Mathe-Marathon Schule - Seite 3

10.09.2012, 12:56

srolle

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Zitat:

Lösung 24:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x-1)^3}{(x^2-3)^2} = (x-1)^3\cdot (x^2-3)^{-2}\\<br /> \text{Produkt- und Kettenregel:}\;\\<br /> f'(x)=3(x-1)^2(x^2-3)^{-2}+2x\cdot -2(x^2-3)^{-3}(x-1)^3\\=\frac{3(x-1)^2}{(x^2-3)^2}-\frac{4x(x-1)^3}{(x^2-3)^3} <br /> \\\text{der linke Bruch wird erweitert, sodass wir alles auf einen Bruch bringen} \\\text{und schließlich ausklammern und den Zähler vereinfachen können. Somit:}\\<br /> f'(x)=-\frac{(x-1)^2\cdot (x^2-4x+9)}{(x^2-3)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Bei f'' wird das ganze schon unuebersichtlicher, deshalb setze ich}\; a=-(x-1)^2\cdot (x^2-4x+9)\; \text{und}\; b=(x^2-3)^{-3}.<br /> \\\text{Abgeleitet:} \; a'=-4x^3+18x^2-36x+22\; \text{und}\; b'=-6x(x^2-3)^{-4}<br /> \\<br /> f''(x)=a'\cdot b+a\cdot b'=\frac{-4x^3+18x^2-36x+22}{(x^2-3)^{3}}+\frac{(x-1)(x^2-4x+9)\cdot 6x}{(x^2-3)^4} <br /> \\\text{jetzt wird wieder der linke Bruch erweitert und mühsam ausmultipliziert und vereinfacht, so dass letztendlich:}<br /> \\f''(x)= \frac{(x-1)(2x^4-16x^3+68x^2-96x+66}{(x^2-3)^4} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aufgabe 25
Bereich: Lineare Algebra

$\begin{eqnarray*} \text{M ist die Menge aller (2,2)-Matrizen, für die gilt}\; C = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix},\text{wobei}\; a,b\neq 0.\\<br /> \text{a) Für welche a, b gilt}\; C+C^{T}=E\;\text{?}<br /> \text{b) Zeigen, dass das Quadrat einer Matrix C aus der Menge M wieder zu M gehört, falls}\;| a | \neq | b |\; \text{ist.} \end{eqnarray*}$

10.09.2012, 14:22

Alive-and-well

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zu a )
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\\Rightarrow \\ a+a = 1\\b-b =0\\-b+b=0\\a+a =1\\\Leftrightarrow \\a = \frac {1}{2} \\b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
zu b)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} aa+(-b)b & ab+ba \\ -ba + a(-b) & (-b)b+aa \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} a^2-b^2 & 2ab \\ -2ab & a^2-b^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aufgabe 26
$\begin{eqnarray*} \text{Man bestimme die Lösungsmenge der Gleichung (ohne Anwendung der pq-Formel / Mitternachtsformel):} \\x^2+px+q = 0 \end{eqnarray*}$

Edit: Latex Klammern eingefügt.

10.09.2012, 14:43

kgV

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@ opi: Hatte ja erwähnt, dass ich mir dabei nicht ganz sicher bin... Wo genau liegt mein Fehler?

10.09.2012, 15:03

opi

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Der Fehler liegt hier:

Zitat:

und man einfach mit der durchschnittlichen Ausdehnung rechnen können müsste.

Diese Annahme müsste man erst beweisen. (Gelingt nicht.) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn man das Volumen exakt bestimmen will, muß man Integrieren (Rotationsvolumen).

10.09.2012, 15:55

riwe

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ist doch eh keine schlechte näherung, denke ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2012, 17:28

kgV

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Ok, Integration ist definitiv noch nix für mich, falls wir das überhaupt machen, dann erst nächstes Jahr, und da bin ich voraussichtlich ja schon an der Uni. Und 4% Näherung finde ich auch ganz akzeptabel Big Laugh

Big Laugh

Aber back to topic: @ Alive-and-Well: Willst du die Lösungsmenge in Abhängigkeit von p und q bestimmt sehen?

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10.09.2012, 18:08

Gast11022013

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Zitat:

Lösung:

Man führt eine quadratische Ergänzung durch:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2+q=0 \end{eqnarray*}$

Anwendung der binomischen Formel:

$\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2+q=0<br /> <br /> \left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q<br /> \end{eqnarray*}$

Wurzelziehen:

$\begin{eqnarray*} x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Nun gilt:

1. Fall

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{p}{2}\right)^2=q \end{eqnarray*}$

eine Lösung

2. Fall

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{p}{2}\right)^2<q \end{eqnarray*}$

keine Lösung

3. Fall

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{p}{2}\right)^2>q \end{eqnarray*}$

zwei Lösungen

1. Fall

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}-\frac{p}{2}<br /> <br /> x=-\frac{p}{2}<br /> <br /> L=\{-\frac{p}{2}\} \end{eqnarray*}$

2. Fall

$\begin{eqnarray*} L=\{\emptyset\} \end{eqnarray*}$

3. Fall

$\begin{eqnarray*} L=\{\pm\frac{\sqrt{p^2-4q}-p}{2}\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aufgabe 27

Warum ist der folgende "Beweis" für die Gleichung 2=1 falsch?

