Grenzwertberechnung einer Funktion

17.08.2012, 01:45

McDolan

Grenzwertberechnung einer Funktion

Hallo zusammen!
Ich hab irgendwie Schwierigkeiten folgende Aufgabe zulösen:

Berechnen Sie jeweils den Grenzwert, falls er existiert.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} (\frac{1}{2-x} - \frac{11}{8-x^3}) \end{eqnarray*}$

Ich habs immer folgendermaßen gemacht (so stehts auch im Skript unseres Profs): Links- und rechtsseitige Annäherung der Funktion, wenn beide das gleiche Ergebnis liefern, bedeutet es, dass der Grenzwert existiert und gleichzeitig auch das Ergebnis ist.

Wenn ich das alles richtig verstanden hab, macht mans folgendermaßen:
Linksseitige Annäherung: $\begin{eqnarray*} x \Rightarrow -h+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to -0} (\frac{1}{2-(-h+2)} - \frac{11}{8-(-h+2)^3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to -0} (\frac{1}{h} - \frac{11}{8-(-h^3+6h^2-12h+8)}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to -0} (\frac{1}{h} - \frac{11}{h^3-6h^2+12h}) \end{eqnarray*}$

Ersten Bruch mit $\begin{eqnarray*} h^2-6h+12 \end{eqnarray*}$ erweitert, damit ich beide Brüche zusammenfassen kann:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to -0} (\frac{h^2-6h+12-11}{h^3-6h^2+12h}) \end{eqnarray*}$

Danach gingen mir irgendwie die Ideen aus, das erste was mir einfiel war direkt das Ausklammern der höhsten Potenz:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to -0} (\frac{h^2*(1-\frac{6h}{h^2} +\frac{1}{h^2})}{h^3*(1-\frac{6h^2}{h^3} +\frac{12h}{h^3})}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to -0} (\frac{1-\frac{6}{h} +\frac{1}{h^2}}{h-6 +\frac{12}{h})}) \end{eqnarray*}$

Und hier weiß ich nicht mehr weiter. Auf 0 darf ich ja nicht konvergieren lassen, da ich ja einiges durch 0 teile, was ja nicht definiert ist.
Die rechtsseitige Annäherung müsste dann ja mit $\begin{eqnarray*} h+2 \end{eqnarray*}$ erfolgen. Habs auch gemacht, allerdings komme ich da auch auf etwa denselben Bruch, halt nur einige Vorzeichen anders (was auf 'nen richtigen Ansatz zeigt?).
Oder heißt das nichts anders als: Funktion besitzt an der Stelle x -> 2 keinen Grenzwert?
Kann ich mir kaum vorstellen, daher frag ich mal hier um Rat.

17.08.2012, 02:04

mYthos

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Bringe besser die Brüche auf gemeinsamen Nenner und berechne dann den (einen) Gesamtbruch. Dann kann man bereits einfach einsetzen ...

Bemerkung: Auch mit der h-Methode kommt man dann zum Ziel.

Noch ein Hinweis: Der Grenzwert existiert tatsächlich nicht (links- und rechtsseitiger GW verschieden und infinit).

mY+

18.08.2012, 01:27

McDolan

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Zitat:

Original von mYthos
Bringe besser die Brüche auf gemeinsamen Nenner und berechne dann den (einen) Gesamtbruch. Dann kann man bereits einfach einsetzen ...

Sorry, aber irgendwie versteh ich nicht so recht wie du das meinst. Ab den dritten Schritt muss ich ja ohnehin zusammenfassen und bring sie auf demselben Nenner, so wie ich das verstehe soll ichs direkt am Anfang machen?
Also die Anfangsgleichung nehmen?

Dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{-x^3+11x-14}{16-2x^3-8x+x^4} \end{eqnarray*}$
(Hab jeweils den ersten Bruch mit $\begin{eqnarray*} (8-x^3) \end{eqnarray*}$ erweitert und den zweiten Bruch mit $\begin{eqnarray*} (2-x) \end{eqnarray*}$ , dann beides soweit es ging zusammengefasst)

Wodurch ich zum Schluss auf $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ komme. Irgendwie hab ich dann glaub ich doch nicht so ganz verstanden, wie du das meinst.

Danke trotzdem schonmal für die Hilfe!

18.08.2012, 01:59

klauss

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Da mYthos offline ist, mein Vorschlag:
0/0 bedeutet doch, dass Zähler- und Nennerpolynom eine gemeinsame Nullstelle haben. Also könntest Du diese abspalten und die Ersatzfunktion betrachten.

18.08.2012, 10:55

mYthos

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Diese gemeinsame Nullstelle ist 2, "parasitär", und ergibt sich deswegen, weil nicht mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner multipliziert wurde.

Der kleinste gemeinsame Nenner ist $\begin{eqnarray*} 8 - x^3 \end{eqnarray*}$ (binomische Formel).

Bei Rechnung mit diesem ergibt sich dann NICHT 0/0 (!)

mY+

20.08.2012, 18:08

McDolan

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Ich komm mir langsam ziemlich dumm vor...

Zitat:

Original von klauss
0/0 bedeutet doch, dass Zähler- und Nennerpolynom eine gemeinsame Nullstelle haben. Also könntest Du diese abspalten und die Ersatzfunktion betrachten.

Woah, sowas geht? Ich habe immer gedacht wenn 0/0 rauskommt, heißt das sowas wie "Aufgabe ist falsch, da man nicht durch 0 teilen darf". Was wäre denn im diesen Sinne die Ersatzfunktion (oder hat dieses Verfahren ein Namen? Dann könnte ich mich mal einlesen und selber darauf kommen)?

