Mathe-Marathon Schule - Seite 14

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04.06.2025, 17:02

Luftikus

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Zitat:

Original von HAL 9000
Zur Auflockerung der Mammut-Rechenaufgabe 179 ein kleiner Happen für zwischendurch:

Mal ausserhalb aller Konkurrenz hier - man sehe es mir nach - mal eine Aufgabe wirklich für Schüler.. smile

Zitat:

Aufgabe 181
a ist als tangentiale Strecke des kleinen Kreises gegeben, man bestimme abhängig davon die Fläche des Kreisrings unterhalb a.

04.06.2025, 19:47

MatheEntdecker

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Zitat:

Lösung zu Aufgabe 181

[attach]58290[/attach]

• Beide Kreise haben denselben Mittelpunkt (konzentrisch).
• Die Strecke a berührt den kleinen Kreis waagerecht an seinem höchsten Punkt und ist somit eine Tangente.
• Die Endpunkte von a liegen auf dem großen Kreis.
• Die Tangente a steht senkrecht auf dem Radius r des kleinen Kreises am Berührungspunkt.
• Verbindet man die Endpunkte von a mit dem Mittelpunkt, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit:
o Kathete 1: $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$
o Kathete 2: $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$
o Hypotenuse: $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$
• Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
$\begin{eqnarray*} \left( \frac{a}{2} \right)^2 + r^2 = R^2 \end{eqnarray*}$
• Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} R^2 - r^2 = \frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$

3. Berechnung der Kreisringfläche:
• Die Fläche des Kreisrings ist die Differenz der Flächen des großen und kleinen Kreises:
$\begin{eqnarray*} A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) \end{eqnarray*}$
• Einsetzen des Ergebnisses aus Schritt 2:
$\begin{eqnarray*} A = \pi \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{4} \end{eqnarray*}$

Antwort:
Die Fläche des Kreisrings unterhalb der Strecke a beträgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi a^2}{4} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aufgabe 182
Gegeben sei eine Menge $\begin{eqnarray*} M = {1, 2, 3, \dotsc, 2025} \end{eqnarray*}$ .

Wir definieren eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : M \times M \rightarrow \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ durch:

$\begin{eqnarray*} f(a, b) = (a^b + b^a) \mod 2025 \end{eqnarray*}$

Dabei bezeichnet "mod" die Modulo-Operation.

Bestimme die Anzahl der geordneten Paare $\begin{eqnarray*} (a, b) \in M \times M \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} f(a, b) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

05.06.2025, 08:12

willyengland

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Zitat:

Original von MatheEntdecker
• Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
$\begin{eqnarray*} \left( \frac{a}{2} \right)^2 + r^2 = R^2 \end{eqnarray*}$
• Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} R^2 - r^2 = \frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$

Mir ist bei der Aufgabe der Sehnensatz eingefallen.
Das wäre in diesem Fall obige Formel:
$\begin{eqnarray*} R^2 - r^2 = (R-r) \cdot (R+r)= \frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$

05.06.2025, 13:14

Leopold

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Lösung zu Aufgabe 180

Ich glaube, HAL, der Schlingel, schickt uns auf den mühsamen Weg durchs Gestrüpp, statt uns den bequemen Pfad oben drüber zu weisen. Wir haben aber keine Angst, bewaffnen uns mit Buschmessern und Macheten und kämpfen uns durch die Schlingen und das Unterholz durch.

Für das Ereignis $\begin{align*} A \end{align*}$ , daß Spieler 1 mindestens so oft "Kopf" wie Spieler 2 wirft, hat uns HAL die Wahrscheinlichkeit

$\begin{align*} P(A) = 2^{-2n-1} \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i \underbrace{{n \choose i}{{n+1} \choose j}}_{a_{ij}} \end{align*}$

angegeben. Die $\begin{align*} a_{ij} \end{align*}$ kann man sich in einer unteren Dreiecksmatrix angeordnet denken. In der Summe oben wird dann zeilenweise summiert. Wenn man stattdessen diagonal summiert, erhält man

$\begin{align*} P(A) = 2^{-2n-1} \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^{n-k} {n \choose {j+k}}{{n+1} \choose j} = 2^{-2n-1} \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^{n-k} {n \choose {n-j-k}}{{n+1} \choose j} \end{align*}$

Mit einer bekannten Formel (siehe hier) erhält man

$\begin{align*} P(A) = 2^{-2n-1} \sum_{k=0}^n {{2n+1} \choose {n-k}} \end{align*}$

Und damit berechnet man schließlich (siehe hier und hier)

$\begin{align*} P(A) = 2^{-2n-1} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^{2n+1} = \frac{1}{2} \end{align*}$

Bequemer geht es, wenn wir uns die Ausgänge als $\begin{align*} 2n+1 \end{align*}$ -Tupel aus Nullen ("Zahl") und Einsen ("Kopf") vorstellen, die vorderen $\begin{align*} n \end{align*}$ Koordinaten für die Würfe von Spieler 1, die hinteren $\begin{align*} n+1 \end{align*}$ für die Würfe von Spieler 2. $\begin{align*} A \end{align*}$ besteht dann aus den Tupeln mit mindestens so viel Einsen im vorderen wie im hinteren Teil.
Nun betrachten wir die Abbildung $\begin{align*} \omega \mapsto \overline{\omega} \end{align*}$ , die einem $\begin{align*} 2n+1 \end{align*}$ -Tupel $\begin{align*} \omega \end{align*}$ das Tupel $\begin{align*} \overline{\omega} \end{align*}$ zuordnet, indem alle Nullen durch Einsen und alle Einsen durch Nullen ersetzt werden, sozusagen eine bitweise Negation. Bezeichnet $\begin{align*} i \end{align*}$ die Anzahl der Einsen im vorderen und $\begin{align*} j \end{align*}$ im hinteren Teil, so gilt:

$\begin{align*} \omega \in A \ \ \Leftrightarrow \ \ i > j-1 \ \ \Leftrightarrow \ \ -i < 1-j \ \ \Leftrightarrow \ \ n-i < n+1-j \ \ \Leftrightarrow \ \ \overline{\omega} \in \overline{A} \end{align*}$

Damit sind $\begin{align*} A \end{align*}$ und sein Gegenereignis $\begin{align*} \overline{A} \end{align*}$ gleichmächtig. Da wir es mit einem Laplace-Raum zu tun haben, besitzen sie dieselbe Wahrscheinlichkeit. Da sich andererseits in der Summe 1 ergeben muß, folgt:

$\begin{align*} P(A) = P ( \overline{A} ) = \frac{1}{2} \end{align*}$

05.06.2025, 14:24

Luftikus

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} P(A) = P ( \overline{A} ) = \frac{1}{2} \end{align*}$

Jup, da die Wahrscheinlichkeiten unabhängig sind, ist es wohl der Produktraum.
"Mindestens" bedeutet ja Anzahl mindestens, also
#Spieler1 >= #Spieler2

Man schaue sich jetzt n=1 an:
#Spieler1-#Spieler2
0-00
0-10
0-01
0-11
1-00
1-10
1-01
1-11

Hier:
0-00, 1-00, 1-10 und 1-01
Also: 4/8 = 1/2

Da es der Produktraum ist, gilt dies auch für n+1.