$\begin{eqnarray*} a=b<br /> <br /> \Rightarrow<br /> <br /> a^2=ab<br /> <br /> \Rightarrow<br /> <br /> a^2-b^2=ab-b^2<br /> <br /> \Rightarrow<br /> <br /> (a+b)(a-b)=b(a-b)<br /> <br /> \Rightarrow<br /> <br /> a+b=b<br /> <br /> \Rightarrow<br /> <br /> 2b=b<br /> <br /> \Rightarrow <br /> <br /> 2=1<br /> \end{eqnarray*}$

Edit: Tippfehler in der Lösung korrigiert.

10.09.2012, 18:17

Iorek

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Zitat:

Original von Gmasterflash

2. Fall

$\begin{eqnarray*} L=\{\emptyset\} \end{eqnarray*}$

*hust* Das ist aber nicht die leere Menge...

10.09.2012, 18:20

Math1986

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Anmerkung: Die Notation

Zitat:

2. Fall

$\begin{eqnarray*} L=\{\emptyset\} \end{eqnarray*}$

ist so nicht korrekt, da das die Menge der leeren Menge bezeichnet, $\begin{eqnarray*} \left\{\emptyset\right\}\neq\emptyset \end{eqnarray*}$

Gemeint ist vermutlich
$\begin{eqnarray*} L=\emptyset \end{eqnarray*}$

10.09.2012, 18:20

Gast11022013

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verwirrt

Hmm...

Ist das generell falsch? Oder muss man bei der leeren Menge die Mengenklammern ganz weglassen

$\begin{eqnarray*} L=\emptyset \end{eqnarray*}$

, oder alternativ

$\begin{eqnarray*} L=\{\} \end{eqnarray*}$

schreiben?

Sonst passt es?

Edit: Ok hat sich jetzt mit der klärenden Antwort von Math1986 überschnitten.

10.09.2012, 18:21

Cheftheoretiker

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Zitat:

Lösung: 27

$\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b)=b(a-b) \end{eqnarray*}$
Bis hierhin ist die Rechnung richtig. Nun wird durch $\begin{eqnarray*} (a-b) \end{eqnarray*}$ dividiert. Da aus der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ gilt, wird durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ dividiert.

Zitat:

Aufgabe: 28

Zeige durch vollständige Induktion:

$\begin{eqnarray*} 1+2+4+8+...+2^n=2^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$

10.09.2012, 19:58

Dopap

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zu Aufgabe 26:

Zitat:

Original von Gmasterflash
$\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2+q=0<br /> <br /> \left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q<br /> \end{eqnarray*}$

Wurzelziehen:

$\begin{eqnarray*} x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Da setzt du schon die Lösung einer quadratischen Gleichung voraus! genauer:

$\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{p}{2}\right)^2- \left (\left(\frac{p}{2}\right)^2-q \right)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{p}{2}\right)^2- \left(\sqrt {\left(\frac{p}{2}\right)^2-q }\right) ^2=0 \quad\land \left( \frac{p}{2}\right)^2-q \geq 0\quad \end{eqnarray*}$

jetzt den dritten Binomi und den Nullproduktsatz...

11.09.2012, 11:49

Bjoern1982

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Vollständige Induktion in der Schule ?
Ok im Mathe-LK hab ich ein paar Schüler, die das mal kurz machen, aber sonst eher nicht...

Zitat:

Lösung Aufgabe 28:

IV: für alle n aus IN gilt $\begin{eqnarray*} 1+2+4+8+...+2^n=2^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$

IA: n=0 ----> $\begin{eqnarray*} 2^0=2^{0+1}-1=1 \end{eqnarray*}$

IS: $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+2+4+...+2^n+2^{n+1} \overset{\text{IV}}{=} 2^{n+1}-1+2^{n+1}=2 \cdot 2^{n+1}-1=2^{n+2}-1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aufgabe 29:

Die Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide sind O,P,Q und R. Ferner gelte $\begin{eqnarray*} r,s,t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wie liegen die folgenden Geraden g,h und i paarweise zueinander ? Beweise deine Vermutung.

