Komplexe Gleichung mit z^3 lösen

15.08.2012, 09:01

svenhk1990

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Komplexe Gleichung mit z^3 lösen

Ich darf die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^3+(1-2j)z^2-(1+j)z=0 \end{eqnarray*}$ lösen.
Mein Ansatz war einen Linearfaktor ab zu spalten.
Und den Rest mittel pq Formel lösen.

Das schien für mich leider nicht richtig, da sich beim Abspalten schon direkt ein z=0 ergab und das nicht in den Lösungen vorhanden ist.

Wie gehe ich bei so einer Gleichung vor?

15.08.2012, 09:20

Mazze

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Zitat:

Das schien für mich leider nicht richtig, da sich beim Abspalten schon direkt ein z=0 ergab und das nicht in den Lösungen vorhanden ist.

Dann ist die Musterlösung entweder unvollständig oder falsch, oder aber Du hast hier nicht die korrekte Gleichung beschrieben. Denn z = 0 ist sehr wohl eine Lösung der obigen Gleichung.

15.08.2012, 09:36

svenhk1990

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Die Lösungen vom Prof. sind:
z_1= j
z_2= -1
z_3=+1

Also gibt es trotz Komplexerzahlen keine andere Vorgehensweise als bei einer Gleichung im rellen?

15.08.2012, 09:46

Mazze

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Offenbar ist -1 keine Lösung , denn

$\begin{eqnarray*} -1 + (1 - 2j) + (1 + j) = 1 - j \neq 0 \end{eqnarray*}$

Es ist auch

$\begin{eqnarray*} 1 + (1 - 2j) - (1 + j) = (1 - 3j) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Damit sind weder 1 noch -1 eine Lösung der Gleichung.

Zitat:

Also gibt es trotz Komplexerzahlen keine andere Vorgehensweise als bei einer Gleichung im rellen?

Grundsätzlich kann man genauso vorgehen. Also pq-Formel, ausklammern, Polynomdivision usw.

15.08.2012, 10:02

svenhk1990

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Vielen Dank für diesen Tipp!!! Damit hast du mir sehr weiter geholfen Wink

Wink

Freude

15.08.2012, 10:11

svenhk1990

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Hab es jetzt mal grade versucht.
Komme auf
z_1=0
z_2=0,5+j
z_3=-1,5+j

wenn ich jetzt 0,5 bzw. -1,5 einsetzte kommt aber leider nicht 0 raus unglücklich

unglücklich

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15.08.2012, 10:20

Mazze

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also :

$\begin{eqnarray*} z^2 + (1 - 2j)z - (1+j) = 0 \end{eqnarray*}$ (die Nullstelle z = 0 kennen wir ja)

Wie hast Du hier die übrigen beiden Nullstellen bestimmt?

15.08.2012, 10:31

svenhk1990

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ich versuche mich mit der pq formel

$\begin{eqnarray*} - \frac{1-2j}{2} +-\sqrt{\frac{(1-2j)^2}{4}+\frac{(1+j)*4}{4} } \end{eqnarray*}$

So schaut sie zu beginn aus.
Habe das q schon auf den gleichen nenner gebracht.
Jetzt habe ich den Ausdruck unter der Wurzel auf den gleichen Nenner gebracht.
Nach auflösen des Binoms und zusammenfassen komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1,25-j} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich es in die Exp.form gebracht um die Wurzel lösen zu können.
Anschließend wieder in die arth. oder normal Form.

Bis dahin bin ich jetzt.

Bei meinem ersten Versuch habe ich das Binom falsch gelöst Hammer

Hammer

Kannst du mir so weit den erstmal bei der Vorgehensweise zustimmen?

15.08.2012, 10:44

Mazze

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Also ich komme unter der Wurzel auf :

$\begin{eqnarray*} (1 - 2j)^2 = 1 - 4 - 4j = -3 - 4j \end{eqnarray*}$

und insgesamt (q = -(1 + j)):

$\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{4} - q = \frac{-3 - 4j}{4} + \frac{(1 + j)4}{4} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

15.08.2012, 11:07

svenhk1990

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Dann müsste es jetzt so aus sehen:
$\begin{eqnarray*} -\frac{1-2j}{2} +-\sqrt{\frac{1}{4} } \end{eqnarray*}$

Demnach käme ich auf:
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}+j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{4}+j \end{eqnarray*}$

Ich muss doch jetzt zur Prüfung -1/4 bzw. -3/4 anstelle z einsetzten!?

15.08.2012, 11:42

Mazze

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Zitat:

Demnach käme ich auf:

Es ist :

$\begin{eqnarray*} -\frac{(1 - 2j)}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2} + j \pm \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} x_2 = j \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} x_3 = -1 + j \end{eqnarray*}$

Das einsetzen (alles mit j)

edit : Vorzeichen korrigiert

15.08.2012, 12:16

svenhk1990

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Also ich habe jetzt in die Ausgangsformel
anstelle z jetzt einfach j eingesetzt.
Wenn ich das durch rechne und j^2 immer schön zu -1 werden lass,
dann komme ich auf ein Ergebnis von -4j.

Ist das neben der 0 jetzt also das zweite Ergebnis.
Ich hab leider noch etwas Verständnisproblem was ich wann warum tun muss deshalb dauerts etwas länger unglücklich

unglücklich

15.08.2012, 12:32

Mazze

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Zitat:

Ich hab leider noch etwas Verständnisproblem was ich wann warum tun muss deshalb dauerts etwas länger unglücklich

Wir wollen eine Gleichung lösen, wir suchen also alle komplexen Zahlen z die die Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^3+(1-2j)z^2-(1+j)z=0 \end{eqnarray*}$

erfüllen, wenn das hier

Zitat:

Wenn ich das durch rechne und j^2 immer schön zu -1 werden lass, dann komme ich auf ein Ergebnis von -4j.

passiert heißt das, dass entweder die Lösung falsch ist oder aber Du dich verrechnet hast. In diesem Fall gilt zweiteres. Es ist

$\begin{eqnarray*} j^3 + (1 -2j)j^2 - (1 + j)j = -j + -1 + 2j -j + 1 = 2j - j - j -1 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Du musst hier wirklich exakt auf die Vorzeichen achten.

15.08.2012, 12:46

svenhk1990

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Okay wenn ich jetzt schon mit verrechnen Anfange mach ich jetzt erstmal eine Pause mit den komplexen Zahlen.
Ich danke Dir bis hierher sehr für deine Hilfe!

15.08.2012, 13:19

Nubler

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kannst du mal die aufgabenstellung+ganze musterlösung posten?

15.08.2012, 13:43

svenhk1990

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Habs nochmal Probiert und es klappt!
Ich kann es nach vollziehen!!!
Morgen werde ich mich wieder an solchen aufgaben probieren smile

smile

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