duale Basen als erzeugendes System

16.08.2012, 14:24	awsed	Auf diesen Beitrag antworten »
duale Basen als erzeugendes System entschuldigung für den Doppelpost, ich bin mit der Technik durcheinander gekommen. Meine Frage: Hallo, wahrscheinlich seid ihr schon genervt von den vielen Posts zu der Anschaulichkeit von dualen Vektorräumen, aber egal wie viele Quellen ich mir anschaue eines wird mir nicht klar, nämlich wie die dualen Basen B* von V* bezüglich B von V ein erzeugendes System des dualen Raums V* sein können. Soweit ich es verstanden habe sind die dualen Basen sozusagen eine Rückbildung von Vektoren zu ihrem "Ursprung". Hat man zum Beispiel einen Vektor (1,2,3) bezüglich der kanonischen Basis, und würde man die dualen Basen bezüglich der kanonischen Basis darauf anwenden würden man jeweils die Zahlen 1,2 und 3 rauskriegen. Es zeigt einem wie oft man für einen Vektor x, einen bestimmten Basisvektor angewendet hat x zu erhalten. So, nun hat aber der Dualraum mit den dualen Basen als dessen Basen den Anspruch ALLE möglichen linearen Abbildungen von V auf sein ursprünglichen Körper zu bilden. Wie können die dualen Basen nach deren Definition ein erzeugendes System für den Dualraum bilden, wenn er einen so hohen Anspruch stellt? Wo ist da er Zusammenhang? Ich hoffe ich hab mich verständlich ausgedrückt. Wahrscheinlich hab ich die dualen Basen nicht sehr exakt beschrieben aber das sind im Moment meine Vorstellung von denen. Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen! Mit freundlichen Grüßen Awsed
16.08.2012, 17:46	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} B:=(B_1,...,B_n) \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B^ = (B_1^* , ... , B_n^* ) \end{eqnarray}$ die zugehörige Dualbasis, die ja durch die Eigenschaft $\begin{eqnarray} B_i^* (B_j) = \delta_{ij} \end{eqnarray}$ definiert ist. Sei $\begin{eqnarray} \varphi\in V^* \end{eqnarray}$ eine Linearform, also eine $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -lineare Abbildung $\begin{eqnarray} V\to K \end{eqnarray}$ . Bekanntlich sind solche Abbildungen durch die Bilder der Basisvektoren einer Basis eindeutig festgelegt. Hier können wir dafür natürlich die Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ benutzen. Seien diese Werte mal $\begin{eqnarray} \varphi(B_i) =: a_i \end{eqnarray}$ . Ich behaupte, dass dann $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ wie folgt als Linearkombination der $\begin{eqnarray} B_i^* \end{eqnarray}$ geschrieben werden kann: $\begin{eqnarray} \varphi = \sum_{i=1}^n a_i B_i^* \end{eqnarray}$ . Wir überprüfen das einfach auf den Basisvektoren: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n a_i B_i^* (B_j) = \sum_{i=1}^n a_i \delta_{i,j} = a_j = \varphi (B_j) \end{eqnarray}$ . Damit ist gezeigt, dass jedes Element von $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ als Linearkombination der $\begin{eqnarray} B_i^* \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann. Hilft dir das so weiter?
23.08.2012, 15:19	awsed	Auf diesen Beitrag antworten »
ja vielen dank, das beantwortet wohl meine Frage

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