Mathe-Marathon Schule - Seite 4

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06.10.2012, 19:39

Bjoern1982

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Man sollte sich das dazu passende Baumdiagramm nun auch nicht zu sehr vereinfachen (Bezug zum Diskussionthread). Hammer

Danke HAL, ich habe es mal unauffällig editiert. Augenzwinkern

09.10.2012, 13:43

sulo

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Da sich bisher nichts getan hat (außer dem in den Diskussions-Thread verschobenen Beitrag von Mmm), schreibe ich mal meine Rechnung zur Aufgabe auf:

Zitat:

Lösung zu Aufgabe 42

Ein kegelförmiges Sektglas sei bis 2 cm unter der oberen Kante zu drei Vierteln gefüllt. Wie hoch steht der Sekt im Glas ?

Das volle Glas habe das Volumen: $\begin{eqnarray*} V_1 = \frac{1}{3} \pi \cdot R^2\cdot H \end{eqnarray*}$

Das 3/4 volle Glas habe das Volumen: $\begin{eqnarray*} V_2 = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2\cdot h \end{eqnarray*}$

Wir wissen: h = H - 2
Die Strahlensätze liefern: $\begin{eqnarray*} r = \frac{R\cdot h}{H} \Leftrightarrow r = \frac{R\cdot ( H - 2)}{H} \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die zweite Volumengleichung und ausrechnen ergibt:

$\begin{eqnarray*} V_2 = \frac{1}{3} \pi \cdot \left(R\cdot\frac{ H - 2}{H}\right) ^2\cdot (H-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_2 = \frac{1}{3} \pi \cdot R^2\cdot\left ( H-6+\frac{12}{H}-\frac{8}{H^2}\right) \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} V_2 = \frac{3}{4} V_1 \end{eqnarray*}$

Gleichsetzen, ausrechnen und umformen ergibt die Gleichung: $\begin{eqnarray*} 0 = H^3-24H^2 +48H-32 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung liefert für H (neben zwei komplexen Ergebnissen) den Wert $\begin{eqnarray*} H = 8+\sqrt[3]{384}+\sqrt[3]{288} \end{eqnarray*}$

H ist somit rund 21,872 cm hoch, der Sekt steht also 19,872 cm hoch im Glas.

Nachdem die Richtigkeit der Lösung bestätigt wurde, hier nun die nächste Aufgabe:

Zitat:

Aufgabe 43

Ein gerades Dreiecksprisma hat das Volumen V = 1 cm³ und besitzt als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck. Es soll die kleinstmögliche Oberfläche haben.
Welche Maße ergeben sich für das Prisma (Grundfläche, Körperhöhe)?

13.10.2012, 17:29

Fragen über Fragen

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Da ich eine schöne Aufgabe habe stelle ich mal meine Lösung rein.

Zitat:

Lösung zu Aufgabe 43:
Es ist also die Oberfläche $\begin{eqnarray*} f(a,z)=\frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}+ 3az \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} z =1 \end{eqnarray*}$ zu minimieren, wobei a die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks und z die Prismenhöhe ist (und beide sind positiv).

Wenn man die Nebenbedingung nach z umstellt und in f(a,z) einsetzt, muss man also nur noch das Minimung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(a)=\frac{\sqrt{3}}{2} (a^{2}+ \frac{8}{a}) \end{eqnarray*}$ suchen.

Dabei ist nach der Ungleichung vom arithmetisch-geometrischen Mittel
$\begin{eqnarray*} a^{2}+ \frac{8}{a} = a^{2}+ \frac{4}{a} + \frac{4}{a} \geq 3 (a^{2} \frac{4}{a} \frac{4}{a})^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 8^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Gleichheit tritt dabei nur ein (und dies ist ja unser gesuchtes Minimum), wenn die Summanden gleich sind, also a²=4/a bzw. $\begin{eqnarray*} a= 4^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die Nebenbedingung ergibt Körperhöhe z= (4^(1/3))/ (Wurzel3)) cm
und Grundfläche=0,5* 2^(1/3) * Wurzel3 cm²

13.10.2012, 17:49

Fragen über Fragen

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Zitat:

Aufgabe 44 (Geometrie):
Gegeben ist ein Dreieck ABC, dessen Innenwinkel alle kleiner als 120° sind (technisches Detail, versteift euch da erst mal nicht zu sehr drauf).
Gib an, wie man denjenigen Punkt P im Dreieck konstruieren kann, dessen Abstandssumme zu den Ecken A, B, C (also $\begin{eqnarray*} \overline{PA} + \overline{PB} + \overline{PC} \end{eqnarray*}$ ) minimal ist.