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=(\vec{OP}+\vec{OQ})+r\cdot(\vec{OQ}-\vec{OR}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h:\vec{x}=s\cdot(\vec{OQ}+\vec{OR}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i:\vec{x}=t\cdot(\vec{OP}+\vec{OR}) \end{eqnarray*}$

13.09.2012, 11:02

tmo

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Ich löse mal auf:

Zunächst: Die 3 Vektoren sind linear unabhängig (weil sie eine Pyramide aufspannen).

Die Geraden h und i schneiden sich offensichtlich im Ursprung, da sie nicht identisch sind, ist dies der einzige Schnittpunkt.

Ausnutzung der linearen Unabhängigkeit ergibt, dass g und h windschief sind, denn g hat immer eine $\begin{eqnarray*} \vec{OP} \end{eqnarray*}$ -Komponente, h hingegen nicht.

g und i schneiden sich hingegen bei $\begin{eqnarray*} \vec{OP}+\vec{OR} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} r=-1, t=1 \end{eqnarray*}$ ). Da sie nicht identisch sind, ist dies der einzige Schnittpunkt.

Aufgabe 30:

Man stelle sich eine Dartscheibe (Kreis in 20 Kreissektoren aufgeteilt) vor, nur die Nummerierung soll "optimiert" sein im folgenden Sinne:

Da Fehlwürfe auf hohe Zahlen möglichst hart bestraft werden sollen, ist das Ziel die Summe der Differenzen aller Nachbarfelder zu maximieren. Natürlich treten weiterhin die Zahlen 1 bis 20 je genau einmal auf.

Man bestimme (und beweise das Resultat) die maximale Summe und vergleiche mit der "echten" Dartscheibe.

16.09.2012, 11:15

HAL 9000

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In einem halben Satz schaffe ich es nicht, denn es soll nach Möglichkeit ja auch verstanden werden:

Zitat:

Lösung Aufgabe 30

Folgende Vorüberlegungen sind entscheidend: Die Summe der absoluten Differenzen benachbarter Zahlen entspricht der Summe der absoluten Differenzen benachbarter lokaler Extrema. Darunter verstehe ich hier Zahlen, die entweder größer sind als ihre beiden Nachbarn (lokales Maximum) oder aber kleiner sind als diese Nachbarn (lokales Minimum). In einem weiteren Schritt wird dann klar, dass diese Summe gleich der doppelten Summe aller lokalen Maxima abzüglich der doppelten Summe aller lokalen Minima ist.

Gibt es nun genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ lokale Maxima, dann muss es aufgrund der zirkulären Anordnung der Zahlen auch genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ lokale Minima geben, und die Gesamtsumme $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ wird maximal, wenn an den Maxima die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ größten und an den Minima die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ kleinsten der Zahlen 1..20 stehen, d.h.

$\begin{eqnarray*} S = 2\sum_{i=1}^k ((21-i)-i) = 42k-2k(k+1) = 40k-2k^2= 200-2(10-k)^2 \end{eqnarray*}$

Über $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ wird dies nun wieder maximal für $\begin{eqnarray*} k=10 \end{eqnarray*}$ , und das Maximum $\begin{eqnarray*} S=200 \end{eqnarray*}$ wird genau dann erreicht, wenn auf der Dartscheibe alternierend Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \{1,\ldots,10\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{11,\ldots,20\} \end{eqnarray*}$ abwechseln. Insgesamt gibt es unter den $\begin{eqnarray*} 19! \end{eqnarray*}$ drehungsinvarianten Varianten immerhin $\begin{eqnarray*} 9!\cdot 10! \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, dieses Maximum 200 auch tatsächlich zu erreichen.

Wie bereits in Diskussionen aus dem Thread "Mathe-Marathon Schule" ausgeführt, hat die reale Dartscheibe

20 - 1 - 18 - 4 - 13 - 6 - 10 - 15 - 2 - 17 - 3 - 19 - 7 - 16 - 8 - 11 - 14 - 9 - 12 - 5

diese Eigenschaft nicht: Gemäß obiger Überlegungen kann man hier feststellen, dass es nur jeweils 9 lokale Minima und Maxima gibt - die 10 und die 11 "fehlen", dementsprechend kommt man hier nur auf $\begin{eqnarray*} S=198 \end{eqnarray*}$ .

16.09.2012, 12:00

tmo

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Ich dachte an folgendes Argument:

In der Summe kommt jede Zahl genau 2 mal vor, positiv falls sie größer als der jeweilige Nachbar ist, negativ, falls sie kleiner ist. Insgesamt gehen in die 20 Summanden 20 Zahlen positiv und 20 Zahlen negativ ein.
Daher wird die Summe maximal, wenn die "großen" Zahlen 11-20 je 2 mal positiv auftreten und die "kleinen" Zahlen 1-10 je 2 mal negativ, was genau dann der Fall ist, wenn also abwechselnd große und kleine Zahlen angeordnet werden.

