Vollständige Induktion

15.08.2012, 13:53

L.A.

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Vollständige Induktion

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} = \frac{1}{6}{n} \left({n} + 1\right)\left(2n+1\right) \end{eqnarray*}$

Setze ich in auf beiden Seiten 1 ein... bekomme ich als Ergebniss auf beiden Seiten 1. Damit ist der Induktionsanfang fertig. Jetzt n+1

Wie funktioniert nun der Induktionsschritt?

15.08.2012, 14:16

Mystic

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RE: Vollständige Induktion
Zunächst ist der "richtige" Induktionsanfang natürlich n=0, wo man als linke Seite dann die "leere Summe" mit Wert 0 erhält...

Der Induktionsschritt geht dann so

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2=\underbrace{\sum_{k=1}^n k^2}_{\text{Gültigkeit der Formel für n anwenden!}}+(n+1)^2=\ldots \end{eqnarray*}$

15.08.2012, 20:11

L.A.

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RE: Vollständige Induktion
Das verstehe ich leider nicht! Was muss ich machen?

Woher kommt denn jetzt:

$\begin{eqnarray*} +(n+1)^2=\ldots \end{eqnarray*}$

Der Indexwert beträgt 1 darum dachte ich, dass ich dort anfange und habe 1 eingesetzt. Der
Induktionsanfang ist mir klar. Jetzt will ich das ja beiweißen, dass es immer geht also egal was ich einsetze, es passt. das heißt dann n+1??

15.08.2012, 20:37

Helferlein

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Vielleicht solltest Du Dir den Artikel über die vollständige Induktion einmal gründlich durchlesen. Deine Frage lässt vermuten, dass Du das Prinzip noch nicht genug verstanden hast.

15.08.2012, 23:02

L.A.

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also jetzt für n+1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} = \frac{1}{6}{n+1} \left({n+1} + 1\right)\left(2n+1+1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} = \frac{1}{6}{n+1} \left({n+2} \right)\left(2n+2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} =\frac{1}{6}{n+1} \left({2n^2 + 6n + 4} \right) \end{eqnarray*}$

dieses ergebniss soll auch rauskommen wenn ich nun das hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}{n} \left({n} + 1\right)\left(2n+1\right) + n+1 \end{eqnarray*}$

rechne??

16.08.2012, 00:38

Simmi

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Nee, das ist anders zu verstehen. Du müsstest vielleicht erstmal grundlegend verstehen worum es bei der vollständigen Induktion geht. Da könntest du zum Beispiel auf den entsprechenden Link drücken den dir Helferlein gegeben hat.

Aber konkret zu deinem Problem:

Die Idee beim Induktionsschritt ist ja die Folgende: Du nimmst an, dass wenn du weißt dass die Gleichung für ein bestimmtes n gilt, daraus folgt, dass die Gleichung auch für den Nachfolger von diesem n gilt.

Also nehmen wir an, es existiert ein n aus den natürlichen Zahlen so dass:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

( Das ist die sogenannte Induktionsvoraussetzung und die muss irgendwann in der Beweisführung mal eingesetzt werden. )

Wir möchten nun also zeigen, dass dann auch diejenige Gleichung gilt die wir erhalten, wenn wir in der obigen Gleichung jedes n durch (n+1) ersetzen. Ich würde empfehlen auch immer erstmal die Klammern um (n+1) bei der Substitution zu setzen. (Und beachte, dass sich das n über dem Summenzeichen auch verändert)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{2} = \frac{(n+1)*((n+1)+1)*(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$

also etwas zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{2} = \frac{(n+1)*(n+2)*(2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$

Dass, diese Gleichung gilt soll nun unter der Annahme, dass die Induktionsvoraussetzung gilt, bewiesen werden. Und wie geht man da vor? Nun ja, Mystic hat das bereits angedeutet.

Du fängst hier also am besten mit der linken Seite der Gleichung an und formst diese so um, dass du die Induktionsvoraussetzung einsetzen kannst:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{2} = \sum\limits_{k=1}^n k^{2} + (n+1)^2 = ...? \end{eqnarray*}$

So und jetzt kommst du noch mal. Was musst du hier jetzt einsetzen? Was steht als nächstes hinter dem Gleichheitszeichen?

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16.08.2012, 09:29

L.A.