05.06.2025, 19:51

HAL 9000

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Ja, das

Zitat:

Original von HAL 9000
(Bitte als geschlossene Formel in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ angeben.)

war meine Nebelkerze. Big Laugh

1) Ich würde die Lösung so formulieren: Kennzeichnet Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ die Anzahl Kopf in den ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfen von Spieler $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , und zusätzlich $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die Anzahl Kopf von Spieler 2 im $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ -ten Wurf, dann sind $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,Y \end{eqnarray*}$ unabhängig und gesucht ist Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p = P(X_1\geq X_2+Y) \end{eqnarray*}$ . Und die kann man so berechnen:

$\begin{eqnarray*} p = P(X_1\geq X_2+Y,Y=0) + P(X_1\geq X_2+Y,Y=1) = P(X_1\geq X_2,Y=0) + P(X_1\geq X_2+1,Y=1) = P(X_1\geq X_2)P(Y=0) + P(X_1\geq X_2+1)P(Y=1) = \frac{1}{2}\left( P(X_1\geq X_2) + P(X_1>X_2)\right)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Nun sind $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig identisch verteilt, somit gilt aus Symmetriegründen $\begin{eqnarray*} P(X_1 > X_2) = P(X_1 < X_2) \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} P(X_1\geq X_2) + P(X_1< X_2) = 1 \end{eqnarray*}$ folgt aus (*) sofort $\begin{eqnarray*} p = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

2) Noch ein Gedanke zu Leopolds Tupeln aus Nullen und Einsen. Man betrachte solche (2n+1)-Tupel, aber etwas anders:

Die Einsen an den Positionen 1..n kennzeichnen wie gehabt die Würfe Kopf von Spieler 1, während die Einsen von Spieler 2 an den Stellen n+1..2n+1 Würfe Zahl kennzeichnen sollen.

Günstig bei i Einsen im vorderen Bereich sind dann maximal i Nullen, d.h. minimal n+1-i Einsen im hinteren Bereich, insgesamt also minimal n+1 Einsen im gesamten Tupel, äquivalent maximal n Nullen. Die Symmetrie zum Gegenereignis "maximal n Einsen = minimal n+1 Nullen" ist offenkundig, daher sind beide Ereignisse gleichwahrscheinlich.

Zitat:

Original von Luftikus
Da es der Produktraum ist, gilt dies auch für n+1.

Diesen Schluss verstehe ich nicht.

25.06.2025, 09:02

HAL 9000

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Mal was vergleichsweise einfaches:

Zitat:

Aufgabe 183
[attach]58303[/attach]
Für gegebene positive Längen $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ in der dargestellten Skizze gebe man eine Formel für den zugehörigen Kreisradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ an.

25.06.2025, 15:35

klauss

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Aufgabe 183 ähnelt auffällig einer Aufgabe, die Dopap am 05.09.2019 gestellt hat.

25.06.2025, 16:38

willyengland

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Zitat:

Original von klauss
Aufgabe 183 ähnelt auffällig einer Aufgabe, die Dopap am 05.09.2019 gestellt hat.

Hast du ein fotografisches Gedächtnis?

25.06.2025, 17:20

klauss

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Zitat:

Original von willyengland
geschockt

Hast du ein fotografisches Gedächtnis?

In diesem Fall auf jeden Fall, da ich mich ja damals an der Aufgabe beteiligt habe und sie mir so gut gefiel, dass ich sie in meine private Sammlung übernommen habe.
Das hätte aber zum Wiederauffinden noch nicht genügt, wenn ich mich nicht zusätzlich auch an ein Fragment von Dopaps Aufgabentext erinnert hätte.

25.06.2025, 19:17

HAL 9000

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Oh, hab ich damals nicht mitgekriegt - dann ziehe ich die Aufgabe zurück.

Der Weg, den ich im Auge hatte: $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist Umkreisradius im Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ mit den Seitenlängen $\begin{eqnarray*} a=u,b=\sqrt{(u+w)^2+v^2},c=\sqrt{v^2+w^2} \end{eqnarray*}$ und Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} A=\frac{uv}{2} \end{eqnarray*}$ . Dann folgt via $\begin{eqnarray*} A=\frac{abc}{4r} \end{eqnarray*}$ sofort

$\begin{eqnarray*} r = \frac{abc}{2uv} = \frac{\sqrt{\left((u+w)^2+v^2\right)\left(v^2+w^2\right)}}{2v} \end{eqnarray*}$ .

Link zum Dopap-Thread

20.07.2025, 17:07

Leopold

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Zitat:

Aufgabe 185

Man gebe eine quadratische Beziehung für die Seitenlängen eines Dreiecks an, die äquivalent dazu ist, daß der Schwerpunkt des Dreiecks auf dem Inkreis liegt.

Man zeige dann, daß es bis auf Ähnlichkeit genau ein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Schwerpunkt auf dem Inkreis liegt, und bestimme seinen Ähnlichkeitstypus (zum Beispiel durch Angabe der Winkel oder Seitenverhältnisse).

24.07.2025, 10:14

Conny_1729

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Da ich "Aufgabe 184" nirgends entdecken konnte, fülle ich mal diese Lücke mit einer Ergänzungsfrage auf, die sich direkt an Aufgabe 185 anlehnt.

Gruß Conny

Zitat:

Aufgabe 184:

Es gelten dieselben Voraussetzungen wie bei Aufgabe 185, dass in einem Dreieck der Schwerpunkt auf dem Inkreis liegen muss. Zusätzlich soll erfüllt sein, dass der Abstand vom Mittelpunkt des Umkreises zur kürzesten Seite a genauso groß ist wie die Höhe $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ des Dreiecks. (siehe Skizze)

Wie groß ist in diesem Fall die Winkeldifferenz $\begin{eqnarray*} \gamma-\beta \end{eqnarray*}$ ?

26.07.2025, 08:16

Leopold

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Zitat:

Original von Conny_1729
Da ich "Aufgabe 184" nirgends entdecken konnte...

Da hatte ich wohl Zählprobleme.

