Differentialrechnung mehrerer reeller Veränderlicher

15.08.2012, 17:56

Massek

Differentialrechnung mehrerer reeller Veränderlicher

Meine Frage:
Habe die funktion f(x,y) = x/ lny

die übung lautet Bestimmen Sie die Höhenlinien für c=1 und c=-1

Meine Ideen:
für mich ist die höhenlinie eigentlich die variable z die sich durch einsetzten der anderen variablen ergibt, was soll ich dann mit dem c?

Bin sehr dankbar für jede Hilfe

15.08.2012, 18:03

Che Netzer

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RE: Dierentialrechnung mehrerer reeller Veranderlicher
Hallo,

ich schätze, die Funktion soll auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R\times(0,\infty) \end{eqnarray*}$ definiert sein.

Du sollst nun also die Kurve in $\begin{eqnarray*} \mathbb R\times(0,\infty) \end{eqnarray*}$ bestimmen, auf der $\begin{eqnarray*} f(x,y)=c \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R,\,x\mapsto\lVert x\rVert \end{eqnarray*}$ wären die Höhenlinien zu $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ also Kreise mit Radius $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ um den Nullpunkt.

mfg,
Ché Netzer

15.08.2012, 18:11

Massek

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jo stimmt habs verstanden, hab dan für c=1 die höhenlinie y=e^x und für c=-1 die höhenlinie y=e^-x

einfach ausgedrückt ist das die funktion f(x) die auf der höhe c sitzt.

15.08.2012, 18:15

Che Netzer

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Zitat:

Original von Massek
jo stimmt habs verstanden, hab dan für c=1 die höhenlinie y=e^x und für c=-1 die höhenlinie y=e^-x

Das hättest du auch einfach als $\begin{eqnarray*} x=\ln(y) \end{eqnarray*}$ stehen lassen können. (außer euch wurde es so aufgetragen)

Zitat:

einfach ausgedrückt ist das die funktion f(x) die auf der höhe c sitzt.

Was meinst du denn damit? $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist doch von zwei Variablen abhängig, nicht nur von einer.
Meinst du etwas wie eine Funktion $\begin{eqnarray*} y=y(x) \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f(x,y(x))=c \end{eqnarray*}$ ?
Das wäre auch noch nicht ganz richtig; in meinem Beispiel von oben kann man weder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ setzen.

15.08.2012, 18:54

Massek

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ich meinte eig damit das zb bei der höhe c=z=1 es eine funktion f(x) existiert
so hab ich das verstanden.

15.08.2012, 19:14

Che Netzer

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Zitat:

Original von Massek
ich meinte eig damit das zb bei der höhe c=z=1 es eine funktion f(x) existiert

Das verstehe ich nicht.
"Bei einer Höhe existiert eine Funktion"?
Irgendeine Funktion existiert jedenfalls immer. Welche Eigenschaften soll die denn haben und wie hängt sie mit dieser Höhe zusammen?

15.08.2012, 19:39

Massek

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hmm
also ich würde sagen es wäre vllt besser wenn du es noch mal von deiner ansicht aus interpretierst
etwas genauer hab das nämlich mit dem R->... Xbetrag usw net genau nachvollziehen können

15.08.2012, 19:47

Che Netzer

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Unter einer Höhenlinie einer Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ zu einer Höhe $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ würde ich die Menge $\begin{eqnarray*} M_c\subset X \end{eqnarray*}$ verstehen, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} x\in M_c\Leftrightarrow f(x)=c \end{eqnarray*}$ ,
also
$\begin{eqnarray*} M_c=\{x\in X:f(x)=c\} \end{eqnarray*}$ .

Das Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R,\, f(x)=\lVert x\rVert=\sqrt{x_1^2+x_2^2} \end{eqnarray*}$ (die euklidische Norm, ich hoffe, die ist bekannt).
In diesem Fall ist $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ der Einheitskreis. Generell ist eine Höhenlinie zu $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ ein Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ um den Nullpunkt.
Ist die Höhenlinie nicht so eindeutig zu umschreiben, würde ich noch eine Gleichung angeben oder die Kurve parametrisieren.
In deinem Fall kannst du sie als Graphen einer Funktion angeben bzw. mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} x=\ln y \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} y=\mathrm e^x \end{eqnarray*}$ ).

PS/Edit: Die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} M_c \end{eqnarray*}$ habe ich mir gerade nur ausgedacht, das dürfte keine allgemein benutzte Schreibweise sein.

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