Dann mal die nächste Aufgabe. Freude

Freude

16.09.2012, 12:37

HAL 9000

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Ich zähle 3 Sätze, also 500% mehr als versprochen. Big Laugh

Big Laugh

Aber ja, das ist noch einen Tick einfacher als das von mir oben.

Ich gebe ab an jeden, der eine schülertaugliche Aufgabe in petto hat.

16.09.2012, 13:18

shipwater

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Vielleicht traut sich hier mal wieder ein Schüler.

Zitat:

Aufgabe 31

[attach]25865[/attach]

Man berechne den Flächeninhalt der angegebenen Figur in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
(Der Schwerpunkt liegt in der Berechnung von dem Radius des kleinen Kreises, diesen Teil sollte man also nicht zu kurz halten)

17.09.2012, 20:10

Bjoern1982

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Es traut sich offenbar niemand.
Da ich eine schöne Steckbriefaufgabe entdeckt habe, poste ich mal die Lösung:

Zitat:

Lösung Aufgabe 31:

Sei r der Radius des kleinen Vollkreises
Durch Pythagoras folgt:

$\begin{eqnarray*} (\frac{a}{2}+r)^2=(a-r)^2+(\frac{a}{2})^2 \rightarrow r=\frac{a}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{rot}=\frac{a^2}{2} \cdot \pi -\frac{a^2}{4} \cdot \pi - \frac{a^2}{9} \cdot \pi=\frac{5}{36}a^2 \cdot \pi \end{eqnarray*}$

17.09.2012, 20:18

Bjoern1982

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Zitat:

Aufgabe 32:

Gesucht ist (jeweils) eine ganzrationale Funktion 4. Grades mit den folgenden Eigenschaften:

a) y-Achsensymmetrisch, Wendepunkt bei (2|2), wobei die beiden Wendetangenten senkrecht zueinander stehen.

b) globales Minimum im Ursprung, die Funktion t(x)=-2x+2,5 beschreibt eine der Wendetangenten, wobei die zugehörige Wendenormale eine Ursprungsgerade ist.

17.09.2012, 21:47

srolle

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Zitat:

Lösung Aufgabe 32

a) Wegen der Symmetrie zur y-Achse haben wir den Funktionsterm: $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^2+c \end{eqnarray*}$

Der WP (2|2) liefert uns schon 2 Bedingungen, zusammen mit der Eigenschaft, dass die Funktion symmetrisch zur y-achse ist folgt, dass der zweite WP (-2|2) ist. Wegen den zwei zueinander senkrecht stehenden Wendetangenten, muss das Produkt deren Steigungen -1 ergeben. Somit haben wir die 3 brauchbaren Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} f''(2)=0 \wedge f(2)=2\wedge f'(-2)\cdot f'(2)=-1 \end{eqnarray*}$

Entsprechend eingesetzt erhalten wir:
$\begin{eqnarray*} 48a+2b=0 \wedge 16a+4b+c=2\wedge -1024a^2-256ab-16b^2=-1 \end{eqnarray*}$

Und Somit:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{64}x^4-\frac{3}{8}x^2+\frac{13}{4} \end{eqnarray*}$

b) Hier lautet der allgemeine Funktionsterm $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$

Also brauchen wir 5 Bedinungen:

Aus dem globalem Minimum im Ursprung folgt schonmal $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \wedge f(0)=0 \end{eqnarray*}$ .
Da die normale zu t(x) eine Ursprungsgerade ist, lautet die Normale n(x)=0,5x. Dort wo sich n(x) und t(x) schneiden, ist auch der WP, das ist für x=1 der fall. Damit haben wir t(1)=0,5. Jetzt kommen die fehlenden 3 Bedinungen zusammen: $\begin{eqnarray*} f(1)=\frac{1}{2} \wedge f'(1)=-2\wedge f''(1)=0 \end{eqnarray*}$

Dass d=e=0 ist, sieht man direkt nach dem Einsetzen, somit haben wir nurnoch ein LGS für a,b und c:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0,5 \\ 4&3&2&-2 \\ 12&6&2 & 0 \end{array} \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{2} \\ 0&1&0&-14 \\ 0&0&1 & 9 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und somit: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{11}{2}x^4-14x^3+9x^2 \end{eqnarray*}$

Schöne Aufgabe, werde ich mal bei meinen Nachhilfeschülern ausprobieren. Freude

Freude

Neue Aufgabe folgt noch heute Abend.

Edit Equester: Aufgabenteil a) durch Verbesserung ersetzt.

