Explizite Form von Summen

15.08.2012, 23:39

koalabear

Explizite Form von Summen

Moin,

ich hab diesen Summensalat hier, den ich auf eine explizite Form bringen möchte.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{i=1}^{n-j+1} \sum\limits_{k=1}^{j-1} 1 \end{eqnarray*}$

Ich arbeite mich jetzt von rechts nach links durch die Summen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{j-1} 1 = j-1 \end{eqnarray*}$

Damit gilt für den Summensalat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{i=1}^{n-j+1} j-1 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist j-1 eine Konstante in der rechten Summe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n (j-1) \sum\limits_{i=1}^{n-j+1} 1 \end{eqnarray*}$

Dann ist die rechte Summe wieder einfach:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n (j-1) \cdot (n-j+1) \end{eqnarray*}$

Jetzt zunächst meine Frage, stimmt bis hier hin alles?

15.08.2012, 23:48

zweiundvierzig

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Ja, das stimmt.

15.08.2012, 23:51

koalabear

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Vielen Dank. Ich würde als nächstes das in der Summe ausmultiplizieren und dann versuchen weiterzurechnen. Ist das ok?

16.08.2012, 00:11

zweiundvierzig

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Ja, das würde ich auch so machen. Augenzwinkern

16.08.2012, 00:20

koalabear

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Ausgangspunkt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n (j-1) \cdot (n-j+1) \end{eqnarray*}$

Ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n (j-1) \cdot (n-j+1) \end{eqnarray*}$

Nach dem Ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n j \cdot n - j^2 + 2 \cdot j - n - 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt erzeuge ich viele einzelne Summen durch Anwendung des Assoziativgesetzes:

$\begin{eqnarray*} n \cdot \sum\limits_{j=1}^n j - \sum\limits_{j=1}^n j^2 + 2 \cdot \sum\limits_{j=1}^n j - n \sum\limits_{j=1}^n 1 - \sum\limits_{j=1}^n 1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun diesen Salat betrachte, sieht alles relativ harmlos aus, voraussgesetzt ich habe mich nichr vertan. Dazu möchte ich zunächst eine profesionelle Meinung hören. Das einzige etwas böse ist diese Summe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n j^2 \end{eqnarray*}$

16.08.2012, 02:15

zweiundvierzig

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Kennst Du denn die Formeln für die Summe der ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zahlen bzw. Quadratzahlen?

16.08.2012, 07:47

HAL 9000

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Mit der kleinen Indexverschiebung $\begin{eqnarray*} k=j-1 \end{eqnarray*}$ vorab kann man übrigens die Anzahl der Glieder des ausmultiplizierten Terms wirksam reduzieren:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n (j-1) \cdot (n-j+1) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} k \cdot (n-k) = n\sum\limits_{k=0}^{n-1} k - \sum\limits_{k=0}^{n-1} k^2 \end{eqnarray*}$ .

Da muss natürlich am Ende dasselbe rauskommen wie auf deinem Weg. Augenzwinkern

16.08.2012, 11:59

koalabear

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Ja mit der Indexverschiebung wird es nochmal einfacher, stimmt.

Die Summe für die ersten n Quadratzahlen kenne ich leider nicht.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} k^2 \end{eqnarray*}$

Ich würde sie mir aber gerne herleiten.

Meine Beobachtung:

Diese Reihe nach j differenziert ist sehr ähnlich zur Gaußschen Summenformel:

$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{j=1}^{n} j^2 ) \frac{d}{dj} = 2 \cdot \sum\limits_{j=1}^{n} j \end{eqnarray*}$

Idee: Integriere

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sum\limits_{j=1}^{n} j = n \cdot (n + 1) \end{eqnarray*}$

Also?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} j^2 = \int_1^n \! n \cdot (n + 1) \ dn \end{eqnarray*}$

Meint ihr das geht so durch?

16.08.2012, 14:28

speedyschmidt

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Nach einem Index differenzieren ist irgendwie nicht so cool Augenzwinkern

.

Normalerweise müsstest Du Dir ein paar Summen ausrechnen und dann auf ein System und eine Formel kommen, die Du dann induktiv beweist. Ist aber nicht ganz so trivial, daher hier die Formel:

http://de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensam...r_Quadratzahlen

Die beweist Du nun induktiv.

16.08.2012, 14:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von koalabear
Meint ihr das geht so durch?

Du redest sicher von den Pferden, die da mit dir "durchgegangen" sind? Nach einer diskreten Variable $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ differenzieren, was für eine Schnapsidee... unglücklich

Wie auch immer man diese Summenformel gewinnt, so gewiss nicht. Jedenfalls lautet sie

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

bzw. für oberen Index $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} k^2 = \sum\limits_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \end{eqnarray*}$ .

16.08.2012, 14:30

speedyschmidt

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sry

16.08.2012, 17:17

koalabear

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Ach verdammt stimmt, das geht ja nur bei Potenzreihen, voll verplannt

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