Ein Tipp zu einer möglichen Vorgehensweise: Nimm z.B. das Dreieck APC her und drehe es entgegen den Uhrzeigersinn um einen bestimmten Winkel (den du selbst finden musst). Nach der Drehung hat man nämlich das Problem, die Abstandssumme dieses "Sterns" zu minimieren, in ein viel leichteres übersetzt, mit dessen Hilfe man sich dann eine Konstruktionsvorschrift überlegen kann (die Konstruktion besteht also nicht darin, dass Dreieck APC zu drehen; das ist bloß eine Hilfestellung)

Achja oben habe ich einen kleinen Fehler: 4*4= 16 und nicht 8 Augenzwinkern

Hätte wohl doch lieber erst mal auf Bestätigung warten sollen.

20.10.2012, 00:15

Gualtiero

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Zitat:

Lösung zu Aufgabe 44
Ich fasse einmal alle Tipps von Fragen über Fragen und von opi im Diskussionsthread zusammen. Dabei setze ich voraus, dass P der Punkt ist, der die geforderte Bedingung erfüllt, dass seine Abstände zu den Punkten A, B und C minimal sein sollen.
Das Dreieck APC muss um 60° gegen den Uhrzeigersinn verdreht werden. Dadurch bilden die Punkte A, P und P' ein gleichseitiges Dreieck, und die Strecke C' und B besteht nun aus den Strecken C'P' (= CP), P'P (= AP) und PB.
Siehe linke Skizze!

Nun zur Konstruktion: Man verdreht die Dreiecksseite AC um 60° gegen den Uhrzeiger und erhält C'. Auf die Strecke C'B wird nun Punkt A abgelotet, wodurch Punkt F entsteht. Die Strecke AF wird in Punkt A um 30° bzw. um -30° verdreht und jeweils mit der Gerade durch C' und B geschnitten. So erhält man die Punkte P und P' (wobei letzterer nicht benötigt wird).
Siehe rechte Skizze!

[attach]26249[/attach]

Die nächste Aufgabe möge bitte jemand anders stellen, da ich erstens keine parat habe und zweitens ohnehin noch eine Bestätigung abwarten möchte.

20.10.2012, 00:31

Fragen über Fragen

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Jap, genau so gehts, da war mein letzter Tipp im Diskussionsthread wohl überflüssig gewesen Augenzwinkern

Alternativ könnte man auch um das gleichseitige Dreieck ACC' den Umkreis schlagen und mit der Strecke C'B zum Schnitt bringen, oder z.B. auf BC das gleichseitige Dreieck BCC'' errichten und die Strecke C''A mit C'B zum Schnitt bringen.

Der Punkt ist übrigens der "erste Fermatpunkt" und diese Lösung des Problems geht wohl auf Hofmann zurück.

21.10.2012, 01:56

Guppi12

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Hi, bin neu hier in der Rubrik des Forums und hoffe, dass es ok ist, wenn ich Gualtieros Aufforderung nachgehe und eine neue Aufgabe stelle.
Vielleicht ist es etwas leichte Kostim Vergleich zu dem davor aber das ist für zwischendurch ja auch nicht so verkehrt Augenzwinkern

Zitat:

Bereich Analysis(das geht sicher auch anders, aber ich habe es mit Analysis gelöst)

Aufgabe 45:
Ein Bauer hat drei Schafe und eine kreisrunde Wiese mit Radius r.
Eines seiner Schafe ist besonders bösartig und lässt es nicht zu, dass die anderen Schafe ihm etwas von von dem Gras wegfressen. Weil der Bauer aber möchte, dass die anderen Schafe auch etwas von dem Gras auf der Wiese abbekommen, bindet er das bösartige Schaf am Rand der Wiese mit einer Leine ebenfalls vom Radius r fest. Nun erreicht das bösartige Schaf nicht mehr die ganze Wiese, sondern nur noch einen Teil davon.
Der Bauer ist trotzdem noch skeptisch.
Haben die verbleibenden Schafe genügend Gras zum fressen über? Sie sollten zusammen mindestens 60% der Wiese zum abfressen über haben, sonst werden sie verhungern.

Werden die Schafe es überleben?

Edit: Wenn ihr ein Ergebnis in Abhängigkeit von pi, wurzel(...) usw raus habt, erwarte ich nicht, dass ihr ohne Taschenrechner begründet, warum das jetzt mehr oder weniger als 0.6 ist. Das könnt ihr dann schon ausrechnen ^^

21.10.2012, 22:58

riwe

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wieso sollte man dazu einen taschenrechner brauchen, wenn man einen kopf hat verwirrt

21.10.2012, 23:26

Guppi12

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Naja, da steckt jedenfalls kein großer geistiger Aufwand mehr hinter und das ist ja nicht Sinn der Aufgabe.