17.09.2012, 22:14

srolle

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Irgendwie nichts besseres auf die schnelle gefunden, aber hier sollte sich bestimmt jemand trauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

:

Zitat:

Aufgabe 33
Bereich: Analysis

Gegeben ist die Funktion h mit
$\begin{eqnarray*} h(x)=-\frac{1}{2}e^x+\frac{e}{2}; x \in R \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} c \in R \end{eqnarray*}$ ist die Funktion $\begin{eqnarray*} H_c \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} H_c(x)=\int_c^x \! h(t) \, dt; x \in R \end{eqnarray*}$

Begründe, dass nur eines der unten dargestellten Schaubilder zu einer Funktion $\begin{eqnarray*} H_c \end{eqnarray*}$ gehören kann. Bestimme den zugehörigen Wert von c.

[attach]25880[/attach]

17.09.2012, 22:20

Bjoern1982

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Bei 32a fehlt "wobei die beiden Wendetangenten senkrecht zueinander stehen."

Edit Equester: Fehler wurde behoben. Der übersichthalber im eigentlichen Post verbessert.

20.09.2012, 00:41

Gast11022013

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Dann werde ich mal meine Lösung posten:

Zitat:

Lösung:

$\begin{eqnarray*} h(x)=-\frac12e^x+\frac{e}2<br /> h(t)=-\frac12e^t+\frac{e}2<br /> <br /> \int_c^x \! -\frac12e^t+\frac{e}2 \, dt =\left[-\frac12e^t+\frac{e}2t\right]_{c}^{x}<br /> <br /> =-\frac{1}{2}e^x+\frac{e}{2}x+\frac{1}{2}e^c-\frac{e}{2}c \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist nach unten geöffnet. Somit scheidet Abbildung 1. bereits aus.
Abbildung 2. ist nicht auf der y-Achse verschoben. Abbildlung 3. ist um -1 auf der y-Achse verschoben.

Da der "hintere Teil" $\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{2}e^c-\tfrac{e}{2}c \end{eqnarray*}$ nie negativ wird, weil

$\begin{eqnarray*} e^c\geq e\cdot c \end{eqnarray*}$

ist kommt nur Abbildung 2. in frage.

Der zugehörige c-Wert ist c=1

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^1-\frac{e}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}e^1-\frac{1}{2}e^1=0 \end{eqnarray*}$

Diese Lösung ist relativ leicht zu sehen.
Andernfalls hätte man sich diesem Wert auch mittels Newton-Verfahren annähern können. Auch wenn (aufgrund einer Division mit Null) dieser nicht erreicht wird.

Edit: Intervallgrenzen angepasst.

Zitat:

Aufgabe 34

Bereich: Analysis

$\begin{eqnarray*} K_a \end{eqnarray*}$ ist das Schaubild von $\begin{eqnarray*} f_a(x)=x+3+\frac{a}{x-1} ; x\neq 1 ; a>0 \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie die Werte von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so, dass der Hochpunkt von $\begin{eqnarray*} K_a \end{eqnarray*}$ auf der x-Achse liegt.

20.09.2012, 10:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Da der "hintere Teil" $\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{2}e^c-\tfrac{e}{2}c \end{eqnarray*}$ nie negativ wird [...] kommt nur Abbildung 2. in frage.

Wieso soll das ein Grund dafür sein? Schließlich könnte der "vordere Teil" das abfangen!

Der eigentliche Grund ist, dass diese Integralfunktion mindestens eine Nullstelle haben muss (nämlich an der Stelle x=c). Eine solche Nullstelle ist in der dritten Abbildung nicht erkennbar.

20.09.2012, 11:11

srolle

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Zitat:

Lösung Aufgabe 34
Wir führen eine typische Kurvendiskussion durch:
$\begin{eqnarray*} f_a(x)=x+3+\frac{a}{x-1} ; x\neq 1 ; a>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_a(x)=1-\frac{a}{(x-1)^2} \;\;\; f''_a(x)=\frac{2a}{(x-1)^3}<br /> \end{eqnarray*}$

Gesucht ist erstmal der Hochpunkt von $\begin{eqnarray*} K_a \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f'_a(x)=0 \Rightarrow x^2-2x+1-a=0 \Rightarrow x_{1/2}=1\pm \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Jetzt in die zweite Ableitung eingesetzt, um zu überprüfen, für welches x es sich um einen HP handelt:

$\begin{eqnarray*} f''_a(1+\sqrt{a} )=\frac{2}{\sqrt{a}} > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''_a(1-\sqrt{a} )=-\frac{2}{\sqrt{a}} < 0 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} f''_a(1-\sqrt{a} )< 0 \end{eqnarray*}$ ist der HP bei $\begin{eqnarray*} x=1-\sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Nun noch den y-Wert des Hochpunkts bestimmen:
$\begin{eqnarray*} f_a(1-\sqrt{a} )=1-\sqrt{a}+3+\frac{a}{1-\sqrt{a}-1}=4\sqrt{a}-2a <br /> \end{eqnarray*}$

Somit haben wir jetzt unseren Hochpunkt $\begin{eqnarray*} HP_a(1-\sqrt{a}\;|\;4\sqrt{a}-2a) \end{eqnarray*}$

Da der Hochpunkt auf x-Achse liegen soll, muss der y-Wert 0 sein.

