Isomorphien zwischen Unterkörper von Q

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LyriaEL Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphien zwischen Unterkörper von Q
Hallo,

Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich schon so viele widersprüchliche Resultate bekommen habe, dass ich froh wäre, wenn sich das jemand anschauen könnte.

Aufgabe
Welche der Unterkörper und der komplexen Zahlen sind isomorph?

Lösungsansatz
In meinen Notizen hab ich notiert, dass die Unterkörper genau dann isomorph sind, wenn sie den gleichen Körpergrad haben, das heisst, ich interessiere mich für:
, und

Bevor ich da weiter aushole, noch eine Frage:


... hilft mir das irgendetwas? Kann ich sagen, dass ich statt einfach nur betrachten kann, da ?

(ich hab das Gefühl, diese Frage könnte ein paar empörte Antworten provozieren... *duck*)

So intuitiv sollte ja und mit meiner obigen Annahme sollte . Somit wäre
Der erste und der dritte sind also nicht isomorph. Macht auch Sinn da .

Macht irgendetwas davon Sinn? Falls nicht, bitte helft mir einen sauberen Weg zu finden. Das ganze fühlt sich grad eher wie Loto als wie Mathematik an ...

Liebe Grüsse
lyri
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphien zwischen Unterkörper von Q
Hallo,

Zitat:
Original von LyriaEL
Lösungsansatz
In meinen Notizen hab ich notiert, dass die Unterkörper genau dann isomorph sind, wenn sie den gleichen Körpergrad haben,


Das ist nicht richtig, es gilt nur, dass wenn zwei Teilkörper isomorph sind, dann haben sie auch den gleichen Grad. Umgekehrt ist das falsch (es sei denn man interessiert sich nur für eine Isomorphie von Vektorräumen).

Ein Gegenbeispiel dazu ist und . Man hat als Körper , aber trotzdem .

Zitat:
das heisst, ich interessiere mich für:
, und


Achtung, man schreibt bei einer Körpererweiterung immer , nicht .

Zitat:
Bevor ich da weiter aushole, noch eine Frage:


... hilft mir das irgendetwas? Kann ich sagen, dass ich statt einfach nur betrachten kann, da ?

(ich hab das Gefühl, diese Frage könnte ein paar empörte Antworten provozieren... *duck*)


Nein, das geht nicht, das Element hat Minimalpolynom , das Element hat Minimalpolynom . Für die Grade der jeweils erzeugten Körper macht das erstmal keinen Unterschied, aber ansonsten kommt erstmal ein anderer Körper heraus.

Zitat:
So intuitiv sollte ja und mit meiner obigen Annahme sollte . Somit wäre
Der erste und der dritte sind also nicht isomorph. Macht auch Sinn da .

Macht irgendetwas davon Sinn? Falls nicht, bitte helft mir einen sauberen Weg zu finden. Das ganze fühlt sich grad eher wie Loto als wie Mathematik an ...

Liebe Grüsse
lyri


"So intuitiv" ist nicht gut. Es gibt natürlich "saubere" Wege, das alles zu begründen. Im Prinzip braucht man hier auch nur zwei wichtige Hilfsmittel.
1) Es gilt , d.h. der Grad einer Körpererweiterung, die nur von einem Element erzeugt wird, stimmt mit dem Grad des Minimalpolynoms dieses Elements über dem Grundkörper überein.
Damit bekommt man z.B. "sauber" heraus.

2) Hat man einen Körperturm , so gilt . Damit bekommt man in den Griff.

Jetzt zur Sache, in der Tat können (in der Reihenfolge deines Beitrags) die Körper 1 und 3 sowie 2 und 3 nicht zu einander isomorph sein, wegen der verschiedenen Grade.
1 und 2 haben jeweils den gleichen Grad, aber das ist nur notwendig, nicht hinreichend.

Es gibt nun zwei mögliche Wege. Nummer 1: Man prüft "die offensichtliche Abbildung" mal auf die Eigenschaft, ein Körperisomorphismus zu sein.
Nummer 2: Man verwendet, dass die fraglichen Körper zu Faktorringen von isomorph sind.

Kommst du damit weiter?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphien zwischen Unterkörper von Q
( Hier stand eine Antwort, aber ich überlasse lieber alles jester, sonst wird es zu verwirrend.
Möchte aber noch anmerken, dass richtig ist. Die Begründung ist auch richtig, kann weggelassen werden, es kommt der gleiche Körper heraus, auch wenn die Minimalpolynome der beiden primitiven Elemente verschieden sind. )
LyriaEL Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo jester, hallo juffo-wup,

Dank für eurer beiden Mühe. Das hilft mich schon mal gut weiter, auch wenn ich sehe, dass ich da noch einiges an Theorie aufarbeiten muss (war zu erwarten).
Ich melde mich wieder, wenn ich das verdaut habe Augenzwinkern

Bis dahin, viele Dank smile
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphien zwischen Unterkörper von Q
Zitat:
Original von juffo-wup
Möchte aber noch anmerken, dass [l]\mathbb{Q}(\sqrt{3}i)=\mathbb{Q}
Danke für den Hinweis! Freude
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