27.10.2012, 17:41

kgV

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Zitat:

Lösung 45
[attach]26371[/attach]
Wie man sieht, setzt sich die Fläche, die das böse Schaf beansprucht, aus vier Kreissegmenten mit Winkel 60° und radius r sowie zwei gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge r zusammen. Berechnet man die Fläche dieses Gebiets, ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} A_{Schaf}=2\cdot\frac{r\cdot h_r}2+4\cdot\left(\frac{r^2}2\left(\alpha- \sin\alpha\right)\right)=r\cdot h_r+2r^2\left(\alpha- \sin\alpha\right)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r\cdot \sqrt{\frac{3r^2}4}+2r^2\left(\alpha- \sin\alpha\right)= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{r^2\cdot\sqrt3}2+2r^2\left(\alpha- \sin\alpha\right)=\frac{r^2\cdot\sqrt3}2+2r^2\left(\frac{\pi}3-\frac{\sqrt3}2\right)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^2\left(\frac{\sqrt3}2+\frac{2\pi}3-\sqrt3\right)=r^2\left(\frac{\sqrt3-2\sqrt3}2+\frac{2\pi}3\right)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^2(1.22837) \end{eqnarray*}$
Für unsere Betrachtungen ist es nur noch nötig zu wissen, ob 1.22837 größer als $\begin{eqnarray*} \frac{4\pi}{10} \end{eqnarray*}$ ist: $\begin{eqnarray*} \frac{4\pi}{10}=1,25664 \end{eqnarray*}$ . Damit ist erwiesen, dass das böse Schaf nicht mehr als das frisst, was es fressen darf und die Schafe überleben (dank opi und Hal Augenzwinkern

)

Zitat:

Aufgabe 46
Bereich: Algebra
Beweise oder Wiederlege folgende Ungleichung: $\begin{eqnarray*} (ab+cd)^2 < (a^2 + c^2)(b^2 + d^2)<br /> \end{eqnarray*}$
Bedingungen: $\begin{eqnarray*} a \neq b\neq c \neq d\neq 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} a,b,c,d>0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} abcd<0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} ad\neq cb \end{eqnarray*}$
Diese Aufgabe kam vor einiger Zeit hier im Board. Ich habe damals Hilfe angeboten, der Fragesteller hat sich aber nicht mehr gemeldet und ich finde, dass die Aufgabe zu interessant ist, um sie zu vergessen. Ich gebe hier den selben Hinweis wie drüben: Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{a}b+\frac{b}a >2 \end{eqnarray*}$ hilft

edit von sulo: Zeilenumbrüche zur besseren Lesbarkeit eingefügt.

27.10.2012, 21:07

Cheftheoretiker

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Zitat:

Lösung 46.

$\begin{eqnarray*} (ab+cd)^2<(a^2+c^2)(b^2+d^2) \end{eqnarray*}$

Wir nutzen die Brahmagupta-Identität und umschreiben den Ausdruck.

$\begin{eqnarray*} (ab+cd)^2<(a^2+c^2)(b^2+d^2)=(ab+cd)^2+(ad-cb)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (ab+cd)^2<(ab+cd)^2+(ad-cb)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<(ad-cb)^2 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} ad\neq cb \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (ad-cb)^2 \end{eqnarray*}$ stets größer Null.

q.e.d.

Edit:

Alternativ einfach ausmultiplizieren und die zweite binomische Formel bilden.

$\begin{eqnarray*} (ab+cd)^2<(a^2+c^2)(b^2+d^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2b^2+2abcd+c^2d^2<a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2abcd<a^2d^2+c^2b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<a^2d^2-2abcd+c^2b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<(ad-cb)^2 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} ad\neq cb \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (ad-cb)^2 \end{eqnarray*}$ stets größer Null.

q.e.d. smile

28.10.2012, 13:06

Gast11022013

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Zitat:

Aufgabe 47:

Berechnen Sie den Inhalt jener Fläche, die der Funktionsgraph von

$\begin{eqnarray*} f(x) = -x^2 + 4x \end{eqnarray*}$

mit der x-Achse einschließt. Welche Gerade der Form

$\begin{eqnarray*} g_c(x)=cx \end{eqnarray*}$

teilt diese Fläche im Verhältnis 1:2?

Eine Aufgabe die so letztens hier im Forum gestellt wurde, aber der Fragesteller sich leider nicht mehr gemeldet hat. Meiner Meinung nach eine sehr schöne Aufgabe.

28.10.2012, 15:38

DP1996

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Zitat:

Aufgabe 47:
Zur Berechnung des Flächeninhalts zuerstmal die Nullstellen von f: $\begin{eqnarray*} -x^2+4x=x(-x+4)=0\Rightarrow x_1=0; x_2=4 \end{eqnarray*}$ . Damit ist der Flächeninhalt durch $\begin{eqnarray*} \int_0^4 \! -x^2+4x \, dx =\left[-\frac{1}{3}x^3+2x^2\right]_0^4=-\frac{64}{3}+32=\frac{32}{3} \end{eqnarray*}$ .