$\begin{eqnarray*} 4\sqrt{a}-2a=0\text{ für } a_1=0 \wedge a_2=4 \end{eqnarray*}$ Wegen $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ haben wir somit als einzige Lösung $\begin{eqnarray*} a=4 \end{eqnarray*}$

Mir fällt gerade nichts anderes ein, außer wieder eine Analysisaufgabe. Kann gerne jemand, der was besseres hätte, für mich übernehmen, damit hier wieder bisschen Abwechslung reinkommt, nach 3 Analysisaufgaben am Stück. smile

smile

20.09.2012, 11:38

kgV

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Verflixt, srolle, jetzt hätte ich sie auch gehabt... Hättest du nicht noch ne halbe Stunde warten können? Big Laugh

Big Laugh

Dann nehm ich als Zweitplatzierter mal die Einladung an:

Zitat:

Aufgabe 35
Bereich: Geometrie
Welchen Winkel schließen in einem Würfel eine Raumdiagonale und eine Seitenkante ein?
Tipp: Skizze und rechtwinklige Dreiecke inkl. Winkelfunktionen

20.09.2012, 11:58

shipwater

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Zitat:

Lösung Aufgabe 35

[attach]25913[/attach]

Laut Skizze gilt $\begin{eqnarray*} \tan(\alpha)=\frac{e}{a}=\frac{\sqrt{a^2+a^2}}{a}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \alpha \approx 54,74^\circ \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aufgabe 36

Bereich: Analytische Geometrie

Gegeben sind die Ebene $\begin{eqnarray*} E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und die Gerade $\begin{eqnarray*} g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ sei nun eine Gerade, die parallel zu $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist, durch den Punkt $\begin{eqnarray*} B(3|5|12) \end{eqnarray*}$ verläuft und mit der Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einen Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ gemeinsam hat. Gesucht sind die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ .

23.09.2012, 01:34

Bjoern1982

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Zitat:

Lösung Aufgabe 36:

Sei P(7+t|9+2t|6-2t) ein allgemeiner Punkt auf g und $\begin{eqnarray*} \vec{n_E}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Normalenvektor der Ebene E, welchen man durch Hinschauen oder z.B. mittels Kreuzprodukt ermitteln kann. Damit ist E: 3x+y+2z=12, wodurch ferner direkt ersichtlich ist, dass $\begin{eqnarray*} B \notin E \end{eqnarray*}$

Gesucht ist der Punkt P, so dass $\begin{eqnarray*} \vec{BP} \cdot \vec{n_E}=0 \end{eqnarray*}$ , denn nur dann liegen h und E parallel zueinander.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4+t \\ 4+2t \\ -6-2t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=0 \rightarrow t=-4 \rightarrow P(3|1|14) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aufgabe 37:

Der Preis einer Ware wird zunächst um p Prozent reduziert.
Da die Nachfrage dennoch nicht größer wird, wird der Preis nun sogar nochmal um den doppelten vorherigen Rabatt gesenkt, so dass die Ware jetzt nur noch halb so teuer ist wie am Anfang.
Berechne den zum Sachverhalt passenden Prozentsatz p.

23.09.2012, 02:47

Dopap

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ich hätte noch ne schöne Aufgabe mit Kugeln.

Dazu muss man erst mal die Aufgabe 37 lösen. Ungern, aber nach den Regeln so gewollt:

Zitat:

Lösung zu Aufgabe 37

$\begin{eqnarray*} (1-p)(1-2p)=\frac 1 2 \Rightarrow 4p^2-6p+1=0 \Rightarrow p=\frac {3-\sqrt 5} {4} \approx 19.1% \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aufgabe 38:

Wie gross ist der Durchmesser der grössten Kugel, die zwischen Einheitswürfel und dessen Innkugel passt ?

25.09.2012, 21:57

kgV

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Zitat:

Lösung38
In einem Einheitswürfel mit der Kantenlänge 1 ist die Diagonale $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ und die Raumdiagonale $\begin{eqnarray*} \sqrt3 \end{eqnarray*}$ Der Abstand der Inkugel mit Radius 0.5 zur Raumecke beträgt $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt3-1}{2}=0.36603 \end{eqnarray*}$ Der Winkel den die Boden- und die Raumdiagonale einschließen, beträgt $\begin{eqnarray*} \tan^{-1}\frac{1}{\sqrt2}=35.2643° \end{eqnarray*}$ (Den Komplementärwinkel hatte ich bei Aufgabe35 Big Laugh

