Nullstellen: Anwendung von Rouché

14.08.2012, 20:56

LyriaEL

Nullstellen: Anwendung von Rouché

Guten Abend,

Es ist mir fast etwas peinlich zu fragen, weil ich befürchte, dass die Aufgabe ziemlich einfach ist. Aber ich schaffs irgendwie nicht.

Aufgabe
Wieviele Nullstellen besitzt die Funktion f(z) im Einheitskreis?
$\begin{eqnarray*} f(z) = 4z^3-2z^2+z+1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich den Satz von Rouché richtig verstanden habe (oder zumindest seine Anwendung), dann müsste ich das so angehen:
Ich nehm mir ein g(z), so dass ich eine Abschätzung machen kann die entweder so $\begin{eqnarray*} |f(z)-g(z)| < |g(z)| \end{eqnarray*}$ oder so $\begin{eqnarray*} |g(z)| < |f(z)-g(z)| \end{eqnarray*}$ aussieht. (Sie sollen also einfach nicht gleich gross sein, ja?)

Aber: Egal wie ich g(z) wähle, die Abschätzung passt nie. Kann es sein, dass diese etwas verzwickt ist, oder stell ich mich so unfähig an?

Liebe Grüsse
lyri

Edit: Durcheinander mit der Notation von g(z) und f(z)

14.08.2012, 22:55

IfindU

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RE: Nullstellen: Anwendung von Rouché
Die Abschätzung heißt f und g weichen nicht zu sehr voneinander ab. Der ganze Satz also "Wenn f und g holomorph sind, und nicht zu sehr voneinander abweichen, dann haben sie gleich viel Nullstellen." Das holomorph ist sehr wichtig, und für deine Abschätzung fehlt eine extreme wichtige Anmerkung: Die soll nur am Rand des Einheitskreises gelten, nicht im ganzen Gebiet. Und für die Funktion g nimmt man z.B. $\begin{eqnarray*} g(z) = 4z^3 +1 \end{eqnarray*}$ .

Es ist wenn man noch nie eine Anwendung des Satzes schwer zu sehen worauf es ankommt bei dem Polynom, aber damit kannst du versuchen ob du die Ungleichungen beweisen kannst. Und denk dran, nur auf dem Einheitskreis, was sagt das über $\begin{eqnarray*} | z| \end{eqnarray*}$ aus?

14.08.2012, 23:28

carm561

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RE: Nullstellen: Anwendung von Rouché
Wie passt das für z=-1? verwirrt

15.08.2012, 00:13

IfindU

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RE: Nullstellen: Anwendung von Rouché
Stimmt, da hat man gerade Gleichheit, also passt das gar nicht. Es ist offenbar auch schwer darauf zu kommen, wenn man den Satz schon in Anwendung gesehen.

Ich denke gleich habe ich alle kombinatorischen Möglichkeiten durch und ein bisschen Tricksen (Abschätzungen die es wenigens auf jedem Rand eines Balles um die 0 mit Radius zwischen "groß genug" und 1 erfüllen). Bis jetzt leider nicht viel gefunden.

Edit: So viel zum Leben unnötig schwer machen. Ich denke nun $\begin{eqnarray*} g(z) = 4z^3 \end{eqnarray*}$ erweist sich als schöne Funktion. Wengistens wenn ich mich bei der pq-Formel gerade nicht verrechnet habe.

15.08.2012, 15:17

LyriaEL

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Zitat:

Original von IfindU
[...] und für deine Abschätzung fehlt eine extreme wichtige Anmerkung: Die soll nur am Rand des Einheitskreises gelten, nicht im ganzen Gebiet. [...]

genau, das hab ich vergessen zu erwähnen. Natürlich setzte ich dann jeweils 1 ein. Damit habe ich dann aber immer entweder 4= 4 bekommen oder (schlimmer -.-) 5 <= 3....

Zitat:

Stimmt, da hat man gerade Gleichheit, also passt das gar nicht. Es ist offenbar auch schwer darauf zu kommen, wenn man den Satz schon in Anwendung gesehen.

Das Gefühl hab ich auch. Die paar Beispiele, die ich habe sind so was von straight-forward, dass ich eben nicht verstehe, wie ich das nicht verstehen kann.

... uh... ich wollte eigentlich ein "kein-plan" Post machen, aber ich habs (vielleicht?) doch hinbekommen:

Also, mein g(z) ist $\begin{eqnarray*} g(z)= 4z^3 \end{eqnarray*}$ , und ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |f(z)-g(z)| < |g(z)| \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |f(z)-g(z)|= |-2z²+z+1| = |(1-2z^2)+1| \leq |1-2z^2|+|z| \leq 1- 2|z|^2+|z| = 2 < 4 = 4|z^3| = |g(z)| \end{eqnarray*}$

Ich hoff ganz fest, dass das stimmt, aber ich hab so meine Zweifel.
Du etwas von der pq-Formel gesagt, ich hab auch versucht, dass ganze in der From $\begin{eqnarray*} |(2z^2+1)(z-1)| \end{eqnarray*}$ abzuschätzen, aber erfolglos.