Nun zur $\begin{eqnarray*} g_c \end{eqnarray*}$ :
Die Schnittpunkte mit f sind: $\begin{eqnarray*} -x^2+4x=cx \Leftrightarrow x(-x+4-c)=0 \Rightarrow x_1=0; x_2=4-c \end{eqnarray*}$ .
Die Fläche links der Geraden $\begin{eqnarray*} g_c \end{eqnarray*}$ berechnet sich durch
$\begin{eqnarray*} \int_0^{4-c} \! -x^2+4x-cx \, dx=\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{4-c}{2}x^2\right]_0^{4-c}=-\frac{(4-c)^3}{3}+\frac{(4-c)^3}{2}=\frac{1}{6}\left(4-c\right)^3 \end{eqnarray*}$ .
Da dies die kleinere Fläche sein soll, muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\left(4-c\right)^3=\frac{32}{9} \Leftrightarrow (4-c)^3=\frac{64}{3} \Leftrightarrow 4-c=\frac{4}{\sqrt[3]{3}} \Leftrightarrow c=4-\frac{4}{\sqrt[3]{3}} \end{eqnarray*}$

edit: zitat-tags gesetzt.

Passt das so?

edit2: Aus Gründen der Übersichtlichkeit die neue Aufgabe als edit:

Zitat:

Aufgabe 48 (Algebra)

Man zeige: Es gilt $\begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geq0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b,c\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

28.10.2012, 22:12

Cheftheoretiker

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Zitat:

Lösung 48:

Man zeige: Es gilt $\begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geq0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b,c\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Man multipliziere die Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2+a^2+b^2+2c^2-2ac-2bc\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2+(a-c)^2+b^2+c^2-2bc\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace{(a-b)^2}_{\geq 0}+\underbrace{(a-c)^2}_{\geq 0}+\underbrace{(b-c)^2}_{\geq 0}\geq 0 \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Hier wäre die nächste Aufgabe:

Zitat:

Aufgabe 49:

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{x-1} \end{eqnarray*}$

Bestimme $\begin{eqnarray*} f(f(f(x))) \end{eqnarray*}$ und begründe deine Lösung. (Kein Beweis)

31.10.2012, 18:45

Monoid

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Zitat:

Lösung Aufgabe 49:

$\begin{eqnarray*} f(f(x))= \frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-1}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{1}{x-1}}=x \Rightarrow f(f(f(x))=\frac{x}{x-1}=f(x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aufgabe 50:

f(n,m) sei die maximal Zahl von Kreisen mit dem Durchmesser 1 , welche in einem Rechteck mit den Seiten m, n überlagerungsfrei untergebracht werden können.

Gefragt ist nach den Bedingungen für n,m so dass $\begin{eqnarray*} f(n,m) > m \cdot n \end{eqnarray*}$ .
muss nicht bewiesen werden, sollte aber eine starke begründung sein.

31.10.2012, 18:59

Iorek

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@Mathemathemathe,

wie oft willst du noch eine viel zu anspruchsvolle Aufgabe für den SCHULmarathon posten? Du hast diese Aufgabe aus deinem Matheclub (oder wie du es nennst: Matheblub) der Uni Bonn und dir im Matheplanet ausführlichste Hilfe geben und die Lösung größtenteils vortragen lassen. Dort wurde dir unter anderem auch vom User Buri schon gesagt, dass diese Aufgabe für eine reine Übungsaufgabe zu einer Vorlesung (!) oder aus einem Lehrbuch (!) viel zu komplex ist. Einzelne Teilergebnisse könnte man mit ganz viel gutem Willen noch als angemessen fordern, sprengen aber meines Erachtens nach auch schon den Rahmen dieses Marathonthreads.

Stelle also bitte eine Aufgabe mit angemessenem Schwierigkeitsgrad, deine Frage mit den Kreisen gehört in den Hochschulmarathon.

01.11.2012, 11:47

Monoid

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Entschuldigung, ich dachte, dass sie nicht zu schwer ist, weil der Matheclub ( matheblub war ein Schreibfehler ! ) der kleinen ist von der 7-8 klasse. Bei mir eine Ausnahme. Entschuldige.

Zitat:

Aufgabe 50:

Mit welchen regelmäßigen n-Ecken kann man die Ebene parkettieren?

01.11.2012, 21:03

Equester

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Wie hier besprochen ist die Aufgabe
wiederum nicht ans Schulniveau angepasst. Um Mmm von seiner Suche nach einer
geeigneten Aufgabe zu befreien erlaube ich mir (siehe im obigen Dialog) die
Lösung zu posten. Ob der Länge verzichte ich auf einen Lösungsweg.

