:24

Gast11022013

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Der Logaritmus ist hier überflüssig.

Gegenfrage: Wie würdest du auf das a kommen wen dort stünde:

$\begin{eqnarray*} 0.5=a^2 \end{eqnarray*}$

?

Ich denke du kommst selbst drauf. Augenzwinkern

16.08.2012, 18:23

li4n

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wie soll ich denn die 6.02-te wurzel ziehen? 0.o

16.08.2012, 18:24

Gast11022013

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Mit dem Taschenrechner. Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \sqrt[6.02]{a}=0.5 \end{eqnarray*}$

Der Gedanke ist jedenfalls korrekt.
Manchmal hilft halt ein kleiner Wink in die richtige Richtung.

smile

16.08.2012, 19:10

Bjoern1982

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Zitat:

Ich habe das Beispiel mit 3,2 und 1,6 durchgeführt, weil diese im Aufgabentext vorkommen und somit am meisten Bezug haben wieso, weshalb, warum.

Du hast wirklich eine ganze eigene Sprache und Logik, oder ? Big Laugh

Abgesehen davon ändert das alles nichts daran, dass Helferlein Recht hat und hier zunächst keine Zahlen für N0 einzusetzen sind.
Gerade das ist ja irgendwo auch das Bemerkenswerte, nämlich dass bestimmte Berechnungen völlig unabhängig von der Anfangsmenge N0 sind.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} N_{2} = N_{0} \cdot e^{-0.145\cdot 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_{2} = 100 \cdot e^{-0.145\cdot 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_{2} = 0.748 \end{eqnarray*}$

Also sind nach 2 Tagen noch 74,8 % erhalten? Kann ich das so machen??

Neben der falschen Konstanten k ist hier auch die Schlussfolgerung falsch, denn N2 gibt eine Menge an und keinen prozentualen Anteil.
Zudem fragt man sich wo die Zahl 100 herkommt. verwirrt

Auch hier ist ganz allgemein mit N0 zu arbeiten und mit nichts anderem, denn erst ab Zeile 3 des Aufgabentextes kann und soll man konkrete Werte für N0 benutzen.

Und noch etwas, es heißt nicht Logaritmus sondern Logarithmus.

16.08.2012, 20:38

Gast11022013

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Zu der falschen Rechnung habe ich mich ja auch nicht geäußert. Und das Helferlein nicht recht hat habe ich ja auch nicht gesagt. Wenn wir solche Aufgaben in der Schule gerechnet haben durften wir uns immer Werte ausdenken. Ich habe es lediglich so gerechnet, wie ich es in der Schule gelernt habe.

16.08.2012, 20:47

Helferlein

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Zur Sicherheit fasse ich noch einmal zusammen, was bislang herausgearbeitet wurde:

Wenn bekannt ist, dass die Halbwertzeit unabhängig von der Anfangsmenge ist, dies also im Unterricht schon kommuniziert wurde, darf es verwendet werden und die Rechnung von Gmaster ist korrekt.
Sollte dies aber nicht der Fall sein, dann muss in beiden Aufgaben eine unbekannte Anfangsmenge $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ für die Rechnung genutzt werden. Ansonsten ist die Rechnung nur für die gewählte Startmenge korrekt, aber nicht allgemein und daher unbrauchbar.

li4n hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{N_0}2=N_0e^{-kt} \end{eqnarray*}$ korrekt aufgeschrieben und sollte diese nun nach k umformen.

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