Herleitung des Vektorproduktes

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Sez Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung des Vektorproduktes
Meine Frage:
Hallo Leute,
ich komme mit der Herleitung des Vektorproduktes nicht zu recht. Hier habe ich rot markiert, ab wann ich es nicht verstehe:

[attach]25522[/attach]

Wie kommt man auf diesen Schritt? Und wie geht es dann weiter?

Meine Ideen:
Die vorherigen Schritte waren ja noch einfach, ich verstehe aber nicht wie man die Matrix in eine Stufenform?! umgeschrieben hat...

Edit opi: Bildausschnitt angehängt und Link entfernt. Bitte lade Bilder immer direkt im Board hoch und beachte die Maximalgröße von 293 KB.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es wurde zur Erzeugung der zweiten Zeile bei der vorhergenden Matrix das -fache der ersten Zeile von der -fache der zweiten Zeile abgezogen.

Mit freundlichen Grüßen.
 
 
Sez Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank ! Das hab ich jetzt verstanden. Aber den nächsten Schritt verstehe ich auch nicht... Wieso setzt man x3=a1b2-a2b1 und wie kommt man dann auf den Vektor c?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

man setzt damit man eine möglichst einfache Lösung bekommt. Der Parameter der Variable hat ja dieselbe Gestalt.

In der zweiten Zeile der Matrix steht ja im Prinzip:



Ausdruck für eingesetzt:



Wenn man diese Gleichung löst kommt heraus, dass .

Um jetzt zu bestimmen geht man zur Gleichung

Wenn man hier die Ausdrücke für und in die Gleichung einsetzt kann man bestimmen.

Mit den entsprechenden Ausdrücken für , und ergibt dies dann den Vektor C.

Mit freundlichen Grüßen.
Sez Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

vieleeen Dank für deine Erklärung ! Das einzige was ich noch nicht verstehe ist, warum man einfach so für setzen kann. Ich mein ist ja eigentlich nicht dasselbe wie der Audruck
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch genau das wird gesagt. Du musst bedenken, dass das Gleichungssystem unterbestimmt ist. Es hat 3 Variablen () und 2 Gleichungen. Damit kann man den Wert für eine Variable (hier: ) frei wählen. Wie schon ausgeführt, ist es hier günstig gleich dem Parameter von zu setzen.
Sez Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh! smile Jetzt habe ich die Herleitung verstanden.
Es gibt noch eine Sache, die ich nicht verstehe.
Wenn wir zwei Vektoren a und b gegeben haben, die eine Ebene aufspannen, welche wie ein Parallelogramm aussieht: Wieso ist dann die Fläche dieses Parallelogramms, die Strecke vom Normalenvektor?

Ich habe mir dazu schon ein paar Videos angeschaut, aber irgendwie erklärt das keiner so richtig. Es gilt ja:
Das was auf der rechten Seite der Gleichung steht, verstehe ich noch. Sin (a) ist einfach die Höhe des Parallelogramms und das multipliziert mit Vektor a ergibt die Fläche.

Aber warum ist die Strecke des Vektorproduktes, also der Normalenvektor auch die Fläche?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
per defintionem!
--> Betrag Vektorprodukt = Flächeninhalt -> BEWEIS

Und noch genauer:

--> Fläche mit Determinante vergleichen. oder --> Beweis des Kreuzproduktes
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