Zitat:

Original von mYthos
Diese gemeinsame Nullstelle ist 2, "parasitär", und ergibt sich deswegen, weil nicht mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner multipliziert wurde.

Der kleinste gemeinsame Nenner ist $\begin{eqnarray*} 8 - x^3 \end{eqnarray*}$ (binomische Formel).

Bei Rechnung mit diesem ergibt sich dann NICHT 0/0 (!)

mY+

Ich muss zugeben durch den Tipp binomische Formel hab ich ziemlich lange herum gewerkelt, bin aber nicht wirklich darauf gekommen, wie du das meinst. Hab allerdings den Tipp berücksichtigt, dass der kleinste gemeinsame Nenner $\begin{eqnarray*} 8 - x^3 \end{eqnarray*}$ ist und hab dann den ersten Bruch gleich am Anfang mit $\begin{eqnarray*} 4x+x^2+2x \end{eqnarray*}$ erweitert (durch Polynomdivision rausbekommen), wodurch ich dann $\begin{eqnarray*} 8-x^3 \end{eqnarray*}$ im Nenner heraus bekommen habe.

Allerdings:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} (\frac{1*(4+x^2+2x)}{(2-x)*(4+x^2+2x)} - \frac{11}{8-x^3} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} (\frac{4+x^2+2x}{8+2x^2+4x-4x-x^3-2x^2} - \frac{11}{8-x^3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} (\frac{4+x^2+2x-11}{8-x^3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} (\frac{x^2+2x-7}{8-x^3}) \end{eqnarray*}$

So, soweit wärs dann. Das x ausklammern bringt nichts, denn dann komm ich wieder auf unten im Nenner mit 0, genauso wenn ichs einfach so lasse. Selbes Ergebnis bei mir wieder, ich teile durch 0.

20.08.2012, 23:44

mYthos

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0/0 ist nicht "falsch", sondern eine unbestimmte Form. Bei einem gebrochen rationalen Polynom kann dann im Zähler und Nenner jener Linearfaktor abgespalten werden, der letztendlich für diese unbestimmten Form 0/0 verantwortlich ist (behebbare Unstetigkeitsstelle). In diesem Fall könnte es (x - 2) sein, aber das hängt von der Angabe ab (wenn im Zähler anstatt -7 eben -8 stünde, bzw. in der Angabe -12 statt -11, dann wäre dies so ein Fall!).

In Wirklichkeit hat du zwar im Nenner des richtig umgeformten Bruches bei x = 2 gleich Null, aber wie sieht es denn im Zähler aus? Null ist dieser bei x = 2 sicher nicht ... .
Was sagt dies in Hinblick auf den Grenzwert aus?

mY+

22.08.2012, 23:11

McDolan

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Zitat:

Original von mYthos
0/0 ist nicht "falsch", sondern eine unbestimmte Form. Bei einem gebrochen rationalen Polynom kann dann im Zähler und Nenner jener Linearfaktor abgespalten werden, der letztendlich für diese unbestimmten Form 0/0 verantwortlich ist (behebbare Unstetigkeitsstelle). In diesem Fall könnte es (x - 2) sein, aber das hängt von der Angabe ab (wenn im Zähler anstatt -7 eben -8 stünde, bzw. in der Angabe -12 statt -11, dann wäre dies so ein Fall!).

In Wirklichkeit hat du zwar im Nenner des richtig umgeformten Bruches bei x = 2 gleich Null, aber wie sieht es denn im Zähler aus? Null ist dieser bei x = 2 sicher nicht ... .
Was sagt dies in Hinblick auf den Grenzwert aus?

mY+

Hm, er ist bei x = 2 dann 1. Allerdings sagt mir das irgendwie nichts auf den Grenzwert aus.
Ich habe sogesehen immer noch 'ne 1/0 und wenn ich nur auf den Zähler achte, habe ich da eine 1 stehen.
Würde ich jetzt nur auf diesen achten, hätte ich 'nen Grenzwert, allerdings ist das hier ja nicht der Fall, wie du bereits gesagt hast.

Oder schließt sich auf diese 1 im Zähler, dass die Funktion gegen unendlich geht? Wär komisch, macht für mich zumindest keinen Sinn... warum würde sie dadurch gegen unendlich gehen?

24.08.2012, 00:01

mYthos

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Bitte keine Vollzitate, sondern nur jene Passage zitieren, auf die du dich beziehen willst!
______________

Wenn der Zähler endlich (hier = 1) ist und der Nenner gegen Null geht, so heisst das, dass der Grenzwert über alle Grenzen geht, also gegen Unendlich.
Salopp gesagt, stellt also 1/0 einen unendlich großen Wert dar.

Wobei es egal ist, welchen endlichen Wert der Zähler wirklich hat. Lediglich das Vorzeichen "nimmt man mit", unterscheidet demnach, ob der Grenzwert gegen plus oder minus Unendlich geht.

mY+

25.08.2012, 16:48

McDolan

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Zitat:

Original von mYthos
Bitte keine Vollzitate, sondern nur jene Passage zitieren, auf die du dich beziehen willst!

Alles klar, werds mir merken. smile

Zitat:

Original von mYthos
Wobei es egal ist, welchen endlichen Wert der Zähler wirklich hat. Lediglich das Vorzeichen "nimmt man mit", unterscheidet demnach, ob der Grenzwert gegen plus oder minus Unendlich geht.

Das war wohl der eigentliche "Knackpunkt" bei mir. Gut, jetzt bin ich wieder etwas schlauer geworden. Mal sehen, ob ich dieses Wissen dann bei den weiteren Aufgaben auch anwenden kann. (ich hoffe es)
Danke für die Hilfe!

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