Zitat:

Lösung 50:

Das Ganze ist möglich mit
- gleichseitigen Dreiecken
- Quadraten
- regelmäßigen Sechsecken.

Edit: Für diejenigen die an einer Lösung interessiert sind:
Das habe ich gerade gefunden.
Hab ich prinzipiell genauso gemacht und bei mir ists
in etwa gleich viel Schreibaufwand...

Was einfaches smile

Zitat:

Aufgabe 51:

Wir haben einen Kuh-Hirten der folgende Aussage macht:
Ich habe ein Rind übrig, wenn ich von meiner Herde die Hälfte und ein
halbes verkaufen würde und von deren Rest wieder die Hälfte und ein
halbes und das noch ein drittes, ein viertes, ein fünftes und ein sechstes Mal
machen würde.

Er hat also wie viel Rinder?

05.11.2012, 19:32

sulo

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Da sich so wenig tut bei dieser schönen Aufgabe, poste ich nun mal eine schrittweise Lösung:

Zitat:

Lösung 51

$\begin{eqnarray*} a - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} = b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b - \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} = c \end{eqnarray*}$

usw. bis

$\begin{eqnarray*} f - \frac{1}{2} f - \frac{1}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Aus der letzen Gleichung ergibt sich: f = 3
Nun kann man durch Einsetzen alle Gleichungen bis a lösen und man erhält: a = 127

Der Hirte hat also 127 Rinder.

Hier die neue Aufgabe:

Zitat:

Aufgabe 52

An einem Würfel mit der Seitenlänge a werden, wie in der Zeichnung zu sehen, zwei Schnitte durchgeführt. Die grünen Punkte markieren jeweils die Mitte der Strecke a.
Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt der beiden Schnittflächen in Abhängigkeit von a?
[attach]26520[/attach]

06.11.2012, 20:44

loler90

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Zitat:

Lösung 52
Meine Namen: das kleine Dreick links ist Dreieck1 und das große rechts ist Dreieck2

Wie man erkennt ist das 1. Dreieck gleichseitig. Das werden wir später noch nutzen.

Allgemeine Funktion für die Fläche eines Dreiecks:
$\begin{eqnarray*} A_{Dreieck1}=\frac{1}{2}*g*h \\ \end{eqnarray*}$
Um die Grundseite g zu bestimmen benutzen wir den Satz des Phythagoras:
$\begin{eqnarray*} g=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}} \\ g=\sqrt{2*\left(\frac{a}{2}\right)^{2}} \\ g=\sqrt{2*\left(\frac{a^{2}}{4}\right)} \\ g=\sqrt{\left(\frac{a^{2}}{2}\right)} \\ g=\frac{a}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
Um die Höhe h zu bestimmen benutzen wir abermals den Satz des Phythagoras:
$\begin{eqnarray*} h=\sqrt{g^2-\left(\frac{g}{2}\right)^{2}} \\ h=\sqrt{\left( \frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}-\left( \frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{2}\right)^{2}} \\ \Rightarrow h=\sqrt{\frac{3}{8}}*a \end{eqnarray*}$
Das setzen wir nun in die allgemeine Funktion ein:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A_{Dreieck1}=\frac{1}{2}*\sqrt{\frac{3}{8}} * a * \frac{a}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow A_{Dreieck1}=\frac{1}{2}*\sqrt{\frac{3}{8}} * \frac{a^{2}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
Um nun den Umfang zu berechnen nehmen wir einfach 3x die Grundseite des Dreiecks:
$\begin{eqnarray*} U_{Dreieck1}= 3 * g \\ U_{Dreieck1}= 3 * \frac{a}{\sqrt{2}} \\ U_{Dreieck1}= \frac{3a}{\sqrt{2}} \\ \end{eqnarray*}$

Kommen wir nun zum 2. Dreieck.
Wieder Grundgleichung und g können wir aus dem 1. Dreieck übernehmen:
$\begin{eqnarray*} A_{Dreieck2}=\frac{1}{2}*g*h \\ g=\frac{a}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
Für s(die Seitenlänge des Dreiecks) benutzen wir (wer hätte es gedacht) den Satz des Phythagoras:
$\begin{eqnarray*} s=\sqrt{\left(\frac{a}{2} \right)^{2}+a^{2}} \end{eqnarray*}$
s haben wir nur aufgestellt, da wir s für die Höhe h brauchen(und auch später für den Umfang):
$\begin{eqnarray*} h=\sqrt{s^{2}-\left(\frac{g}{2} \right)^{2}} \\ \Rightarrow h=\sqrt{\frac{11}{8}}*a \end{eqnarray*}$
Wieder einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A_{Dreieck2}= \frac{1}{2}*\sqrt{\frac{11}{8}}*a*\frac{a}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow A_{Dreieck2}= \frac{1}{2}*\sqrt{\frac{11}{8}}*\frac{a^{2}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
Umfang, recht ähnlich zum 1. Dreieck, nur hier haben wir kein gleichseitiges Dreieck, sondern ein gleichschenkeliges Dreieck:
$\begin{eqnarray*} U_{Dreieck2}= 2*s+g\\ \Rightarrow U_{Dreieck2}= 2*\sqrt{\frac{5a^{2}}{4}} + \frac{a}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Ist die Lösung so richtig?
Ich habe eine Aufgabe, sofern meine Lösung richtig ist!