Big Laugh

). Aufgrund der Parallelität der x-Achse und der Geraden parallel zur x-Achse durch den Schnittpunkt der Raumdiagonale mit der Kugel lautet der Winkel zwischen Raumdiagonale und Parallele ebenfalls 35.26°. Den Winkelfunktionen zufolge liefert der Sinus die kleinere Strecke, womit wir als Radius für die kleinstmögliche Kugel hätten: $\begin{eqnarray*} \sin\alpha=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} \rightarrow \sin35.26°\cdot 0.36603=0.21132 \end{eqnarray*}$ Das noch halbiert haben wir als Radius: $\begin{eqnarray*} r_{Klein}=0.10566 \end{eqnarray*}$

edit:

Zitat:

Original von tmo
[attach]25980[/attach]

Durch diese Zeichnung komme ich jetzt letztendlich auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt3-1}{2}=r_{klein}(1-\sqrt3) \end{eqnarray*}$ , woraus folgt: $\begin{eqnarray*} r_{klein}=\frac{\sqrt3-1}{2(1+\sqrt3)}=0.13397 \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es stimmen.
Lg

27.09.2012, 15:06

kgV

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Zitat:

Aufgabe 39
Bereich: Analysis
Berechne (auf mindestens 4 Dezimalen genau) die Schnittpunkte der Funktion $\begin{eqnarray*} \left(\frac{6}{5}\right)^x \end{eqnarray*}$ mit der Fixwertgeraden $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ , d.h. bestimme die Fixwerte dieser Funktion

27.09.2012, 15:26

HAL 9000

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Geht sogar exakt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \definecolor{mbcolor}{rgb}{0.925,0.957,0.984} \color{mbcolor} \frac{W_k(\ln(5)-\ln(6))}{\ln(5)-\ln(6)}\;\mbox{für}\;k=-1,0 \end{eqnarray*}$

30.09.2012, 09:26

Sherlock Holmes

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Kurze Frage: Sind Fixwerte einfach Schnittpunkte?

Edit: Achso HAL, da ist deine Lösung. Big Laugh

Big Laugh

01.10.2012, 18:43

Gast11022013

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Wenn sonst niemand will, dann erlöse ich hiermit HAL 9000 von seiner Schweigepflicht und freue mich schon auf seine, hoffentlich folgende, exakte Lösung. Freude

Freude

Hat bestimmt was mit der Lambertschen-W-Funktion zu tuen?

Zitat:

Lösung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left(\frac65\right)^x<br /> <br /> g(x)=x \end{eqnarray*}$

Wir suchen die Schnittstellen der beiden Funktionen.

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)<br /> <br /> \left(\frac65\right)^x=x<br /> <br /> \left(\frac65\right)^x-x=0<br /> \end{eqnarray*}$

An die Lösung dieser Gleichung kommen wir nur mit einem Näherungsverfahren wie dem von Newton. Dazu benötigen wir die Ableitung. Um die Ableitung bestimmen zu können führen wir einen Basiswechsel durch:

$\begin{eqnarray*} h(x)=e^{ln\left(\frac65\right)\cdot x}-x<br /> <br /> h '(x)=ln\left(\frac{6}{5}\right)\cdot \left(\frac65\right)^x-1<br /> \end{eqnarray*}$

Mit dem Startwert
$\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$

den man mit einer Wertetabelle und dem Zwischenwertssatz ermitteln kann führt dies zu:

$\begin{eqnarray*} x_0-\frac{h(x_0)}{h '(x_0)}=\dotso \approx 1,2577<br /> <br /> x_1=1,2577 \end{eqnarray*}$

Der zweiten Schnittstelle nähern wir uns auf die selbe weise mit dem Startwert $\begin{eqnarray*} 14 \end{eqnarray*}$ an.

Damit erhält man das Ergebnis

$\begin{eqnarray*} x_2=14,7674 \end{eqnarray*}$

Die zugehörigen Punkte lauten:

$\begin{eqnarray*} S_1(1,2577|1,2577)<br /> <br /> S_2(14,7674|14,7674) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aufgabe 40:

Analysis:

Von welcher unteren Grenze $\begin{eqnarray*} a\leq 1 \end{eqnarray*}$ muss integriert werden, damit

$\begin{eqnarray*} \int_a^1\! 2e^x\cdot (2-x^2)\,dx=2e \end{eqnarray*}$

gilt?

01.10.2012, 18:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gmasterflash
dann erlöse ich hiermit HAL 9000 von seiner Schweigepflicht und freue mich schon auf seine, hoffentlich folgende, exakte Lösung.