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Ich habe mir die Links angeschaut und gebe mir Mühe es zu verstehen. Was ich gemacht habe, war ja der gleiche Anatz. Ich habe ja auch das n mit n+1 ersetzt und zusammengefasst. Zudem dann noch die Binomische Formel gebildet.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{2} = \sum\limits_{k=1}^n k^{2} + (n+1)^2 = \sum\limits_{k=1}^n k^{2} + (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{2} = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} + (n+1) \end{eqnarray*}$

16.08.2012, 09:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von L.A.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{2} = \sum\limits_{k=1}^n k^{2} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Bis dahin ist es noch richtig. Der Rest ist dann falsch, weil du aus (n+1)² einfach (warum auch immer) ein (n+1) machst.

Der richtige Schritt ist, daß du für die Summe in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ die Induktionsvoraussetzung einsetzt.

16.08.2012, 10:09

L.A.

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Achso ok, ich orientiere mich am Beispiel 1 von hier [WS] Vollständige Induktion Deswegen wohl (n+1)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{2} = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

16.08.2012, 10:29

klarsoweit

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Orientieren ist gut, aber stur kopieren ist schlecht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun denn, jedenfalls ist diese Rechnung erstmal richtig. Jetzt mußt du den Ausdruck auf der rechten Seite zusammenfassen und schauen, daß $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1) \cdot (n+2) \cdot (2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$ rauskommt.

16.08.2012, 10:55

L.A.

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{2} = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} + (n^2+2n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{2} = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} + \frac{6 * (n^2+2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{2} = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} + \frac{(6n^2+12n+6)}{6} \end{eqnarray*}$

16.08.2012, 11:03

klarsoweit

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So weit, so gut. Kleiner Tipp, wie sich die ganze Rechnerei etwas vereinfachen läßt:

Erstmal nicht das (n+1)² auflösen, sondern ein (n+1) ausklammern. Dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = (n+1) \cdot \left( \frac{n*(2n+1)}{6} + (n+1) \right) = (n+1) \cdot \left( \frac{n*(2n+1)}{6} + \frac{6(n+1)}{6} \right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt den Ausdruck in der Klammer zusammenfassen.

16.08.2012, 11:21

L.A.

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$\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot \left( \frac{(2n^2+n)}{6} + \frac{(6n+6)}{6} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot ( \frac{(2n^2+7n)}{6}) \end{eqnarray*}$

Ich soll doch auf die zusammengefasste Gleichung kommen wo man n mit n+1 eingesetzt hat...sprich die Gleichung von Simmi. Bin irgendwie woanders

16.08.2012, 11:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von L.A.
$\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot ( \frac{(2n^2+7n)}{6}) \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot ( \frac{(2n^2+7n + 6)}{6}) \end{eqnarray*}$

Und lustigerweise ist $\begin{eqnarray*} (2n+3) \cdot (n+2) = 2n^2 + 7n + 6 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.08.2012, 12:06

L.A.

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voll lustig Big Laugh

Big Laugh

nein im ernst, dass war es jetzt? Jetzt habe ich bewießen, dass die Gleichung stimmt?

Hier die Schritte die ich, verstanden habe:

1. Man schaut beim Induktionsanfang, ob die Aussage richtig ist. Man setzt den Indexwert von der Sume ein und prüft, ob auf beiden Seiten das selbe Ergebniss rauskommt falls ja, dann Induktionsschritt

2. Man ersetzt jedes n mit n+1 und vereinfacht die Gleichung bis es nicht mehr geht!

3. Jetzt schnappt man sich die Summe, ersetzt diese mit der Aussage und addiert zusätlich noch das n+1 dazu.. jedoch muss man aufpassen wie die Summe gestellt ist... bei diesem Beispiel war es jetzt (n+1)² .... dann wie bei Punkt 2. vereinfachen und hoffen, dass dieselbe Gleichung überbleibt, wie von Punkt 2.

So gehts ne?

Hm ok meine Probleme sind dann nur noch vereinfachen, weil ich mich da gerne verzettel... und aufpassen, ob (n+1) oder (n+1)² oder was auch immer die Summe darstellt zu nehmen. Ich habe hier noch eine zweite Aufgabe: Ich versuche diese mal ebend komplett alleine...:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n k*2^k-1 = (n-1) * 2^n \end{eqnarray*}$

1) Indexwert einsetzen (2):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n 2*2^2-1 = (2-1) * 2^2 \end{eqnarray*}$

4 = 4

Jetzt gehts weiter mit n zu n+1 ersetzen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n k*2^k-1 = ((n+1)-1) * 2^(n+1) \end{eqnarray*}$ // das soll hoch n+1 sein

vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n k*2^k-1 = n* 2^(n+1) \end{eqnarray*}$ // das soll hoch n+1 sein
Diese Gleichung muss gleich wieder rauskommen

Jetzt die Summe anpassen:

Es wurde ja gesagt, dass der Linke Ausdruck gleich sei also kann man die Summe ersetzen mit:

$\begin{eqnarray*} (n-1) * 2^n \end{eqnarray*}$

Zusätzlich noch das n+1 addieren! Aufpassen.. wie die Summe aufgebaut ist.. ok das ist jetzt für mich etwas schwieriger, hoffe ich mach es richtig:

$\begin{eqnarray*} n*2^n-(n+1) \end{eqnarray*}$ ne, weiß nicht... aber zusammen wäre es dann so gewesen:

$\begin{eqnarray*} (n-1) * 2^n + n*2^n-(n+1) \end{eqnarray*}$ und das muss dan die Gleichung von oben ergeben, richtig?