06.11.2012, 22:51

loler90

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Richtige Lösung für das 2. Dreieck ist:
$\begin{eqnarray*} A_{Dreieck2}=\frac{3}{8}a^2 \end{eqnarray*}$
Danke nochmal an sulo.

Meine Aufgabe:
Typ: Extremwertaufgabe

Zitat:

Gegeben ist die Funktion f mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{6}x^{2}*(6-x) \end{eqnarray*}$
Der Punkt $\begin{eqnarray*} P(u|v) \end{eqnarray*}$ mit 0<u<6 liegt auf dem Graphen von f. Die Koordinatenachsen und die Parallelen durch P bilden ein Rechteck. Bestimme u so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird!

Sollte gut zu schaffen sein.
Viel Spaß.

07.11.2012, 00:42

srolle

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Zitat:

Lösung Aufgabe 53:

Der Punkt P sei bei mir $\begin{eqnarray*} P(u|f(u))\;\;\text{mit}\;\; u \in ]0;6[ \end{eqnarray*}$ .
Mit einer Skizze folgt dann für den Flächeninahtl des Rechtecks in Abhängigkeit von u:
$\begin{eqnarray*} A_R(u) =f(u) \cdot u\;\;\;;\; u \in ]0;6[ \\ A_R(u) = \frac{1}{6}u^3(6-u)=-\frac{1}{6}u^4+u^3 \\ \end{eqnarray*}$
Wir wollen wissen, für welches u der Flächeninhalt maximal ist:
$\begin{eqnarray*} A'_R(u)=0 \Rightarrow u^2\cdot (-\frac{2}{3}u+3)=0\;\;\;\text{für}\;\; u=\frac{9}{2} \end{eqnarray*}$
(Die Lösung $\begin{eqnarray*} u_{1/2}=0 \end{eqnarray*}$ fällt weg, da sie nicht im Intervall liegt.

$\begin{eqnarray*} A_R(\frac{9}{2})=\frac{729}{32}\\\text{Jetzt noch die Randwerte untersuchen:}\\\;\; \lim\limits_{u \rightarrow 0}{A_R(u)=0}\;\;\;\text{und}\;\;\; \lim\limits_{u \rightarrow 6}{A_R(u)=0} \end{eqnarray*}$

Somit ist der Flächeninhalt des Rechtecks für $\begin{eqnarray*} u=\frac{9}{2} \end{eqnarray*}$ maximal.

Zitat:

Aufgabe 54

Die Freiburger Galerie "Painting" möchte den Verkauf von Bildern mit einer Aktion ankurbeln. Der Preis eines Bildes wird an jedem Aktionstag um 5% des Vortagspreises gesenkt. Der aktuelle Preis wird werbewirksam im Schaufesnter ausgehängt. Der jeweilige Anfangspreis wird auf das Vierfache des Preises, der gerade noch kostendeckend ist, festgelegt.

Zunächst soll ein gerahmtes Ölgemälde mit dem Titel "Freiburger Altstadt" über diese Aktion verkauft werden. Am ersten Aktionstag wird das Gemädle zum Anfangspreis von 265 Euro angeboten.

a) Gib einen Funktionsterm an, mit dem der aktuelle Preis für jeden Aktionstag berechnet werden kann und bestimme den Tag, ab dem die Galerie Verlust macht.

In einer Sonderaktion hat die Galerie zehn Panoramafotos einer Winterlandschaft verkauft. Der Anfangspreis jedes Fotos lag bei 150 Euro. Der Preis eines jeden Fotos wurde an jedem Aktionstag um 7% des Vortagspreises gesenkt. Alle Fotos wurden innerhalb der ersten drei Tage verkauft. Im Mittel wurde ein Preis von 137,77 Euro erzielt.

b) Wie viele Fotos wurden am ersten Aktionstag, wie viele am zweiten und wie viele am dritten Aktionstag verkauft?

