Reelle und Rationale zahlen?

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11.07.2004, 17:35	Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Reelle und Rationale zahlen? Hallo im Internet bin ich nur auf komplizierte Erklärungen gestoßen...kann es mir jemand leichter erklären?danke
11.07.2004, 17:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
ratio (lateinisch) ~ Verhältnis,Bruch Rationale Zahlen sind daher alle Zahlen, die sich als Brüche ganzer Zahlen darstellen lassen. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ ("Quotient") bezeichnet. Irrationale Zahlen sind dementsprechend Zahlen, die sich nicht als Brüche ganzer Zahlen darstellen lassen. Genauer: Es sind diejenigen Zahlen, die man als Grenzwerte rationaler Zahlenfolgen erhält und die selbst nicht rational sind. Die rationalen und irrationalen Zahlen zusammen bilden die Menge $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ der reellen Zahlen. Die Menge der irrationalen Zahlen ist also die Differenzmenge $\begin{eqnarray} \mathbb{R} - \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ .
11.07.2004, 17:51	Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
das heißt jetzt das z.B. 4/2 eine rationale zahl ist?4/2 ist ja gleich 2. nenn doch mal bitte eine irrationale zahl.danke sehr
11.07.2004, 17:52	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reelle und Rationale zahlen? zu den irrationalen Zahlen gehören Zahlen wie $\begin{align} \pi , e, \sqrt{2} , \sqrt{3} ... \end{align}$ $\begin{align} \frac{4}{2} \end{align}$ ist eine rationale Zahl. Die natürlichen Zahlen sind einer Teilmenge der rationalen.
11.07.2004, 17:56	Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich komme jetzt in die 9 und weiß nicht mit den Antworten anzufangen(leider) was sind das für Zahlen die grybl gelistet hat?
11.07.2004, 18:11	Physicus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bins Mathe.Ich habe mich als Physicus registriert.bitte helft mir
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11.07.2004, 18:28	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Irrationale Zahlen sind wie gesagt zahlen die sich nicht als Bruch darstellen lassen. Da irrationale Zahlen im allgemeinen relativ komplexe (zumindest für die 9. Klasse) Zusammenhänge haben ist es schwer dir da was genaueres zu sagen, ohne zu "verwirrend" für dich zu erscheinen. Im allgemeinen sind diese irrationalen Zahlen unendliche Zahlen, was nicht heißt das jede unendliche Zahl irrational ist. in etwa ist 1/3 durchaus eine rationale Zahl aber unendlich (periodisch). Also eine der Zahlen wirst du dieses Schuljahr sicher kennen lernen das ist nämlich $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ , gesprochen "Pi". Der Umfang eines Kreises mit Radius eins ist genau 2*Pi. Die genauen Sachverhalte wirst du noch lernen. Da so sachen wie Konvergenz u.ä. dir wohl noch nicht bekannt sind kann man da leider nicht viel helfen (imo). @ Leopold Den begriff differenzmenge kenn ich so garnicht. (Ist - auf Mengen überhaupt definiert?) Müsste man nicht eigentlich Schreiben Menge der Irrationalen Zahlen == R\Q ??
11.07.2004, 18:34	Physicus	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay dann werde ich mich wohl noch gedulden müssen...trotzdem danke.
11.07.2004, 18:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die reellen Zahlen sind Hauptstoffgebiet der 9. Klasse am Gymnasium (zumindest kenne ich es so aus Bayern und Baden-Württemberg). @ Mazze Es gibt beide Bezeichnungen: R\Q und R-Q. (Wie macht man in Latex "\"?)
11.07.2004, 21:18	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Leopold, den \ kannst du syntaktisch mit \backslash, oder - besser - semantisch mit \setminus realisieren. Übrigens, Mazze, sind irrationale Zahlen keine unendlichen Zahlen, sondern endliche Zahlen, die nur eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung haben. (Die Endlichkeit einer Zahl bezieht sich auf ihre Größenordnung, und die hängt hauptsächlich von den Vorkommastellen ab.)