16.08.2012, 12:24

Simmi

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Zitat:

Original von L.A.
voll lustig Big Laugh

Big Laugh

nein im ernst, dass war es jetzt? Jetzt habe ich bewießen, dass die Gleichung stimmt?

Hier die Schritte die ich, verstanden habe:

1. Man schaut beim Induktionsanfang, ob die Aussage richtig ist. Man setzt den Indexwert von der Sume ein und prüft, ob auf beiden Seiten das selbe Ergebniss rauskommt falls ja, dann Induktionsschritt

2. Man ersetzt jedes n mit n+1 und vereinfacht die Gleichung bis es nicht mehr geht!

3. Jetzt schnappt man sich die Summe, ersetzt diese mit der Aussage und addiert zusätlich noch das n+1 dazu.. jedoch muss man aufpassen wie die Summe gestellt ist... bei diesem Beispiel war es jetzt (n+1)² .... dann wie bei Punkt 2. vereinfachen und hoffen, dass dieselbe Gleichung überbleibt, wie von Punkt 2.

So gehts ne?

Naja, da liegt schon noch einiges im Argen...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n k*2^k-1 = (n-1) * 2^n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von L.A.
1) Indexwert einsetzen (2):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n 2*2^2-1 = (2-1) * 2^2 \end{eqnarray*}$

4 = 4

Nee:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^2 k*2^k-1 = (2-1) * 2^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von L.A.
Jetzt gehts weiter mit n zu n+1 ersetzen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n k*2^k-1 = ((n+1)-1) * 2^(n+1) \end{eqnarray*}$ // das soll hoch n+1 sein

Auch hier hast du wieder vergessen, links das n mit (n+1) zu ersetzen.

(Sorry für die nur knappen Anmerkungen ich muss jetzt erstmal essen)

16.08.2012, 12:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von L.A.
voll lustig Big Laugh

Big Laugh

nein im ernst, dass war es jetzt? Jetzt habe ich bewießen, dass die Gleichung stimmt?

Nun ja, du hast nun unter Berücksichtigung der diversen Zwischenschritte bewiesen, daß die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{2} = \frac{(n+1)*(n+2)*(2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$ wahr ist. Und damit ist dann insgesamt der Beweis erbracht.

Zitat:

Original von L.A.
Hier die Schritte die ich, verstanden habe:

1. Man schaut beim Induktionsanfang, ob die Aussage richtig ist. Man setzt den Indexwert von der Sume ein und prüft, ob auf beiden Seiten das selbe Ergebniss rauskommt falls ja, dann Induktionsschritt

2. Man ersetzt jedes n mit n+1 und vereinfacht die Gleichung bis es nicht mehr geht!

3. Jetzt schnappt man sich die Summe, ersetzt diese mit der Aussage und addiert zusätlich noch das n+1 dazu.. jedoch muss man aufpassen wie die Summe gestellt ist... bei diesem Beispiel war es jetzt (n+1)² .... dann wie bei Punkt 2. vereinfachen und hoffen, dass dieselbe Gleichung überbleibt, wie von Punkt 2.

So gehts ne?

Nun ja, Punkt 3 ist etwas unsauber beschrieben. Erstmal kommt es darauf, ob du überhaupt eine Summe in deiner Aussage hast. Und dann kommt es darauf an, wie deine Summe aussieht. Das heißt, hier ist auch erstmal der richtige Umgang mit dem Summensymbol gefragt. Wenn man das Summensymbol nicht verstanden hat, sollte man eigentlich von allen weiteren Rechnungen die Finger lassen.

Vielleicht hilft nochmal ein kleiner Exkurs "vollständige Induktion":

Du hast eine Aussage A(n), die du für alle n aus N oder zumindest für einen Teil davon zeigen sollst. Dabei kann die Aussage A(n) eine Gleichung, eine Ungleichung oder sonstwas sein.