17.11.2012, 04:02

opi

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Zitat:

Lösung Aufgabe 54
Ich gehe davon aus, daß der Verkaufspreis am ersten Aktionstag noch nicht gesenkt wurde.

a)
$\begin{eqnarray*} \text{x=Aktionstag, f(x)=Verkaufspreis} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=265 \cdot 0{,}95^{x-1} \end{eqnarray*}$

Ab welchem Zeitpunkt entsteht ein Verlust?
$\begin{eqnarray*} \frac 1 4 = 0{,}95^{x-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \approx 28{,}03 \end{eqnarray*}$

Die Galerie muß ab dem 29. Tag Verluste verbuchen.

b)
$\begin{eqnarray*} x\cdot150+y\cdot139{,}5+z\cdot129{,}74=1377{,}7 \end{eqnarray*}$

Für eine ganzzahlige Lösung dieser Gleichung schaue ich auf die Nachkommastellen und vermute z=5. (In der Hoffnung, daß der mittlere Preis nicht gerundet wurde. smile

)
$\begin{eqnarray*} x\cdot150+(5-x)\cdot139{,}5+5\cdot129{,}74=1377{,}7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$

Am ersten Aktionstag wurden drei, am zweiten zwei und am dritten Tag fünf Bilder verkauft.

Zitat:

Aufgabe 55, Geometrie: Strahlensätze

Wie viel Prozent der Fläche des gesamten Dreiecks nimmt die Fläche des kleinen blauen Dreiecks ein?
Die Punkte auf den Dreieckseiten teilen diese in jeweils gleich große Abschnitte.

[attach]26741[/attach]

18.11.2012, 00:06

Tesserakt

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Zitat:

Lösung Aufgabe 55
"Schneidet" man aus dem größeren Dreieck das kleinere aus, so ergeben sich drei Teilflächen $\begin{eqnarray*} A_1, A_2, A_3 \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} A_1 = \frac{\frac{4}{5}a \cdot \frac{2}{5}c \cdot \sin(\beta)}{2} = \frac{4 \sin(\beta)}{25}ac \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_2 = \frac{\frac{3}{5}c \cdot \frac{2}{5}b \cdot \sin(\alpha)}{2} = \frac{3 \sin(\alpha)}{25}bc \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_3 = \frac{\frac{3}{5}b \cdot \frac{1}{5}a \cdot \sin(\gamma)}{2} = \frac{3 \sin(\gamma)}{50}ab \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} A_\text{D} \end{eqnarray*}$ die Fläche des größeren Dreiecks.
Folglich $\begin{eqnarray*} A_\text{D} = \frac{bc \sin(\alpha)}{2} = \frac{ac \sin(\beta)}{2} = \frac{ab \sin(\gamma)}{2} \end{eqnarray*}$ , woraus sich schlussfolgern lässt
$\begin{eqnarray*} \sin(\beta) = \frac{b\sin(\alpha)}{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(\gamma) = \frac{c\sin(\alpha)}{a} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} A_\text{R} \end{eqnarray*}$ die Summe der Teilflächen.
$\begin{eqnarray*} A_\text{R} = A_1 + A_2 + A_3 = \frac{8\sin(\beta)ac + 6\sin(\alpha)bc + 3\sin(\gamma)ab}{50} = \frac{17\sin(\alpha)bc}{50}<br /> p = \frac{A_\text{R}}{A_\text{D}} = \frac{\frac{17\sin(\alpha)bc}{50}}{\frac{bc \sin(\alpha)}{2}} = \frac{34bc\sin(\alpha)}{50bc\sin(\alpha)} = \frac{17}{25} \end{eqnarray*}$

Somit nimmt das blaue Dreieck $\begin{eqnarray*} 1 - p = \frac{8}{25} = 32 % \end{eqnarray*}$ der Fläche ein. – S.

[attach]26754[/attach]

18.11.2012, 00:20

opi

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Das Ergebnis ist völlig richtig, Du kannst gerne die nächste Frage stellen.
Mit dem Thema "Strahlensätze" hatte ich zwar eigentlich eine andere Lösungsidee im Kopf, Dein Weg ist aber selbstverständlich auch möglich. smile

18.11.2012, 00:29

Tesserakt

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Nun gut.

Zitat:

Aufgabe 56 Trigonometrie
Man beweise: $\begin{eqnarray*} \tan(x + \pi k) = \tan(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Durchaus bereits nach Absolvierung Klasse 9 des Gymnasiums lösbar.

18.11.2012, 14:29

Tesserakt

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Sorry für den Doppelpost, allerdings habe ich die Aufgabenstellung, die mir in den Sinn kam, nicht vollständig auf. So ist das ja viel zu einfach.

