Koeffizientenmatrix der quadratischen Form

15.08.2012, 18:59	GaußscheSummenformel	Auf diesen Beitrag antworten »
Koeffizientenmatrix der quadratischen Form Meine Frage: Guten Abend! Meine Aufgabe lautet vollständig und im Originaltext: "Gegeben sei die quadratische Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) = 2x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3y \end{eqnarray}$ Berechnen Sie die Koeffizientenmatrix A der quadratischen Form und berechnen Sie den kritischen Punkt $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ ." Meine Ideen: Leider hat der Professor versäumt zu erläutern, wie man einen solchen Aufgabentyp löst. Ich habe zwei nicht weiter erklärte Beispiele im Skript gegeben und aufgrund ihrer Rückschlüsse gezogen, die leider falsch zu sein scheinen. Beispiel 1: $\begin{eqnarray} f(x,y,z) = 3 - 4y + 4z + x^{2} + 3y^{2} + 3z^{2} + 2yz \end{eqnarray}$ a = 3 L = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ A = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beispiel 2: $\begin{eqnarray} f(x,y) = 2 + x^{2} - y^{2} + xy \end{eqnarray}$ A = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe mir darauß abgeleitet dass a den variablenlosen Term darstellt. L die Koeffizienten von x, y und ggf. z darstellt und A auf der Diagonalen jeweils die Koeffizienten der einmal nach x bzw. y und z abgeleiteten Terme von $\begin{eqnarray} x^{2}, y^{2}, z^{2} \end{eqnarray}$ zeigt. In den restlichen Feldern entsprechend die gemischten Terme wobei xy=yx, oder wie in diesem Beispiel yz=zy. Demnach käme ich bei meiner Aufgabe auf: a = 0 (laut Musterlösung korrekt) L = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (laut Musterlösung korrekt) A = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (laut Musterlösung falsch und korrekt wie in B gezeigt) B = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun ist nach meinem Verständnis B lediglich geviertelt gegenüber A, jedoch verzerrt dies doch das Ergebnis von $\begin{eqnarray} x_{0} = -A^{T}L \end{eqnarray}$ Hier hätte ich nämlich das Ergebnis: $\begin{eqnarray} x_{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} x_{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wo liegt mein Fehler? Vielen Dank im vorraus!
15.08.2012, 19:02	GaußscheSummenformel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine bei A selbstverständlich die Diagonaleinträge 4, 2 und 2, es handelt sich lediglich um einen Übertragungsfehler.
16.08.2012, 09:49	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mache eine quadratische Ergänzung bei den beiden Summanden, die y enthalten. $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=2x^2+y^2+z^2-3y=2x^2+\underbrace{(y-1,5)^2-2,25}_{y^2-3y}+z^2 \end{eqnarray}$ Nun sieht man, dass dass der kritische Punkt bei $\begin{eqnarray} (x_0\|y_0\|z_0)=(0\|1,5\|0) \end{eqnarray}$ liegt. Den gleichen kritischen Punkt erhält man natürlich, wenn man den Gradienten Null setzt.

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