Jetzt gibt es 2 Dinge zu tun:
1. Induktionsanfang
2. Induktionsschluß

zu 1: Da wird für n der erste Wert eingesetzt, für den die Aussage gelten soll. In der Regel ist das n=1. Das Einsetzen des Anfangswertes sollte zu einer wahren Aussage führen.

zu 2: beim Induktionsschluß wird angenommen, daß die Aussage A(n) für ein n aus N bewiesen ist. Die Aussage A(n) ist nun also die Induktionsvoraussetzung. Zu zeigen ist jetzt, daß dann auch die Aussage A für die nächste Zahl (das wäre also n+1) gilt. Das heißt, es muß gezeigt werden, daß dann auch A(n+1) gilt. In Formel:
A(n) ==> A(n+1)

Wenn beides erledigt ist, gilt die Aussage A(n) für alle n, die größer-gleich dem Wert aus dem Induktionsanfang sind.

16.08.2012, 13:18

L.A.

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Über die Summenformel n+1 zu setzen klappt bei mir im Editor nicht.

Nochmal:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n k*2^k-1 = (n-1) * 2^n \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n 2*2^2-1 = (2-1) * 2^2 \end{eqnarray*}$

Auf beiden Seiten kommt 4 raus, 4=4 passt.

Induktionsschritt: n-> n+1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n k*2^k-1 = ((n+1)-1) * 2 ^ n+1 \end{eqnarray*}$

der letzte Teil soll 2 hoch n+1 sein, klappt auch nicht im Editor.

Zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n k*2^k-1 = n * 2 ^ n+1 \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

16.08.2012, 13:28

Simmi

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Zitat:

Original von L.A.
Über die Summenformel n+1 zu setzen klappt bei mir im Editor nicht.

Probiers mal mit geschweiften Klammern um das n+1 im Editor an der entsprechenden Stelle: {n+1}

16.08.2012, 13:31

L.A.

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n k*2^k-1 = (n-1) * 2^n \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n 2*2^2-1 = (2-1) * 2^2 \end{eqnarray*}$

Auf beiden Seiten kommt 4 raus, 4=4 passt.

Induktionsschritt: n-> n+1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n+1} k*2^k-1 = ((n+1)-1) * 2 ^ {n+1} \end{eqnarray*}$

der letzte Teil soll 2 hoch n+1 sein, klappt auch nicht im Editor.

Zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n+1} k*2^k-1 = n * 2 ^ {n+1} \end{eqnarray*}$

Richtig?!

16.08.2012, 13:34

Simmi

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Dein Induktionsanfang ist falsch. Das hab ich aber auch schon weiter oben geschrieben, wie es richtig lauten sollte.

Das was bei dir unter Induktionsschritt steht muss dann noch mittels Umformung und einsetzen der Induktionsvoraussetzung bewiesen werden.

Edit: Sag mal stimmt die Formel überhaupt? Ich seh grad, dass der Induktionsanfang so oder so nicht hinhaut ôo

16.08.2012, 13:41

L.A.

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n k*2^k-1 = (n-1) * 2^n \end{eqnarray*}$

Könntest du mir die Aufgabe ebend vorrechnen? Ich weiß, hier soll man es möglichst selber machen, aber ich komme nicht weiter und ich bin eher jemand, der es irgendwann versteht wenn man mir es vorzeigt.

16.08.2012, 13:48

L.A.

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Aufgabe)

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion für n größer/gleich 2:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n k*2^{k-1} = (n-1) * 2^n \end{eqnarray*}$

16.08.2012, 13:53

Simmi

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Achso das soll wohl:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n k*2^{k-1} = (n-1) * 2^n \end{eqnarray*}$

heißen?

Na dann...

Setzet du eben auf beiden Seiten überall dort wo ein n steht eine 2 ein. Und nicht bei den k (!)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^2 k*2^{k-1} = (2-1) * 2^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt erst beim auflösen der Summe setzt man für k die Werte ein die es laut Summe durchläuft. Das ist in diesem Fall nur der Wert 2.

$\begin{eqnarray*} 2*2^{2-1} = (2-1) * 2^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*2^{1} = 1 * 2^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 = 4 \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------------------------------

Jetzt nochmal zum Induktionsschritt:

Wir betrachten den Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n+1} k*2^{k-1} \end{eqnarray*}$

Und versuchen jetzt diesen Ausdruck so umzuformen, dass etwas in der Art wie:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n} k*2^{k-1} + irgendwas \end{eqnarray*}$

dasteht. Was muss das "irgendwas" sein, damit beide Ausdrücke gleich sind?

16.08.2012, 14:06

L.A.

