Zufallsgrößen

16.08.2012, 18:39	Tafelwerk	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsgrößen Ich rechne grad einige Stochastik-Aufgaben und benötige langsam ein wenig Hilfe/Kontrolle 1. Aufgabe) Zufallsgröße X besitzt diskrete Verteilung auf der Menge $\begin{eqnarray} \mathbb N \cup \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} P(X=k)=p \cdot q^k \, \| p,q \in (0,1),k \in N \cup \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray}$ a) Geben Sie p in Abhängigkeit von q an. b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_X \end{eqnarray}$ von X c) Zeigen sie das für $\begin{eqnarray} x,h \in \mathbb N \backslash \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X < x+h \| X >= x) = F_X(h) \end{eqnarray}$ gilt. Zur Lösung. a) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (p \cdot q^k) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p \cdot\sum\limits_{k=0}^\infty q^k = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p \cdot \frac{1}{1-q} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p=1-q \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} F_X(x) = 0 \| x<=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_X(x) = p \frac{1-q^{k+1}}{1-q} \| k= \lfloor x \rfloor , x>0 \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} F_X(x) = 1-q^{\lfloor x \rfloor + 1} \end{eqnarray}$ c) leider komme ich hier nicht aufs richtige Ergebnis. Meine Rechnung: $\begin{eqnarray} P(X<x+h\|X>=x) = \frac{P(X<x+h \cap X>=x )}{P(X>=x} = \frac{P(x<=X<x+h )}{1-P(X<x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{P(x<=X<x+h )}{1-P(X<x)} = \frac{F_X(x+h)-F_X(x)}{1-F_X(x)} = \frac{1-q^{x+h+1}-(1-q^{x+1})}{1-(1-q^{x+1})} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1-q^{x+h+1}-(1-q^{x+1})}{1-(1-q^{x+1})} = \frac{q^{x+1}-q^{x+h+1}}{q^{x+1}} = 1 - \frac{q^{x+h+1}}{q^{x+1}} = 1 - q^{h} = F_X(h-1) \neq F_X(h) \end{eqnarray*}$ leider sehe ich meinen Fehler nicht. DIe 2. Aufgabe poste ich lieber mal extra um Übersicht zu wahren.
16.08.2012, 19:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachtet ihr in diesem Kontext hier rechtsstetige Verteilungungsfunktionen, d.h. $\begin{eqnarray} F_X(x) = P(X\leq x) \end{eqnarray}$ , oder aber linksstetige Verteilungungsfunktionen, d.h. $\begin{eqnarray} F_X(x) = P(X< x) \end{eqnarray}$ ? Ich vermute letzteres, denn in ersterem Fall ist die Behauptung $\begin{eqnarray} P(X < x+h \bigm\| X \geq x) = F_X(h) \end{eqnarray}$ falsch.
16.08.2012, 19:58	Tafelwerk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL, Die linksseitig stetige Verteilungsfunktion. Aber so ja auch in meiner Rechnung genutzt? Oder übersehe ich etwas?
16.08.2012, 20:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, hast du nicht: Denn in dem Fall ist $\begin{eqnarray} F_X(x) = P(X<x) = \sum_{k=0}^{\lceil x\rceil-1} P(X=k) = 1-q^{\lceil x\rceil} \end{eqnarray}$ .
16.08.2012, 20:28	Tafelwerk	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow. Da war der Fehler. Unglaublich wie schnell einem hier geholfen wird. Vielen Dank!

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