Zu Aufgabe 184:
$\begin{align*} \left| \, \beta - \gamma \, \right| = 90^{\circ} \end{align*}$

EDIT
Allerdings hat das wohl nichts mit der Problemstellung zu tun.
[attach]58316[/attach]

27.07.2025, 10:00

Conny_1729

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Zitat:

Original von Leopold

EDIT
Allerdings hat das wohl nichts mit der Problemstellung zu tun.
[attach]58316[/attach]

Stimmt, da hätte ich noch direkt nach b und c sowie der weiteren Zusatzbedingung fragen sollen.

$\begin{eqnarray*} b^2+c^2=\left(c^2-b^2\right)^2 \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} a<b<c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ gesetzt

und

$\begin{eqnarray*} \beta=arctan\left(\frac{b}{c}\right) \end{eqnarray*}$ (gemäß meiner Skizze!)

Gruß Conny

27.07.2025, 10:46

Leopold

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Man zieht vom Mittelpunkt des Umkreises zu den Ecken des Dreiecks Radien und erkennt mit Hilfe des Satzes vom Umfangswinkel als Mittelpunktswinkel zu den Bögen $\begin{align*} AB \end{align*}$ und $\begin{align*} BC \end{align*}$ beim Punkt $\begin{align*} M \end{align*}$ die Winkel $\begin{align*} 2 \gamma \end{align*}$ und $\begin{align*} 2 \alpha \end{align*}$ . Weil die Mittelsenkrechte den Winkel $\begin{align*} 2 \alpha \end{align*}$ halbiert, liest man bei $\begin{align*} M \end{align*}$ ab: $\begin{align*} \alpha + 2 \gamma = 90^{\circ} \end{align*}$ . Über die Winkelsumme im Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ ist das äquivalent zu $\begin{align*} \beta - \gamma = 90^{\circ} \end{align*}$

28.07.2025, 09:28

Conny_1729

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Zitat:

Original von Leopold
Man zieht vom Mittelpunkt des Umkreises zu den Ecken des Dreiecks Radien und erkennt mit Hilfe des Satzes vom Umfangswinkel als Mittelpunktswinkel zu den Bögen $\begin{align*} AB \end{align*}$ und $\begin{align*} BC \end{align*}$ beim Punkt $\begin{align*} M \end{align*}$ die Winkel $\begin{align*} 2 \gamma \end{align*}$ und $\begin{align*} 2 \alpha \end{align*}$ . Weil die Mittelsenkrechte den Winkel $\begin{align*} 2 \alpha \end{align*}$ halbiert, liest man bei $\begin{align*} M \end{align*}$ ab: $\begin{align*} \alpha + 2 \gamma = 90^{\circ} \end{align*}$ . Über die Winkelsumme im Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ ist das äquivalent zu $\begin{align*} \beta - \gamma = 90^{\circ} \end{align*}$

Bildlich gesprochen ...

Gruß Conny
.

30.07.2025, 14:02

mYthos

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Zitat:

Original von MatheEntdecker

Zitat:

Lösung zu Aufgabe 181
....

Antwort:
Die Fläche des Kreisrings unterhalb der Strecke a beträgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi a^2}{4} \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nicht. Denn es ist die Fläche des Kreisringes unterhalb der Tangente gefragt!

EDIT: Wie ich gerade sehe, wurde dies im Diskussions-Thread weiter ausgeführt. Der Fehler sollte jedoch auch hier angemerkt werden.

mY+

31.07.2025, 17:57

Conny_1729

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Zitat:

Lösungsschritte zu Aufgabe 185:

Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c sowie den Punkten A, B und C und deren Koordinaten:
$\begin{eqnarray*} A = (0,0) B = (c,0) C = (x,y) \end{eqnarray*}$

A- Schwerpunkt berechnen:
Der Schwerpunkt eines Dreiecks erhält man über die Koordinaten:
$\begin{eqnarray*} && P_S = \left( \frac{A_x + B_x + C_x}{3}, \frac{A_y + B_y + C_y}{3} \right) && P_S = \left( \frac{0 + c + x}{3}, \frac{0 + 0 + y}{3} \right) = \left( \frac{c + x}{3}, \frac{y}{3} \right) \end{eqnarray*}$
Schwerpunkt Dreieck

B- Inkreismittelpunkt berechnen:
$\begin{eqnarray*} && M_I = \left( \frac{aA_x + bB_x + cC_x}{a + b + c}, \frac{aA_y + bB_y + cC_y}{a + b + c} \right) && M_I = \left( \frac{b c + c x}{a + b + c}, \frac{c y}{a + b + c} \right) \end{eqnarray*}$
Mittelpunkt Inkreis

C- Radius vom Inkreis berechnen: (über die Dreiecksfläche)
$\begin{eqnarray*} r = \frac{A_\triangle}{s} \quad \text{mit } s = \frac{a + b + c}{2} \end{eqnarray*}$
Radius vom Inkreis

Mit dem Satz von Heron bekommt man die Fläche $\begin{eqnarray*} A_\triangle \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} A_\triangle = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} r = \frac{\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}}{s} \end{eqnarray*}$
Satz des Heron

D- Der Schwerpunkt muss auf dem Umfang des Inkreises liegen:
$\begin{eqnarray*} && |P_S - M_I| = r &&(P_{Sx} - M_{Ix})^2 + (P_{Sy} - M_{Iy})^2 = r^2 && \left( \frac{c + x}{3} - \frac{b c + c x}{a + b + c} \right)^2 + \left( \frac{y}{3} - \frac{c y}{a + b + c} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}}{s} \right)^2 \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle müssen nun die Koordinaten x und y noch eliminiert werden, indem sie über die Seitenbeziehungen des Dreiecks ausgedrückt werden.
$\begin{eqnarray*} && \text{für } C = (x, y): \quad a^2 = (x - c)^2 + y^2,\quad b^2 = x^2 + y^2,\quad && a^2 - b^2 = (x - c)^2 - x^2 = x^2 - 2cx + c^2 - x^2 = -2cx + c^2 \Rightarrow x = \frac{c^2 - (a^2 - b^2)}{2c} && (P_{Sx} - M_{Ix})^2 + (P_{Sy} - M_{Iy})^2 = \left( \frac{\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}}{s} \right)^2 && \left( \frac{c + x(a,b,c)}{3} - \frac{bc + c x(a,b,c)}{a + b + c} \right)^2 + \left( \frac{y(a,b,c)}{3} - \frac{c y(a,b,c)}{a + b + c} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}}{s} \right)^2 \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} && s = \frac{a + b + c}{2} && x(a,b,c) = \frac{c^2 - (a^2 - b^2)}{2c} && y(a,b,c) = \sqrt{b^2 - x^2} \end{eqnarray*}$

… das alles führt letztendlich zu der allgemeinen Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \boxed{ \frac{5a^2}{6} + \frac{5b^2}{6}+ \frac{5c^2}{6} - ab - bc -ca= 0 } \end{eqnarray*}$

Die zweite Fragestellung zur rechtwinkligen Dreieckssituation wurde schon unter „Diskussionen“ behandelt:
Diskussionen... rechtwinkliges Dreieck ...

