Einheitsvektoren Kugelkoordinaten

16.08.2012, 20:50	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitsvektoren Kugelkoordinaten Moin, Wie komme ich bei den Kugelkoordinaten auf die Einheitsvektoren: $\begin{eqnarray} \vec{e}_{\theta}=\begin{pmatrix}\cos\theta\cos\varphi\\<br /> \cos\theta\sin\varphi\\<br /> -\sin\theta<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{e}_{\theta}=\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\<br /> \cos\varphi\\<br /> 0<br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ das hat irgendwas mit ableiten zu tun und mit dem Vektor: $\begin{eqnarray} <br /> \vec{e}_{r}=\begin{pmatrix}\sin\theta\cos\varphi\\<br /> \sin\theta\sin\varphi\\<br /> \cos\theta<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber erstens fällt mir kein ersichtlicher Grund ein warum man einen Einheitsvektor nach einer Variablen ableitet und dann damit einen anderen Einheitsvektor erhält, zumal man, wenn man hier e_r nach theta ableitet doch die Steigung der Funktion in der Dimension Theta erhält, aber die Steigung in Polarkoordinaten was soll das da sein, wie schnell man von einem Ring zum nächsten kommt? Dann müsste bei einer Kugel da doch 0 rauskommen... außerdem kann ich nicht sehen wie man auf den letzten einheitsvektor e_phi kommt. Nach was wird da abgeleitet? Gruß Nickel
16.08.2012, 23:30	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast einerseits die Transformation die beschreibt, wie man von den Kugelkoordinaten auf die kartesischen Koordinaten kommt. Das ist eine Koordinatenwechselabbildung. Diese "Einheitsvektoren" die du da ausrechnest, das sind eigentlich die Vektoren, welche an einem gewissen Punkt die zugehörige Tangentialebene aufspannen [oder hier vielmehr den Tangentialraum]. Dummerweise ist der $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ "flach", man sieht nichts von der Tangentialebene. Diese Einheitsvektoren sind wichtig, weil man mit ihrer Hilfe bezüglich den neuen Koordinaten "messen" kann [siehe Volumenelement] bzw integrieren kann [Transformationsformel; diese Einheitsvektoren in eine Matrix geschrieben liefern genau das Differential des Koordinatenwechsels].

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