Konjugiert komplex erweitern

15.08.2012, 15:18

Anaconda55

Konjugiert komplex erweitern

Hallo ich möchte folgende Aufgabe konjugiert komplex erweitern, damit ich Real getrennt zum Imaginärteil erhalte.

Hab ich dies richtig gemacht? Ich habe leider keine Musterlösung.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+2 \theta T_0 j\omega + {T_0}^2 (j\omega)^2} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-(\omega T_0)^2}{1+4(\theta T_0 \omega)^2} - j \frac{2\theta T_0 \omega}{1+4(\theta T_0 \omega)^2} \end{eqnarray*}$

j ist i die Imaginäre Zahl. i^2 = -1

Ist dies richtig?

19.08.2012, 15:06

Che Netzer

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RE: Konjugiert komplex erweitern
Hallo,

der Nenner ist noch falsch, wie hast du den denn bestimmt?

mfg,
Ché Netzer

19.08.2012, 15:16

Monoid

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RE: Konjugiert komplex erweitern
Er kann nur die 3. binomische formel im Nenner angewandt haben, sonst wäre der Zahler nicht richtig.

Gruß
Mmm

19.08.2012, 15:18

Che Netzer

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RE: Konjugiert komplex erweitern
Das scheint mir aber so, als wäre der Term $\begin{eqnarray*} -T_0^2\omega^2 \end{eqnarray*}$ dabei verschwunden, deswegen frage ich nach.

19.08.2012, 15:24

Monoid

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RE: Konjugiert komplex erweitern

Zitat:

Original von Che Netzer
Das scheint mir aber so, als wäre der Term $\begin{eqnarray*} -T_0^2\omega^2 \end{eqnarray*}$ dabei verschwunden, deswegen frage ich nach.

Im Nenner? Was hast eigentlich im nenner raus?

Gruß
Mmm

19.08.2012, 15:27

Anaconda55

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Zitat:

Original von Che Netzer
Das scheint mir aber so, als wäre der Term $\begin{eqnarray*} -T_0^2\omega^2 \end{eqnarray*}$ dabei verschwunden, deswegen frage ich nach.

$\begin{eqnarray*} T_0^2\omega^2 \end{eqnarray*}$ steckt ja noch drin und aus dem Minus wurde ein Plus da $\begin{eqnarray*} j^2 \end{eqnarray*}$ Minus 1 ist.

19.08.2012, 15:38

Monoid

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Konjugiert komplexe Zahl
Hallo,
Was hast du denn angewandt, 3. Binomische Formel?

Gruß
Mmm

19.08.2012, 15:42

Che Netzer

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Im ursprünglichen Nenner haben wir ja
$\begin{eqnarray*} (1-T_0^2\omega^2)+j(2\theta T_0\omega) \end{eqnarray*}$ .
Wenn du das mit dem konjugiert Komplexem erweiterst, hast du tatsächlich "Realteil² plus Imaginärteil²".

Ohne den besagten Term wäre der Nenner richtig, aber anscheinend ist beim Quadrat des Realteils etwas durcheinandergeraten.

19.08.2012, 15:50

Anaconda55

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Ich hab es noch einmal komplett aufgeschrieben.
Habe die binomische Formel nicht direkt angewendet sondern die Terme ausmultipliziert.
Vielleicht findet ihr hier den Fehler?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+2 \theta T_0 j\omega + {T_0}^2 (j\omega)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+2 \theta T_0 j\omega - ({T_0} \omega)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - (\omega T_0)^2 - 2 \theta T_0 j \omega}{(1-(\omega T_0)^2 + 2 \theta T_0 j \omega) \cdot (1-(\omega T_0)^2 - 2 \theta T_0 j \omega)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - (\omega T_0)^2 - 2 \theta T_0 j \omega}{1-(\omega T_0)^2 - 2 \theta T_0 j\omega -(\omega T_0)^2 + (\omega T_0)^4 + 2\theta {T_0}^3 j \omega^3 + 2\theta T_0 j \omega - 2 \theta {T_0}^3 j \omega^3 - 4 \theta^2 {T_0}^2 j^2 \omega ^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - (\omega T_0)^2 - 2 \theta T_0 j \omega}{1+4(\theta T_0 \omega)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-(\omega T_0)^2}{1+4(\theta T_0 \omega)^2} - j \frac{2\theta T_0 \omega}{1+4(\theta T_0 \omega)^2} \end{eqnarray*}$

19.08.2012, 16:02

Che Netzer

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Soweit ich es sehe, stimmt das hier noch:

Zitat:

Original von Anaconda55
$\begin{eqnarray*} \frac{1 - (\omega T_0)^2 - 2 \theta T_0 j \omega}{1-(\omega T_0)^2 - 2 \theta T_0 j\omega -(\omega T_0)^2 + (\omega T_0)^4 + 2\theta {T_0}^3 j \omega^3 + 2\theta T_0 j \omega - 2 \theta {T_0}^3 j \omega^3 - 4 \theta^2 {T_0}^2 j^2 \omega ^2} \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt verschwinden aber plötzlich ein paar Terme zu viel.
Es sieht so aus, als hättest du $\begin{eqnarray*} -(\omega T_0)^2-(\omega T_0)^2=-(\omega T_0)^4 \end{eqnarray*}$ gerechnet.

19.08.2012, 16:24

Anaconda55

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Ja, das war der Fehler. Danke.

$\begin{eqnarray*} \frac{1-(\omega T_0)^2}{1-(\omega T_0)^2 (2 - (\omega T_0)^2)} - j \frac{2\theta T_0 \omega}{1-(\omega T_0)^2 (2 - (\omega T_0)^2)} \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt so?

19.08.2012, 16:30

Che Netzer

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Jetzt hast du den Term mit dem $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ vergessen, der anfangs noch dastand Augenzwinkern

19.08.2012, 16:45

Anaconda55

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Zitat:

Original von Che Netzer
Jetzt hast du den Term mit dem $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ vergessen, der anfangs noch dastand Augenzwinkern

Das ist verrückt Hammer

$\begin{eqnarray*} \frac{1-(\omega T_0)^2}{1-(\omega T_0)^2 (2-(\omega T_0)^2 - 4 \cdot \theta^2)} - j \frac{2\theta T_0 \omega}{1-(\omega T_0)^2 (2-(\omega T_0)^2 - 4 \cdot \theta^2)} \end{eqnarray*}$

Jetzt stimmts aber. Auch wenn ich es total umständlich gerechnet habe. Big Laugh

19.08.2012, 17:15

Che Netzer

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Ja, ich glaube, das stimmt jetzt smile

Generell gilt auch:
$\begin{eqnarray*} (x+jy)(x-jy)=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ .
In diesem Fall müsste man dann für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nochmal eine binomische Formel anwenden.
So wäre das vielleicht etwas kürzer Augenzwinkern

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