Die "Mammutaufgabe" der Umformungen hin zur allgemeinen Gleichung habe ich nicht vorgenommen. Vielleicht kann ja Leopold da noch eine lückenfüllende Herleitung anreichen (?) - Ansonsten muss sich da jeder selbst durchbeißen.

Gruß Conny

02.08.2025, 07:01

Conny_1729

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Zitat:

Aufgabe 186:

In einem Einheitskreis beginne man mit einem Kreissektor, dessen Startsehne $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ sei. Gegen den Uhrzeigersinn werden nun weitere kleinere Kreissektoren ergänzt und angefügt. Dabei halbieren sich die Radien von Schritt zu Schritt. Die Sehnen verkürzen sich dagegen schrittweise um den Faktor k. Die Flächen-Summe aller Kreissektoren konvergiert nach unendlich vielen Schritten gegen den Wert $\begin{eqnarray*} A_\infty \end{eqnarray*}$ . Es entsteht also eine „krallenartige“ Figur. (siehe Skizze)

Frage 1:
Wenn der Faktor $\begin{eqnarray*} k=1/3 \end{eqnarray*}$ gewählt wird und die Gesamtfläche $\begin{eqnarray*} A_\infty=\pi/4 \end{eqnarray*}$ sein soll, welchen Wert müsste dann die Startsehne $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ besitzen?

Frage 2:
Mit welchem Sehnenmaß müsste man starten, wenn der Faktor $\begin{eqnarray*} k=1/3 \end{eqnarray*}$ ist und der Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ sein soll, also die Radius-Richtung (Mittelsenkrechte auf Sehne $\begin{eqnarray*} s_\infty \end{eqnarray*}$ ) der unendlich kleinen Kreissektoren parallel zur Ausrichtung von $\begin{eqnarray*} r_0 \end{eqnarray*}$ (= Vertikale) ist. ( $\begin{eqnarray*} 0<A_\infty<\pi/4 \end{eqnarray*}$ )

Frage 3:
Die Startsehne habe den Wert: $\begin{eqnarray*} s_0=\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2} } } \end{eqnarray*}$
Wie groß muss der Faktor k sein, damit $\begin{eqnarray*} A_\infty=\pi/4 \end{eqnarray*}$ ist?

Frage 4:
Anstatt einer Halbierung des Radius (von Schritt zu Schritt) soll jetzt nur noch ein Viertel von diesem abgetragen werden, um die weiteren Kreissektoren zu erzeugen. Die Startsehne besitzt folgenden Wert:
$\begin{eqnarray*} s_0=\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2} } }} } \end{eqnarray*}$
Wie groß müsste jetzt der Faktor k sein, damit wiederum $\begin{eqnarray*} A_\infty=\pi/4 \end{eqnarray*}$ beträgt?

Diese Aufgabe ist relativ einfach, denn sie ist ja eher ergebnisorientiert und damit auch für Schüler gut geeignet. Es bedarf ein paar unkomplizierter Programmzeilen in Basic, Python etc. und man hat die Antworten im Handumdrehen heraus. Aber auch schlichte Geometrie-Software kann hier schon sehr hilfreich sein, um die Ergebnisse enger einkreisen zu können.

Gruß Conny
.

05.08.2025, 08:50

Leopold

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LÖSUNG der Aufgabe "Schwerpunkt auf Inkreis".

Am einfachsten geht die Lösung wohl mit baryzentrischen Koordinaten, weil alle Punkte und Seiten des Dreiecks gleichberechtigt behandelt werden. Da das aber nicht so bekannt ist, will ich hier eine Lösung mit kartesischen Koordinaten vorstellen, ganz ähnlich, wie Conny_1729 es gemacht hat.

Ich verwende im Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ die üblichen Bezeichnungen und lege es so in ein Koordinatensystem mit Ursprung $\begin{align*} O \end{align*}$ , daß

$\begin{align*} A = \left( q ,0 \right) \, , \ \ B = \left( p , 0 \right) \, , \ \ C = \left( 0 , h \right) \ \ \text{mit} \ \ p>q, \, h>0 \end{align*}$

gilt. Für den Flächeninhalt $\begin{align*} F \end{align*}$ des Dreiecks besteht nach Heron die Formel

$\begin{align*} F^2 = \frac{1}{16} (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) \end{align*}$

Weiter hat man

$\begin{align*} p = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2c} \, , \ \ q = - \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c} \end{align*}$

Die zweite Beziehung kann man so herleiten:

$\begin{align*} h^2 + p^2 = a^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ h^2 + (q+c)^2 = a^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ h^2 + q^2 + c^2 + 2cq = a^2 \end{align*}$
$\begin{align*} \Leftrightarrow \ \ b^2 + c^2 + 2cq = a^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ q = - \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c} \end{align*}$

Und analog macht man es mit der ersten.

Für den Schwerpunkt $\begin{align*} S \end{align*}$ bekommt man

$\begin{align*} \overrightarrow{OS} = \frac{1}{3} \, \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3} \, \overrightarrow{OB} + \frac{1}{3} \, \overrightarrow{OC} = \left( \frac{1}{3} (p+q) , \frac{1}{3} h \right) \end{align*}$

Mit den Formeln von $\begin{align*} p \end{align*}$ und $\begin{align*} q \end{align*}$ vom Anfang und mit $\begin{align*} h = \frac{2F}{c} \end{align*}$ wird daraus

$\begin{align*} S = \left( \frac{a^2-b^2}{3c} , \frac{2F}{3c} \right) \end{align*}$

Für den Inkreismittelpunkt $\begin{align*} W \end{align*}$ kann man die von Conny_1729 verwendete Formel nehmen. Sie ist aber vielleicht nicht jedem bekannt, so daß wir hier $\begin{align*} W \end{align*}$ als Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden ermitteln. Wer das nicht braucht, kann unten weiterlesen, wo die Formel für $\begin{align*} W \end{align*}$ steht. Die Winkelhalbierenden von $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} B \end{align*}$ besitzen die Parameterdarstellungen

$\begin{align*} (x,y) = \overrightarrow{OA} + \lambda \left( b \, \overrightarrow{AB} + c \, \overrightarrow{AC} \right) \, , \ \ (x,y) = \overrightarrow{OB} - \mu \left( a \, \overrightarrow{AB} + c \, \overrightarrow{CB} \right) \, ; \ \ \lambda, \mu \in \mathbb{R} \end{align*}$