Die steht bereits (farblich etwas versteckt) im obigen Beitrag vom 27.09.2012 15:26, ich muss dazu allerdings noch erwähnen, dass $\begin{eqnarray*} W_0 \end{eqnarray*}$ der Hauptzweig und $\begin{eqnarray*} W_{-1} \end{eqnarray*}$ der für reelle Argumente aus $\begin{eqnarray*} \left( -\frac{1}{e},0\right) \end{eqnarray*}$ gültige Nebenzweig der LambertW-Funktion ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.10.2012, 20:43

srolle

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Zitat:

Lösung Aufgabe 40:

$\begin{eqnarray*} h(a)=\int_a^1 \! 2e^x (2-x^2) \, dx\;;\; a \leq 1 \end{eqnarray*}$

Mit partieller Integration komme ich dann zu: $\begin{eqnarray*} h(a)=\left[-2e^x\left(x^2-2x\right)\right]_a^1=2e+2e^a\cdot (a^2-2a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(a)=2e\Rightarrow 2e+2e^a\cdot (a^2-2a)=2e \Rightarrow 2e^a\cdot (a^2-2a)=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt der Satz vom Nullprodukt. $\begin{eqnarray*} 2e^a \end{eqnarray*}$ ist stets größer als 0, $\begin{eqnarray*} a^2-2a=0 \end{eqnarray*}$ ist trivialerweiße nur für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ der Fall, weil ja $\begin{eqnarray*} a \leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Also muss $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ sein, damit $\begin{eqnarray*} \int_a^1 \! 2e^x (2-x^2) \, dx=2e \end{eqnarray*}$ gilt.

Wenn das so nicht zu kurz war, bzw. es nicht ausführlicher gewollt ist (die Integration z.b.), würde ich nachher eine neue Aufgabe posten, falls ich nicht schon wieder irgendwas übersehen habe. smile

smile

01.10.2012, 22:13

srolle

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Zitat:

Aufgabe 41
Bereich: Stochastik

Seit dem James-Bond-Film "Casino Royale" erlebt das alte Kartenspiel Poker weltweit einen Boom. Jan spielt gerne Poker und hat einige Freunde zum Pokerabend eingeladen. Als Jans Freund Elias eintrifft, spielen die beiden ein Spiel (Texas Hold'em) zu zweit.

Zu Begin des Spiels werden an beide verdeckt zwei Karten (Handkarten) ausgeteilt. Jan schaut seine Karten an, er hat diese Handkarten erhalten: [attach]26059[/attach] .

Nun werden nach und nach weitere fünf Karten (Gemeinschaftskarten) in der Mitte des Tisches aufgedeckt.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann Jan vor dem Aufdecken der ersten Gemeinschaftskarte damit rechnen, dass sich unter den fünf Gemeinschaftskarten mindestens ein weiteres Ass befindet?

b) Nachdem alle Gemeinschaftskarten aufgedeckt sind, liegt für Jan folgende Spielsituation vor:
[attach]26060[/attach]
Am Ende gewinnt derjenige, der aus seinen zwei Handkarten und den fünf Gemeinschaftskarten die beste Kombination zusammenstellen kann.

Jan hat mit den drei Assen einen Drilling. Er verliert das Spiel nur, wenn Elias ein Full House bilden kann. Ein Full House besteht aus einem Drilling und einem Pärchen. Jan überlegt, welche Handkarten Elias haben müsste, um ein Full House bilden zu können.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss Jan also damit rechnen zu verlieren?

Heute so von einem Schüler bekommen. Ich finde, dass es mal etwas Abwechslung zu den sonstigen, üblichen Stochastik-Abituraufgaben ist.

06.10.2012, 19:03

Bjoern1982

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Zitat:

Lösung Aufgabe 41:

Ich bezeichne die in der Aufgabe erwähnten Ereignisse mit A und B.

a) $\begin{eqnarray*} P(A)=1-\overbrace{P(\bar A)}^{kein \ Ass}=1-\frac{47}{50} \cdot \frac{46}{49} \cdot \frac{45}{48} \cdot \frac{44}{47} \cdot \frac{43}{46} \approx 27.6 % \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} P(B)=\underbrace{6 \cdot \frac{1}{45} \cdot \frac{3}{44}}_{\left\{ Ass\right\} \times \left\{ 2,6,9\right\} \cup {\left\{2,6,9\right\} \times \left\{ Ass\right\}}}+\underbrace{3 \cdot \frac{3}{45} \cdot \frac{2}{44}}_{(2|2) \cup (6|6) \cup (9|9)}=\frac{1}{55} \approx 1.82% \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aufgabe 42:

Ein kegelförmiges Sektglas sei bis 2 cm unter der oberen Kante zu drei Vierteln gefüllt. Wie hoch steht der Sekt im Glas ?

06.10.2012, 19:08

HAL 9000

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@Bjoern

Und was ist mit $\begin{eqnarray*} \left\{ 2,6,9\right\} \times \left\{ Ass\right\} \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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