Liebe Grüsse
lyri

15.08.2012, 16:00

IfindU

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Zitat:

Original von LyriaEL

Also, mein g(z) ist $\begin{eqnarray*} g(z)= 4z^3 \end{eqnarray*}$ , und ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |f(z)-g(z)| < |g(z)| \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |f(z)-g(z)|= |-2z²+z+1| = |(1-2z^2)+z| \leq |1-2z^2|+|z| \leq 1- 2|z|^2+|z| = 2 < 4 = 4|z^3| = |g(z)| \end{eqnarray*}$

Ich hab oben ein 1 zu z korrigiert, was du vermutlich so meintest. Problematisch ist folgender Schritt
$\begin{eqnarray*} |1-2z^2|+|z| \leq 1- 2|z|^2+|z| \end{eqnarray*}$ . Du kannst dir leicht überlegen, dass dieser nicht gelten kann. Die Idee, die ich hatte war zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (1-2z^2)+z \end{eqnarray*}$ niemals im Betrag 4 werden kann für z aus dem Einheitsball. Wenn es niemals 4 werden kann, muss es vom Betrag immer größer oder kleiner als 4 sein.

Also kann man die Gleichung $\begin{eqnarray*} -2z^2 + z + 1 = 4 e^{2\pi i x} \end{eqnarray*}$ für x aus [0,1) betrachten, und zeigen dass jede Lösung davon im Betrag größer als 1 ist. (Dort kommen mögliche Rechenfehler ins Spiel).

15.08.2012, 16:22

LyriaEL

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Lieber IfinU,

ich kann dir leider überhaupt nicht folgen... traurig

Zitat:

Zitat: Original von LyriaEL Also, mein g(z) ist $\begin{eqnarray*} g(z)= 4z^3 \end{eqnarray*}$ , und ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |f(z)-g(z)| < |g(z)| \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} |f(z)-g(z)|= |-2z²+z+1| = |(1-2z^2)+z| \leq |1-2z^2|+|z| \leq 1- 2|z|^2+|z| = 2 < 4 = 4|z^3| = |g(z)| \end{eqnarray*}$ Ich hab oben ein 1 zu z korrigiert, was du vermutlich so meintest.

...welches 1 zu z? hö?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |1-2z^2|+|z| \leq 1- 2|z|^2+|z| \end{eqnarray*}$ .

zumindest DAS hab ich eingesehen Augenzwinkern

Zitat:

Die Idee, die ich hatte war zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (1-2z^2)+z \end{eqnarray*}$ niemals im Betrag 4 werden kann für z aus dem Einheitsball

ich glaub dir das, keine Frage, aber wie kann ich mir da sicher sein?

Zitat:

Also kann man die Gleichung $\begin{eqnarray*} -2z^2 + z + 1 = 4 e^{2\pi i x} \end{eqnarray*}$ für x aus [0,1) betrachten

hä? ... und was ist das x?

Entschuldige, dass ich so wenig mit deinen Tipps anfangen kann, ich glaube es liegt an der Hitze... -.-
Ich hoffe ganz fest, dass du noch etwas Geduld mit mir hast.

15.08.2012, 16:28

IfindU

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Wenn du dir deine Originalgleichung anschaust, siehst du das im 3. Term zweimal eine 1 auftaucht, aber kein z mehr. Das habe ich nur gemeint.

Dass $\begin{eqnarray*} (1-2z^2)+z \end{eqnarray*}$ niemals im Betrag 4 werden kann, sollst du mir glauben, du solltest es nachrechnen. Um zu zeigen, dass es niemals 4 werden kann, könnte man die Gleichung $\begin{eqnarray*} 1-2z^2+z =4 \end{eqnarray*}$ betrachten. Das ist eine quadratische Gleichung in z, und die kann man ohne weiteres lösen. Jetzt könnte es aber sein, dass es nicht 4, sondern -4 wird, also müsste man noch einmal $\begin{eqnarray*} 1-2z^2+z =-4 \end{eqnarray*}$ lösen und sich die Lösung anschauen. Und was, wenn es 4*i ist? Noch einmal $\begin{eqnarray*} 1-2z^2+z =4i \end{eqnarray*}$ lösen. Ich könnte unendlich viele weitere Gleichungen aufstellen, aber stattdessen habe ich die allgemeine Form der Gleichung hingeschrieben:
$\begin{eqnarray*} 1-2z^2+z =4e^{2i\pi x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [0,1) \end{eqnarray*}$ . Wenn wir x = 0 wählen, bekommen wir die erste Gleichung, für x = 1/2 die zweite Gleichung und für x = 1/4 sogar die dritte die ich beispielweise aufgelistet habe. Wenn du zeigen kannst dass für alle x die beiden Lösungen der quadratischen Gleichungen im Betrag größer als 1 sein, dann hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} |1-2z^2 +z| = 4 \end{eqnarray*}$ ebenfalls keine Lösung auf dem Einheitskreis. Hoffe es war verständlicher.

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