Rücksubstitution

15.08.2012, 01:25

Cheftheoretiker

Rücksubstitution

Hallo,

ich habe folgendes Integral $\begin{eqnarray*} \rm\int\frac{dx}{(x-1)^2+1} \end{eqnarray*}$

ich habe ein Problem bei der Rücksubstitution von folgendem Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \rm tan(u)=x-1 \end{eqnarray*}$

Ich bin auf folgende Stammfunktion gekommen: $\begin{eqnarray*} \rm F(u)=u+c \end{eqnarray*}$

Nun könnte ich ja einfach sagen, die Stammfunktion ist $\begin{eqnarray*} \rm arctan(x-1)=u \end{eqnarray*}$ und demnach wäre die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} \rm F(x)=arctan(x-1)+c \end{eqnarray*}$

Ich möchte allerdings den trigonometrischen Ausdruck nicht in der Stammfunktion stehen haben und gehe deswegen folgendermaßen vor:

$\begin{eqnarray*} \rm tan(u)=x-1 \end{eqnarray*}$

Der Tangens ist definiert als, $\begin{eqnarray*} \rm tan=\frac{sin}{cos} \end{eqnarray*}$ Bzw. $\begin{eqnarray*} \rm\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \end{eqnarray*}$

Nun muss $\begin{eqnarray*} \rm x-1 \end{eqnarray*}$ die Gegenkathete und $\begin{eqnarray*} \rm 1 \end{eqnarray*}$ die Ankathete sein. Darauß ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \rm AK^2+GK^2=H^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rm 1^2+(x-1)^2=H^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rm\sqrt{1+(x-1)^2}=H \end{eqnarray*}$

Nun umschreibe ich den $\begin{eqnarray*} \rm tan=\frac{sin}{cos}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}:\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}=\frac{(x-1)^2}{\sqrt{1+(x-1)^2}}:\frac{1}{\sqrt{1+(x-1)^2}}=(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

Das ist allerdings nicht meine Ausgangsfunktion. Was habe ich denn falsch gemacht? verwirrt

Viele Grüße und schonmal Dankeschön! smile

15.08.2012, 08:33

klarsoweit

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RE: Rücksubstitution

Zitat:

Original von hangman
Nun umschreibe ich den $\begin{eqnarray*} \rm tan=\frac{sin}{cos}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}:\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}=\frac{(x-1)^2}{\sqrt{1+(x-1)^2}}:\frac{1}{\sqrt{1+(x-1)^2}}=(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

Das ist allerdings nicht meine Ausgangsfunktion. Was habe ich denn falsch gemacht? verwirrt

Du setzt anscheinend für die Gegenkathete (x-1)² ein. Warum?

15.08.2012, 10:38

Cheftheoretiker

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RE: Rücksubstitution
Ich frage mich gerade generell ob das überhaupt funktioniert wenn dort eine Umkehrfunktion als Stammfunktion angegeben ist?

Irgendwie kann das ja nicht klappen da ich ja versuche den Tangens auf den Arctangens anzuwenden... verwirrt

15.08.2012, 10:57

klarsoweit

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RE: Rücksubstitution
Ich habe ehrlich gesagt auch nicht so richtig verstanden, was du eigentlich willst.

15.08.2012, 11:05

Cheftheoretiker

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RE: Rücksubstitution
Ok, dann hat sich das Thema erledigt. Big Laugh

Trotzdem danke.

Schönen Gruß Wink

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