Durch Gleichsetzen wird hieraus

$\begin{align*} \text{(*)} \ \ \overrightarrow{OA} + \lambda \left( b \, \overrightarrow{AB} + c \, \overrightarrow{AC} \right) \ = \ \overrightarrow{OB} - \mu \left( a \, \overrightarrow{AB} + c \, \overrightarrow{CB} \right) \end{align*}$

In der letzten Gleichung erhält man aus der zweiten Koordinate

$\begin{align*} \lambda \left( ch \right) = \mu \left( ch \right) \, , \ \text{also} \ \lambda = \mu \end{align*}$

Das setzt man in $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ ein und bekommt

$\begin{align*} \overrightarrow{OA} + \lambda \left( b \, \overrightarrow{AB} + c \, \overrightarrow{AC} \right) \ = \ \overrightarrow{OB} - \lambda \left( a \, \overrightarrow{AB} + c \, \overrightarrow{CB} \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ \lambda \left( b \, \overrightarrow{AB} + c \, \overrightarrow{AC} + a \, \overrightarrow{AB} + c \, \overrightarrow{CB} \right) = \overrightarrow{AB} \ \ \Leftrightarrow \ \ \lambda (a+b+c) \, \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \end{align*}$

Es folgt $\begin{align*} \lambda = \frac{1}{a+b+c} \end{align*}$ und damit, eingesetzt in die Gleichung für die Winkelhalbierende von $\begin{align*} A \end{align*}$ :

$\begin{align*} W = \left( q + \frac{1}{a+b+c} \left( b(p-q) - cq \right) \, , \, \frac{ch}{a+b+c} \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ W = \left( \frac{aq + bp}{a+b+c} , \frac{2F}{a+b+c} \right) \end{align*}$

Und hierin werden $\begin{align*} p,q \end{align*}$ mit den Formeln vom Eingang eliminiert. Nach einer Faktorisierung und Kürzen durch $\begin{align*} a+b+c \end{align*}$ erhält man:

$\begin{align*} W = \left( \frac{(a+b-c)(a-b)}{2c} , \frac{2F}{a+b+c} \right) \end{align*}$

Zugleich kann man aufgrund des Ansatzes in der zweiten Koordinate den Inkreisradius $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ ablesen, falls man es noch nicht wußte:

$\begin{align*} \varrho = \frac{2F}{a+b+c} \end{align*}$

Die Bedingung, daß $\begin{align*} S \end{align*}$ auf dem Inkreis liegt, ist

$\begin{align*} \overrightarrow{SW}^{\, 2} = \varrho^2 \end{align*}$

Zunächst die linke Seite:

$\begin{align*} \overrightarrow{SW} = \overrightarrow{OW} - \overrightarrow{OS} = \left( \frac{(a+b-c)(a-b)}{2c} - \frac{a^2 - b^2}{3c} \, , \, \frac{2F}{a+b+c} - \frac{2F}{3c} \right) \end{align*}$

$\begin{align*} = \left( \frac{(a-b)(a+b-3c)}{6c} , - \frac{2F(a+b-2c)}{3c(a+b+c)} \right) \end{align*}$

Und jetzt startet die Rechnung:

$\begin{align*} \left( \frac{(a-b)(a+b-3c)}{6c} \right)^2 + \left( \frac{2F(a+b-2c)}{3c(a+b+c)} \right)^2 = \left( \frac{2F}{a+b+c} \right)^2 \end{align*}$

Man bringt alles auf eine Seite und faßt die Glieder, die $\begin{align*} F \end{align*}$ enthalten, zusammen:

$\begin{align*} \frac{4 \left( (a+b-2c)^2 - 9c^2 \right) \cdot F^2}{9c^2(a+b+c)^2} + \frac{(a+b-3c)^2 (a-b)^2}{36c^2} = 0 \end{align*}$

Vorne verwenden wir die dritte binomische Formel:

$\begin{align*} \frac{4 (a+b+c)(a+b-5c) \cdot F^2}{9c^2(a+b+c)^2} + \frac{(a+b-3c)^2(a-b)^2}{36c^2} = 0 \end{align*}$

Und dann noch die Formel von Heron, kürzen, und alles auf einen Bruchstrich:

$\begin{align*} \frac{(a+b-5c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) + (a+b-3c)^2(a-b)^2}{36c^2} = 0 \end{align*}$

Faßt man im letzten Bruch den Zähler als Polynom in $\begin{align*} c \end{align*}$ auf, sieht man sofort, daß $\begin{align*} c=0 \end{align*}$ eine Nullstelle ist. Man kann sogar $\begin{align*} c^2 \end{align*}$ ausklammern. Einfach alles ausmultiplizieren und kürzen. Man erhält wie gewünscht

$\begin{align*} 5 \left( a^2 + b^2 + c^2 \right) = 6 \left( ab + bc + ca \right) \end{align*}$

17.08.2025, 09:20

Gualtiero

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Lösung Aufgabe 186

Zitat:

Aufgabe 186: Alle Antworten zusammengefasst

Zu Frage 1
Sehnenlänge = 1.2255 (wie schon erwähnt)

Zugrunde liegende Formel: $\begin{eqnarray*} A_i=\left(\frac{1}{4}\right)^i\cdot\arcsin\left(h\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^i\right) \end{eqnarray*}$ , beginnend mit Index 0.

Zu Frage 2
Wenn ich die Frage richtig verstanden habe geht es darum, dass die Summe der Öffnungswinkel aller Sektoren ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sein muss, damit der Schnittwinkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 0 wird.
Die Formel der Winkelsumme $\begin{eqnarray*} (W_i) \end{eqnarray*}$ ähnelt stark der der Flächensumme:

$\begin{eqnarray*} W_i=2 \cdot \arcsin \left( \left(\frac{2}{3}\right)^i \cdot h \right) \end{eqnarray*}$

Mit einer selbst geschriebenen Routine bekomme ich für das anfängliche Sehnenmaß 1.02365136

Bei Frage 3 habe ich $\begin{eqnarray*} k=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und bei Frage 4 $\begin{eqnarray*} k=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ bekommen.

Also in beiden Fällen werden Radius und Sehne in gleichem Maße verkleinert.

20.08.2025, 05:50

Leopold

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Zitat:

Aufgabe 187

In einem regelmäßigen $\begin{align*} 3n \end{align*}$ -Eck $\begin{align*} A_0 A_1 A_2 \ldots A_{3n-1} \end{align*}$ sei $\begin{align*} a_k \end{align*}$ die Länge der Strecke $\begin{align*} A_0 A_k \end{align*}$ .