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Zitat:

Original von Simmi

Und versuchen jetzt diesen Ausdruck so umzuformen, dass etwas in der Art wie:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n} k*2^{k-1} + irgendwas \end{eqnarray*}$

dasteht. Was muss das "irgendwas" sein, damit beide Ausdrücke gleich sind?

Ich würde jetzt die Linke Seite

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n} k*2^{k-1} \end{eqnarray*}$

ersetzen mit:

$\begin{eqnarray*} \left(n-1\right) * 2^n \end{eqnarray*}$

Dann bleibt über:

$\begin{eqnarray*} \left(n-1\right) * 2^n + irgendwas \end{eqnarray*}$

Irgendwas muss ja etwas mit n+1 zu tun haben oder?

16.08.2012, 14:16

Simmi

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Also jetzt mal eins nach dem anderen. Bevor wir hier die Induktionsvoraussetzung einsetzen, wollen wir das erstmal ganz sachlich hinschrieben. Das hier soll gelten:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n+1} k*2^{k-1} = \sum\limits_{k=2}^{n} k*2^{k-1} + irgendwas \end{eqnarray*}$

Wir möchten die Summe nicht in den Grenzen von 2 bis n+1 sondern in den Grenzen von 2 bis n hinschreiben. Deswegen trennen wir den (n+1)ten Summanden ab. Das bedeutet für unser irgendwas:

$\begin{eqnarray*} irgendwas=(n+1)*2^{(n+1)-1} \end{eqnarray*}$

Also insgesammt gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n+1} k*2^{k-1} = \sum\limits_{k=2}^{n} k*2^{k-1} + (n+1)*2^{(n+1)-1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt erst setzen wir die Induktionsvoraussetzung ein, so dass diese Gleichung also gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n} k*2^{k-1} + (n+1)*2^{(n+1)-1} = (n-1)*2^n + (n+1)*2^{(n+1)-1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt musst du zusehen, dass du das weiter umformst bis du auf

$\begin{eqnarray*} n*2^{n+1} \end{eqnarray*}$

kommst.

16.08.2012, 14:31

L.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist denn der Schritt hin, wo man erst diesselbe Gleichung mit n+1 ersetzt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n+1} k*2^k-1 = ((n+1)-1) * 2 ^ {n+1} \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n+1} k*2^k-1 = n * 2 ^ {n+1} \end{eqnarray*}$

16.08.2012, 14:42

Simmi

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Der ist nirgendwo hin. Das haben wir ja schon weiter oben mal hingeschrieben. Ich will ja hier nicht alles doppelt und dreifach hinschreiben.

16.08.2012, 15:06

L.A.

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ok

Big Laugh

hm dann leg ich mal los:

$\begin{eqnarray*} = (n-1)*2^n + (n+1)*2^{(n+1)-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2n^n-2^n + 2n^{(n+1)-1} + 2^{(n+1)-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2n^n-2^n + 2n^{n} + 2^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 4n^n \end{eqnarray*}$

??

16.08.2012, 15:21

Simmi

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Ok, das probierst du am besten gleich nochmal.

Wie kommst du schon allein auf sowas wie $\begin{eqnarray*} n^n \end{eqnarray*}$ ?

Und $\begin{eqnarray*} 2^{(n+1)-1} \end{eqnarray*}$ würd ich auch erstmal vereinfachen bevor ich weiter mache.

16.08.2012, 15:45

L.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 2^{n} * n = 2n^{n} \end{eqnarray*}$

etwa nicht?

16.08.2012, 15:55

Simmi

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Natürlich nicht O_O

Wenn du mal 3 für das n einsetzt siehst du schon, dass da verschiedene Sachen rauskommen. Aber auch generell wäre es gut, wenn du die Dinge die du hinschreibst, auch mehrmals selber auf ihre Plausibilität überprüfen würdest

16.08.2012, 16:05

L.A.

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oha sehe ich ein aber was soll denn da sonst rauskommen verwirrt

verwirrt

sry

16.08.2012, 16:12

Simmi

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$\begin{eqnarray*} (n-1)*2^n + (n+1)*2^{(n+1)-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (n-1)*2^n + (n+1)*2^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [ (n-1) + (n+1) ]*2^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [ n - 1 + n +1 ]*2^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [2n]*2^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = n*2*2^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = n*2^{n+1} \end{eqnarray*}$

16.08.2012, 16:21

L.A.

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krass. darauf komme ich gar nicht von selbst. auch das die vorletzten zeile mit hilfe eines potenzgesetzes zusammengefasst wurde... .. klar jetzt sieht es logisch aus... aber wäre ich nicht drauf gekommen, deswegen danke! ich schau mir das nochmal in ruhe an und hoffe ich habe etwas raus gelernt

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