12.07.2004, 10:11	Sajin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe einfach ein paar Beispiele hin: Natürliche Zahlen kennst du ja, das sind $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ 0,1,2,3,4,5, ... Wenn wenn man negative Zahlen dazunimmt, heißt es ganze Zahlen: $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ....,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,.... Wenn man Brüche dazunimmt, sind es rationale Zahlen: $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \frac{4}{5} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \frac{-3}{7} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \frac{14}{3} \end{eqnarray}$ Also allgemein nimmt man zwei Zahlen aus den ganzen Zahlen und schreibt eine über und eine unter den Bruch. Oben und unten Minus kann man kürzen, also $\begin{eqnarray} \frac{-3}{-4} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ , genauso oben und unten durch die selbe Zahl teilen (kürzen) $\begin{eqnarray} \frac{5}{10} \end{eqnarray}$ oben & unten durch 5 geteilt ist oben 5 : 5 = 10, unten 10 : 5 = 2, also $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Unten darf außerdem keine 0 stehen, man kann nicht durch 0 teilen. Brüche kann man auch wie ganze Zahlen schreiben, nur daß es dann oft noch Nachkommastellen gibt. z.B. $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ als 0,75, oder $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ als 0,333333..... (unendlich viele dreien, weil man 1 nicht durch 3 Teilen kann ohne Rest, 0,3 Rest 0,1, 0,1 genauso nicht, das ist 0,03 Rest 0,01, 0,01 durch 3 ist 0,003 Rest 0,001 usw. Wenn man das unendlich lange macht und am "Ende" alles was vor den Resten steht zusammenzählt, kommt eine Null mit unendlich vielen 3ern heraus). Gibt es auch Zahlen, die eine ganze Zahl vor dem Komma und unendlich viele Stellen nach dem Komma stehen haben, die aber keine Brüche sind ? - Ja, die irrationalen Zahlen ! $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Das dumme ist, die kann man nicht als 1,414... aufschreiben, weil es ja unendlich und ohne Periode wie bei 0,3333... weitergeht. Deshalb hat man den wichtigsten Namen gegeben, z.B. die Kreiszahl Pi $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ , die man z.B. bei der Berechung vieler Kreis und Kugeleigenschaften braucht, oder die Eulersche Zahl $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ . Viele Wurzeln sind irrational, z.B. $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ , also die Zahl x für die die gleichung x*x = 2 richtig ist. Wenn eine Zahl endlich viele Nachkommastellen hat, ist sie noch rational, denn man kann für die erste Nachkommastelle x1 den Bruch x1/10 benutzen, für die zweite x2 den Bruch x2/100, die dritte x3/1000 usw. und diese endlich vielen Brüche am Ende aufsummieren. Erst wenn eine Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, ist sie irrational ! Und selbst dann nicht sicher, könnte ja auch ein Bruch mit unendlich vielen Stellen sein. Wann genau eine Zahl irrational ist und das es viel mehr irrationale als rationale Zahlen gibt überlasse ich deinem Lehrer, habe jetzt schon nen ganzen Roman geschrieben verdammt :P Cya, Sajin
12.07.2004, 20:24	Physicus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke nochmal an alle!Aber kann mir vielleicht neiner das hier erklären: Was ist P/Q? Und die Methode wie es Euklid bewies verstehe ich nicht. Ich hoffe ich werde auch mal so gut wie manche hier...
12.07.2004, 22:35	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Physicus, Wenn du uns noch sagen würdest, was genau Euklid da bewiesen hat (denn er hat viel bewiesen) und was P und Q sind, dann können wir diese Frage vielleicht beantworten. Lieben Gruss, Irrlicht
12.07.2004, 22:46	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist da der Beweis gemeint, dass $\begin{eqnarray} \sqrt {2} \end{eqnarray}$ irrational ist? Dann ist $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ wohl ein Bruch mit natürlichen Zahlen p und q (p könnte auch aus den ganzen Zahlen sein). Gruß vom Ben
13.07.2004, 16:43	Physicus	Auf diesen Beitrag antworten »
ja Ben Sisko meint das richtige!Das heißt das z.B. P/Q 5/6 sein kann oder nicht?
13.07.2004, 22:24	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja z.B. p/q steht halt da für einen beliebigen Bruch (in dem Beweis wird glaube ich bloss angenommen, dass p und q teilerfremd sind. Das heisst einfach nur, dass man den Bruch nicht weiter kürzen kann). Poste doch mal, wo du den Beweis nicht verstehst, dann können wir sicher weiterhelfen. Gruß vom Ben

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