Logarithmus von negativen Zahlen

16.08.2012, 15:32	Stefan...	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmus von negativen Zahlen Meine Frage: Hallo, ich hätt mal eine Frage bezüglich des Logarythmus von negativen Zahlen. Also grundsätzlich ist ja erstmal z.B. $\begin{eqnarray} ln(-5) \end{eqnarray}$ nicht definiert. Aber wie schaut es z.B. damit aus $\begin{eqnarray} 2\cdot ln(-5) \end{eqnarray}$ ? Dafür fallen mir eben zwei Ansätze ein: 1. $\begin{eqnarray} ln(-5) \end{eqnarray}$ ausrechnen was nich definiert ist und dadurch ist das ergebnis auch nicht definiert. 2. Logharythmusgesetze anwenden dann wird aus $\begin{eqnarray} 2\cdot ln(-5)= ln((-5)^{2})= ln(25) \end{eqnarray}$ und würde zu einem Ergebnis führen. Aber was von beiden stimmt denn nun? Danke schon mal für die Antwort. lg Stefan Meine Ideen: ...
16.08.2012, 16:01	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen, man kann die Logarithmusgesetze nur dann anwenden, wenn die Grundlagen, ihn zu verwenden, überhaupt gegeben sind, was hier nicht der Fall ist. Lg kgV
16.08.2012, 16:30	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
also es ist möglich den logarithmus von negativen zahlen zu betrachten, das allerdings dann in den komplexen zahlen. hier - wie kgv richtig gemerkt hat - darfst du die logarithmengesetze nicht anwenden, denn es heißt eben: log(a^b)=blog(a) für a>0*. lg
16.08.2012, 16:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch etwas mehr im Detai - zwei Möglichkeiten: 1.Wir betrachten den Logarithmus als reelle Funktion. Dann gelten die Logarithmengesetze, aber negative Argumente des Logarithmus sind nicht zulässig. 2.Wir betrachten den Logarithmus (genauer: dessen Hauptwert) als komplexe Funktion. Dann ist zwar $\begin{eqnarray} \ln(-5) \end{eqnarray}$ zulässig, aber die Logarithmengesetze gelten nur eingeschränkt bzw. mit Ergänzungen. So ist z.B. $\begin{eqnarray} \ln(-5)= \ln(5)+\pi i \end{eqnarray}$ , was zu $\begin{eqnarray} 2\ln(-5) = 2\ln(5) + 2\pi i \neq 2\ln(5) = \ln(25) = \ln((-5)^2) \end{eqnarray}$ führt. Solche Abweichungen "ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray} 2\pi i \end{eqnarray}$ " sind dabei typische Effekte und überaus verständlich, wenn man den komplexen Logarithmus näher unter die Lupe nimmt.

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