Man zeige: $\begin{align*} a_{n+1} - a_{n-1} = a_1 \end{align*}$

Die Aufgabe kann mit verschiedenen Mitteln gelöst werden. Es geht auch mit Mittelstufengeometrie der Schule.

26.11.2025, 14:43

HAL 9000

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Zitat:

Aufgabe 188
Man bestimme die kleinste natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , so dass Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \underbrace{100^{100^{\cdots^{100}}}}_n>\underbrace{3^{3^{\cdots^3}}}_{100} \end{eqnarray*}$

zwischen den beiden beteiligten Potenztürmen gilt.

Es gab (gibt?) hier ja so einige Potenzturm-Fans - vielleicht ist das was für die. Augenzwinkern

01.12.2025, 18:55

Conny_1729

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Zitat:

Lösung zu Aufgabe 188

Die kleinste natürliche Zahl n = 99.

$\begin{eqnarray*} \underbrace{100^{100^{\cdots^{100}}}}_{99}>\underbrace{3^{3^{\cdots^3}}}_{100}>\underbrace{100^{100^{\cdots^{100}}}}_{98} \end{eqnarray*}$

Der Nachweis mittels Induktionsverfahren ist unter "Diskussionen" erfolgt.
siehe: Nachweis von n beim Potenztürme-Problem

Gruß Conny

01.12.2025, 19:21

Conny_1729

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Zitat:

Aufgabe 189

$\begin{eqnarray*} \lfloor \left(\sqrt{A}+\sqrt{B} \right)^{\left(B-A\right)\cdot \left(A\cdot B\right)^{\text{ } 2}+8 \text{ } }\rfloor \equiv 124 \text{ }mod \text{ }\text{(}125\text{)} \end{eqnarray*}$

Bleiben wir mal bei den „großen Zahlen“. Für die angegebene Gleichung mit der Gaußklammer sollen die Primzahlen A und B gefunden werden, wobei A < B gilt und die Primzahlen im Bereich von 456 bis 567 liegen sollen. Für welche Primzahl-Paare {A, B} kann man mit Gewissheit (also nachweislich) behaupten, dass sie der obigen Gleichung genügen werden?

Gruß Conny

02.12.2025, 07:41

HAL 9000

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Lösung 189

Zunächst mal ist festzustellen, dass Exponent $\begin{eqnarray*} n=(B-A)\cdot (A\cdot B)^2+8 \end{eqnarray*}$ gerade ist.

Jetzt ein wenig Brainstorming: Gesetzt den Fall, dass nicht nur $\begin{eqnarray*} 456 < A < B < 567 \end{eqnarray*}$ gilt, sondern zusätzlich auch noch $\begin{eqnarray*} \sqrt{B}-\sqrt{A}<1 \end{eqnarray*}$ , so folgt für alle geraden positiven Exponenten $\begin{eqnarray*} n=2k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left\lfloor \left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)^n \right\rfloor = x_n-1 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x_n = \left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)^n + \left(-\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)^n \end{eqnarray*}$ , gemäß Binomischen Satz ist dabei $\begin{eqnarray*} x_{2k} = 2\sum_{j=0}^k \binom{2k}{2j} A^j B^{k-j} \end{eqnarray*}$ nämlich eine ganze Zahl. Wir wollen nun nachweisen, dass es solche $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} x_{2k} \end{eqnarray*}$ durch 125 teilbar ist.

Günstig wäre z.B., wenn man Primzahlen $\begin{eqnarray*} A=500-d,B=500+d \end{eqnarray*}$ finden könnte: Denn dann ist ja $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ungerade und damit $\begin{eqnarray*} n=2d\cdot (A\cdot B)^2+8\equiv 2\bmod 4 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ungerade und weiter dann

$\begin{eqnarray*} x_{2k} \equiv 2\cdot d^k \sum_{j=0}^k \binom{2k}{2j} (-1)^j\equiv 0\bmod 500 \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} d=21 \end{eqnarray*}$ und den zugeordneten Primzahlen $\begin{eqnarray*} A=479 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=521 \end{eqnarray*}$ geht diese Spekulation anscheinend auf (es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{521}-\sqrt{479}\approx 0.939 \end{eqnarray*}$ , Schwein gehabt). Augenzwinkern

EDIT: $\begin{eqnarray*} d=9 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A=491,B=509 \end{eqnarray*}$ klappt ebenfalls. Ich hoffe, das genügt dir, denn für den Nachweis, dass für alle anderen Primzahlpaare $\begin{eqnarray*} (A,B) \end{eqnarray*}$ aus diesem Bereich nicht $\begin{eqnarray*} \equiv 124\bmod 125 \end{eqnarray*}$ gilt, habe ich noch keine passende Idee (betrifft insbesondere die mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{B}-\sqrt{A}>1 \end{eqnarray*}$ ).

02.12.2025, 07:56

laila49

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Zitat:

Original von Conny_1729

Zitat:

Gruß Conny

in welchem Bundesland können Schüler solche Aufgaben lösen? Mir ist diese als ehemaligem Lehrer zu schwer!

02.12.2025, 08:04

HAL 9000

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Naja, ich würde die Aufgabe als Mathematikolympiade-Niveau Klassenstufe 11/12, Landesrunde oder höher einschätzen. Für den normalen Schulunterricht ist die sicher nichts.

02.12.2025, 11:16

Conny_1729

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HAL 9000 hat ja die beiden möglichen Lösungspaare gefunden, die man mit noch überschaubarem Aufwand nachweisen kann.

Ich gebe zu, dass für einen lückenlosen und höchst korrekten mathematischen Nachweis diese Aufgabe etwas zu „oversized“ ist. Aber man kann, wenn man einen möglichen Lösungsweg antizipiert, diese durchaus mit normalen Schulkenntnissen knacken, zumindest für diese 2 Wertepaare. Als Mathe-Kenntnisse reichen dann aus, wenn man einen Term $\begin{eqnarray*} (a+b)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a-b)^n \end{eqnarray*}$ auflösen kann.

