Ortslinie einer Komplexen Zahl

16.08.2012, 11:09

svenhk1990

Ortslinie einer Komplexen Zahl

Hi,
ich stecke mal wieder bei den komplexen Zahlen fest.

Aufgabe:
Welche Ortslinie stellen die komplexen Zahlen z = x+jy in der Gauß´schen Zahlenebene da?

Ich habe anhand einiger Youtube Video´s jetzt begriffen, dass es sich dabei um z.B einen Kreis handeln kann der einen Radius r und einen Mittelpkt. mit x/y Koordinaten hat.

Jetzt habe ich folgende Aufgabe zu lösen:

$\begin{eqnarray*} |z-2|=2|z+j| \end{eqnarray*}$

Ich komme dabei so weit, dass ich z = x+jy für z einsetze.
Dann zusammenfasse und mit der Abstandsformel $\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$
die Beträge eliminieren.

Jetzt häng ich fest!
Habt ihr einen gute Idee wie man weiter kommt?

16.08.2012, 11:12

svenhk1990

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-2)^2+y^2} = 2\sqrt{x^2+(1+y)^2} \end{eqnarray*}$

So nochmal schnell eingetippt wo es hängt!

16.08.2012, 16:18

original

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Zitat:

Original von svenhk1990

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-2)^2+y^2} = 2\sqrt{x^2+(1+y)^2} \end{eqnarray*}$

.. eingetippt wo es hängt!

und wie würdest du dann damit weitermachen? ->

$\begin{eqnarray*} (x-2)^2+y^2 = 4 \cdot x^2+ 4 \cdot (1+y)^2 \end{eqnarray*}$

-> ... ?

16.08.2012, 17:06

svenhk1990

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Also wenn ich das soweit richtig mitbekommen habe,
wird die Wurzel bzw. werden die Quadrahte gesetzt weil diese die Abstandsformel (Phythagoras) so hergibt.
Aufjedenfall sind ja damit die Beträge überflüssig geworden.

Bei einer anderen Aufgabe wurde an dieser Stelle die Wurzel weggelassen und man war dem Ergebnis schon sehr nah!
Die Klammern haben wie bei der Scheitelpunktsform der Parabel die Position des Scheitelpkts. bzw. hier Mittelpkt. gegeben und den übrigen Rest hat man zum Radius umgeformt.

Was mich dabei stört ist das x^2 und y^2 was noch "so rum steht"

16.08.2012, 21:41

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Zitat:

Original von svenhk1990

Was mich dabei stört ist das x^2 und y^2 was noch "so rum steht"

lustig - was hast du denn gegen kreisrunde Kreise ? smile

also:
bringe

$\begin{eqnarray*} (x-2)^2+y^2 = 4 \cdot x^2+ 4 \cdot (1+y)^2 \end{eqnarray*}$

in die Form:

$\begin{eqnarray*} (x-x_{m} )^2 + (y-y_{m} )^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

und du kannst Mittelpunkt M(x_m/y_m) und Radius r ablesen ..

ist doch ne runde Sache - oder?

16.08.2012, 22:22

svenhk1990

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Hab nichts gegen Kreise Augenzwinkern

sie überfordern mich nur :-P
Dann müsste ich die Binome lösen und x^2 bzw y^2 mittels quadratischer ergänzung verwerten?
Bist du sicher das die 2 quadriert werden muss? Bleib die nicht einfach stehen? Hab ich aus ner andern aufgabe so verstanden?!?
Wink

16.08.2012, 22:34

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Zitat:

Original von svenhk1990
Hab nichts gegen Kreise Augenzwinkern

sie überfordern mich nur :-P

Dann müsste ich die Binome lösen und x^2 bzw y^2 mittels quadratischer ergänzung verwerten? Freude

Bist du sicher das die 2 quadriert werden muss? böse

Bleib die nicht einfach stehen? unglücklich

Hab ich aus ner andern aufgabe so verstanden?!? geschockt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-2)^2+y^2} = 2\sqrt{x^2+(1+y)^2} \end{eqnarray*}$

hm.. wie wird eigentlich ein Produkt quadriert? verwirrt

versuchs mal ->
...und quadriere $\begin{eqnarray*} a= 2 \cdot b \end{eqnarray*}$

auf beiden Seiten

17.08.2012, 08:34

svenhk1990

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Da hast du völlig recht! geschockt

Ich bin/ war mir nur unsicher ob jetzt vielleicht andere Gesetzte oder Vorraussetzungen greifen die ich nicht kenne.

Ich habe es jetzt nach deinem Vorschlag probiert.

Nach dem Auflösen der Binom:
$\begin{eqnarray*} -3x^2-4x=3y^2+8y \end{eqnarray*}$

Nach der Quadratischen Ergänzung:
$\begin{eqnarray*} -((x+\frac{2}{3})^2-\frac{4}{9})=(y+\frac{4}{3})^2- \frac{16}{9} ) \end{eqnarray*}$

Xm und Ym sind richtig! Freude

Aber mit dem R hab ich noch meine Verständnisproblem.
Wenn ich jetzt 4/9 +16/9 rechne komme ich auf 20/9.
Warum jetzt noch die Wurzelziehen damit die richtige Lösung rauskommt?

17.08.2012, 13:34

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Zitat:

Original von svenhk1990

$\begin{eqnarray*} -3x^2-4x=3y^2+8y \end{eqnarray*}$

Nach der Quadratischen Ergänzung:
$\begin{eqnarray*} -((x+\frac{2}{3})^2-\frac{4}{9})=(y+\frac{4}{3})^2- \frac{16}{9} ) \end{eqnarray*}$

Aber mit dem R hab ich noch meine Verständnisproblem.
Wenn ich jetzt 4/9 +16/9 rechne komme ich auf 20/9. Freude

Warum jetzt noch die Wurzelziehen damit die richtige Lösung rauskommt?

ok, du bist also jetzt soweit:

$\begin{eqnarray*} (x+\frac{2}{3})^2 +(y+\frac{4}{3})^2 = \frac{20}{9} \end{eqnarray*}$

und nun vergleiche mit

$\begin{eqnarray*} (x-x_{m} )^2 + (y-y_{m} )^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

-> wie gross ist in deinem Beispiel r^2 ?
Preisfrage: kannst du nun irgendwie herausfinden, wie gross wohl r sein könnte?

aslo...?
................................................ Prost

17.08.2012, 14:18

svenhk1990

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Jetzt ist es angekommen!
Du hast das r^2 aus der Formel für den Kreis in allgemeiner Lage!

Das ich die Wurzel ziehen musste ist mir schon aufgefallen aber ich habe nicht verstanden wieso,... aber jetzt ist der Zusammenhang gefunden und auf eine andere Aufgabe konnte ich es auch richtig anwenden!
Danke für deine Hilfe! Freude

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