Zitat:

Lösung zu Aufgabe 189:

Die erste Schwierigkeit besteht darin, überhaupt einen Nachweis zu erzwingen, dass die Gleichung für ein bestimmtes Paar {A, B} zutrifft. Hier ist der erste Anhaltspunkt, dass die Summe aus A+B in der Gegend um 1000 liegt. Der zweite Anhaltspunkt ist, dass der Exponent einer geraden Zahl entspricht, er kann also stets durch 2 dividiert werden. Betrachtet man sich den Wurzelausdruck und schreibt vereinfachend für den Exponenten den Ausdruck C, dann ist:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{A} +\sqrt{B} \right)^C=\left(A + B +\sqrt{4AB} \right)^{C/2} \end{eqnarray*}$

Mit dem nächsten Gedankenschritt schreibt man die Ausgangsgleichung etwas um, damit man überhaupt eine Chance bekommt, einen Nachweis zu liefern. (D.h., es könnten jetzt auch Wertepaare dabei übersehen werden, für welche die Ausgangsgleichung gelten würde!!!)
$\begin{eqnarray*} \lfloor \left(\sqrt{A}+\sqrt{B} \right)^{\left(B-A\right)\cdot \left(A\cdot B\right)^{\text{ } 2}+8 \text{ } }\rfloor \equiv 999 \text{ }mod \text{ }\text{(}1000\text{)}\equiv 124 \text{ }mod \text{ }\text{(}125\text{)} \end{eqnarray*}$

Ziel ist es nun, einen Weg zu finden, bei dem ein Faktor 1000 ausgeklammert werden kann und ein restlicher Term $\begin{eqnarray*} \Delta<1 \end{eqnarray*}$ abgezogen wird. Die Abrundungsfunktion schneidet ja dann alle Nachkommastellen weg. Mit folgenden zwei Ausgangsbedingungen hat man nun gute Chancen auf Erfolg, überhaupt ein Wertepaar zu finden.

(1):

$\begin{eqnarray*} A+B=1000 \end{eqnarray*}$

(2):

$\begin{eqnarray*} \frac{(B-A)}{2} \mod(4) = 2 \mod(4) \end{eqnarray*}$

Diese Eigenschaft sagt eigentlich nur aus, dass der geradzahlige Exponent beim Halbieren ungeradzahlig wird, also C/2 soll eine ungerade Zahl sein.

Für die Auswahl der Primzahlen im Intervall [456;567] stehen wegen (1) nur noch zwei Paare zur Auswahl.
(a) A=479 und B=521
(b) A=491 und B=509

Es wird nun davon ausgegangen, dass auch die Vorgabe (2) gilt.
$\begin{eqnarray*} \\&& C={\left(B-A\right)\cdot \left(A\cdot B\right)^2+8} \\&& \frac{C}{2}={\frac{\left(B-A\right)}{2}\cdot \left(A\cdot B\right)^2+4} \end{eqnarray*}$

C/2 ist bzgl. der beiden Wertepaare ungerade. Der Wurzelausdruck innerhalb der Gaußklammern lässt sich dann auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \\&& \left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)^{C}=\left(1000+\sqrt{4AB}\right)^{C/2} \\&& =\left(1000+\sqrt{4AB}\right)^{C/2}+\left[\left(1000-\sqrt{4AB}\right)^{C/2}-\left(1000-\sqrt{4AB}\right)^{C/2}\right] \\&& = \left[\left(1000+\sqrt{4AB}\right)^{C/2}+\left(1000-\sqrt{4AB}\right)^{C/2}\right] -\left[\left(1000-\sqrt{4AB}\right)^{C/2}\right] \\&& \text{mit} \\&&\left[\left(1000-\sqrt{4AB}\right)^{C/2}\right]=\Delta<1 \end{eqnarray*}$

Mit den beiden Primzahl-Paaren (a) & (b) ist in der Tat $\begin{eqnarray*} \Delta<1 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \\&& \left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)^{C}=\left[\left(1000+\sqrt{4AB}\right)^{C/2}+\left(1000-\sqrt{4AB}\right)^{C/2}\right] -\Delta \\&&=\left[2\cdot 1000^{C/2}+k_2\cdot 1000^{C/2-2}\cdot 4AB+k_4\cdot 1000^{C/2-4}\cdot (4AB)^2+...+k_{ C/2-1}\cdot 1000^1\cdot (4AB)^{C/4-1/2}\text{ }\right]-\Delta \end{eqnarray*}$

In der Klammer steht zumindest überall der Faktor 1000, den man nun vor den Klammerausdruck [X] ziehen kann. Das X ist dabei ganzzahlig, da in der Klammer keine Wurzelausdrücke mehr vorhanden sind und die Koeffizienten ebenfalls ganzzahlig sind.
$\begin{eqnarray*} \\&& \left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)^{C}=1000\cdot [X]-\Delta \end{eqnarray*}$

Jetzt hat man endlich die Gewissheit, dass die letzten 3 Stellen vor dem Komma …999,… sein müssen. Setzt man diesen Ausdruck in die Ausgangsgleichung bzgl. der beiden gefundenen Lösungspaare A* und B* ein, dann kann man auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lfloor \left(\sqrt{A^*}+\sqrt{B^*} \right)^C\rfloor \mod (125) = \lfloor 1000\cdot [X]-\Delta \rfloor \mod (125)= 999 \mod (125)=124 \mod (125) \end{eqnarray*}$

Das wäre dann der Lösungsweg für zumindest zwei Wertepaare, der mit noch recht guten Schulkenntnissen nachvollzogen werden kann. Die Schritte hin zur Lösung sind zugegebenermaßen mit etwas Tüftelei und Spürsinn verbunden.

Gruß Conny

02.12.2025, 11:29

HAL 9000

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Ok, das ist dieselbe Lösungsidee wie bei mir - und auch der Nachweis der Nichtexistenz weiterer Lösungen fehlt. Vielleicht sollte man sich daher überlegen, den schwammig gehaltenen Part

Zitat:

Original von Conny_1729
Für welche Primzahl-Paare {A, B} kann man mit Gewissheit (also nachweislich) behaupten, dass sie der obigen Gleichung genügen werden?

durch

Zitat:

Nenne zwei Primzahl-Paare {A, B}, die der obigen Gleichung genügen (mit Beweis).

ersetzen.

------------------------------------------------------------------------------------

Ist übrigens ein genereller Effekt, der bei Potenzen $\begin{eqnarray*} \left(a+\sqrt{b}\right)^n \end{eqnarray*}$ zu verzeichnen ist, wenn $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ganze Zahlen mit $\begin{eqnarray*} \left|a-\sqrt{b}\right|<1 \end{eqnarray*}$ sind:

Denn mit $\begin{eqnarray*} x_n = \left(a+\sqrt{b}\right)^n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y_n = \left(a-\sqrt{b}\right)^n \end{eqnarray*}$ folgt, dass

$\begin{eqnarray*} x_n + y_n = 2\sum_{j=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} \binom{n}{2j} a^{n-2j} b^j \end{eqnarray*}$

stets ganzzahlig ist, und außerdem $\begin{eqnarray*} |y_n| \end{eqnarray*}$ monoton gegen Null fällt (im Fall $\begin{eqnarray*} a<\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ alterniert dabei Folge $\begin{eqnarray*} (y_n) \end{eqnarray*}$ ).

Auch die "Gaußklammervariante" $\begin{eqnarray*} F_n = \left\lfloor \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + \frac{1}{2} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ der Formel von Binet für die Fibonacci-Folge basiert darauf (wenn auch hier noch mit einem Vorfaktor vor der Potenz).

13.01.2026, 14:40

HAL 9000

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Zitat:

Aufgabe 190

$\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n=0,1,\ldots} \end{eqnarray*}$ sei eine Folge ganzer Zahlen mit Startwert $\begin{eqnarray*} a_0>1 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit Primfaktorzerlegung $\begin{eqnarray*} p_1^{s_1}\cdot \ldots \cdot p_r^{s_r} \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \left(p_1+3\right)^{s_1}\cdot \ldots \cdot \left(p_r+3\right)^{s_r} \end{eqnarray*}$ definiert. Man zeige, dass es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} a_{n+2}\geq a_n^3 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt.

21.01.2026, 08:35

HAL 9000

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Ich geb mal noch einen Tipp: Ist $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ nicht durch 3 teilbar, dann gibt es sogar ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n+2}~{\color{red}=}~a_n^3 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

23.01.2026, 08:45

HAL 9000

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Vermutlich ist die Aufgabe doch etwas zu langweilig, hier die Auflösung:

Man schaue sich den jeweils größten Primfaktor $\begin{eqnarray*} q_n \end{eqnarray*}$ der Zerlegung der Zahl $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ an: Im Fall $\begin{eqnarray*} q_n\geq 7 \end{eqnarray*}$ bekommt man $\begin{eqnarray*} q_{n+1}\leq \frac{q_n+3}{2} < q_n \end{eqnarray*}$ , d.h. nach endlich vielen Schritten kommt man zu einem $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , welches allenfalls die Primfaktoren 2,3,5 aufweisen kann.

Ausgehend von $\begin{eqnarray*} a_n = 2^a\cdot 3^b\cdot 5^c \end{eqnarray*}$ mit nichtnegativen ganzen Exponenten $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ folgt nun unmittelbar

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 5^a\cdot 6^b\cdot 8^c = 2^{b+3c}\cdot 3^b\cdot 5^a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+2} = 5^{b+3c}\cdot 6^b\cdot 8^a = 2^{3a+b}\cdot 3^b\cdot 5^{3c+b} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet $\begin{eqnarray*} a_{n+2} = a_n^3\cdot \left(\frac{10}{9}\right)^b \geq a_n^3 \end{eqnarray*}$ , fertig. (*)

Was meine Anmerkung vom 21.1. betrifft: Man sieht leicht, dass aus der Nichtteilbarkeit von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ durch 3 sofort folgt, dass auch $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ nicht durch 3 teilbar ist. In der obigen Beschreibung haben wir somit irgendwann $\begin{eqnarray*} a_n = 2^a\cdot 5^c \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ , und in (*) herrscht dann offenkundig Gleichheit.

09.02.2026, 15:11

HAL 9000

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Mal ein wenig Kombinatorik:

Zitat:

Aufgabe 191

Betrachtet werden 120 Urnen, auf die 119 Kugeln beliebig verteilt werden - ggfs. enthalten Urnen dann auch mehr als eine Kugel.

Nun wird folgendermaßen verfahren:

Gibt es eine Urne mit $\begin{eqnarray*} n\geq 15 \end{eqnarray*}$ Kugeln, wird diese entleert und die Kugeln auf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der 119 anderen Urnen verteilt, d.h. jede Urne bekommt höchstens eine neue Kugel. Diesen Vorgang wiederholt man, solange man noch Urnen mit $\begin{eqnarray*} \geq 15 \end{eqnarray*}$ Kugeln findet.

a) Man entscheide, ob dieser Prozess stets nach endlich vielen Schritten beendet ist.
b) Selbe Frage, aber mit 120 statt 119 Kugeln.

10.02.2026, 15:13

laila49

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zu b)
Anfangsverteilung: für n=1 bis n=15 seien in Urne n 16-n Kugeln. die restlichen Urnen seien leer.

Urne 1 wird entleert und je eine Kugel in die Urnen 2 bis 16 gelegt.

Dann hat man die gleiche Verteilung und man kann den Prozess endlos fortsetzen.

In bin aber nicht sicher, ob dieses Beispiel allerdings für den Beweis, dass bei 119 Kugeln der Prozess notwendig enden muss, ausreicht.

10.02.2026, 16:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von laila49
In bin aber nicht sicher, ob dieses Beispiel allerdings für den Beweis, dass bei 119 Kugeln der Prozess notwendig enden muss, ausreicht.

Wenn es reichen würde, hätte ich a) gar nicht gestellt. Es ist also schon noch was zu tun. Augenzwinkern

10.02.2026, 17:54

laila49

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ich versuche einmal a) :
M sei die Anzahl der Urnen mit mehr als 14 Kugeln.
Um M nach dem ersten Schritt nicht zu verringern, muss mindestens eine weitere Urne mindestens 14 Kugeln enthalten.
Um M nach dem k-ten Schritt nicht zu verringern, muss mindestens eine weitere Urne mindestens 15-k Kugeln enthalten.

sind also weniger als $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{15} k \end{eqnarray*}$ =120 Kugeln vorhanden, kommt der Prozess nach spätestens 15 Schritten zum Stillstand.

11.02.2026, 08:57

HAL 9000

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Ja, kann ich gelten lassen. Freude

Wasserdicht würde man den fälligen indirekten Beweis ungefähr so formulieren: Angenommen, der Prozess geht unendlich weiter, dann mindestens auch bis zum 15.Schritt. Offenkundig sind die bis dahin ausgewählten Urnen sämtlich verschieden, da sie durch die Entleerung nicht so schnell wieder auf Kugelanzahl 15 kommen können. Für die in Schritt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ausgewählte Urne sei $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ die Anzahl Kugeln in dieser Urne zu Beginn des Verfahrens (also vor dem ersten Schritt). Um in Schritt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die notwendige Kugelanzahl 15 zu haben, muss $\begin{eqnarray*} a_k\geq 16-k \end{eqnarray*}$ gelten, da in den Schritten 1 bis $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ jeweils maximal eine Kugel zum Anfangsbestand hinzukommen kann.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{15} a_k \geq \sum_{k=1}^{15} (16-k) = 120 \end{eqnarray*}$ steht dann im Widerspruch zur Gesamtkugelanzahl 119.

12.02.2026, 09:32

HAL 9000

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Ich greife mal etwas vor und poste eine mögliche Olympiadeaufgabe der Zukunft (genauer gesagt vier Jahre in der Zukunft):

Zitat:

Aufgabe 192
Man bestimme die größtmögliche Anzahl aufeinander folgender ganzer Zahlen, die sämtlich nicht teilerfremd zu 2030 sind.

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Mathe-Marathon Schule - Seite 14

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