Die komplette Aufgabenstellung

Zitat:

Aufgabe 56 (neu) Trigonometrie
Man beweise: $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist die kleinste reelle Zahl $\begin{eqnarray*} T > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tan(x + Tk) = \tan(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 00:48

RavenOnJ

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OK, wenn man darf.

Zitat:

Lösung: Aufgabe 56 Trigonometrie

$\begin{eqnarray*} \tan(x + Tk) = \frac{\sin(x+Tk)}{\cos(x+Tk)} = \frac{\sin(x)\cos(Tk)+\cos(x)\sin(Tk)}{\cos(x)\cos(Tk)-\sin(x)\sin(Tk)} = \tan(x) =\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$

Nenner wegmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow\cos(x)\{\sin(x)\cos(Tk)+\cos(x)\sin(Tk)\} = \sin(x)\{\cos(x)\cos(Tk)-\sin(x)\sin(Tk)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow\cos(x)^2\sin(Tk) = -\sin(x)^2\sin(Tk) \Longrightarrow \sin(Tk) = 0 \end{eqnarray*}$

Die kleinste Zahl $\begin{align*} T>0 \end{align*}$ , die dies für alle $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$ erfüllt, ist $\begin{align*} T=\pi \end{align*}$ .

Na ja, 9. Klasse? Ich glaube kaum, aber 10. sollte es schon packen - zumindest in Bayern Augenzwinkern

.

Eine neue Aufgabe zu stellen, sehe ich mich außerstande, da ich nicht weiß, was angemessen ist. Das darf gerne jemand anders übernehmen.

Gruß
Peter

25.11.2012, 01:17

Dopap

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mir würde Folgendes einfallen:

Vom Punkt P(4|3) gehen zwei Halbgeraden aus. Eine senkrecht und eine waageerecht nach Rechts.
Zusammen mit den postitiven Teilen der x , respektive y-Achse bilden sie soetwas wie der Buchstabe L.
Dieser Knick sei ein durchflossener Wasserkanal, in dem diverse ebene Objekte den Knick passieren können.

Wie lang ist das längste lineare Gebilde ( Strecke , (Besenstiel) ), das gerade noch den Knick passieren kann?
Das müsste mit Schulmathe gehen, eine gute numerische Lösung ist auch in Ordnung.

Idee: hier gibt es verschiedene Lösungsansätze.

02.12.2012, 18:41

sulo

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Nachdem nun eine Woche verstrichen ist und kein Schüler eine Antwort gepostet hat, werde ich die schöne Aufgabe von Dopap lösen, damit es weitergeht.

Zitat:

Lösung zu Aufgabe 57

Ich habe die Aufgabe in ein Koordinatensystem verlegt. Die gesuchte Länge hat dabei die Teillängen a und b:
[attach]27011[/attach]

Es gilt: $\begin{eqnarray*} L = \sqrt{y^2 + 4^2} + \sqrt{3^2+x^2} \end{eqnarray*}$

Die Strahlensätze liefern uns weiterhin: $\begin{eqnarray*} \frac{y}{4} = \frac{3}{x} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} y = \frac{12}{x} \end{eqnarray*}$

Durch Einsetzen ergibt sich: $\begin{eqnarray*} L(x) =\sqrt{ \frac{144}{x^2}+16 } + \sqrt{9+x^2} \end{eqnarray*}$

Nach Umformen erhalten wir $\begin{eqnarray*} L(x) = \left( \frac{4}{x}+1 \right) \cdot \sqrt{9+x^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann abgeleitet werden und wir erhalten: $\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{36} \approx 3,3 \end{eqnarray*}$

Für y ergibt sich: $\begin{eqnarray*} y \approx 3,63 \end{eqnarray*}$

Die gesuchte Länge ist also rund 9,86 Einheiten lang.

Wenn Dopap die Richtigkeit der Lösung bestätigt hat, werde ich hier eine neue Aufgabe einstellen.

02.12.2012, 22:26

Dopap

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keine Einwände Freude

03.12.2012, 11:10

Mystic

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Da dies - mit anderen Zahlen, aber sonst genau - die Aufgabe war, welche ich zur mündlichen Matura bekam, möchte ich noch ergänzend darauf hinweisen, dass die Ortskurve der Punkte (x,y), um die es hier geht eine Astroide ist mit der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3} \end{eqnarray*}$

Es geht also nur darum, das a zu berechnen, wofür man natürlich den Punkt (4,3) benützen kann... Augenzwinkern

03.12.2012, 11:33

sulo

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Ja, diese Aufgabe mit dem Knick ist ein schöner Klassiker, den es in vielen Variationen gibt und es macht immer wieder Spaß, sie gelegentlich zu rechnen. smile

Hier die neue Aufgabe:

Zitat:

Aufgabe 58

Waldis Herrchen ist von München nach Mönchengladbach gezogen und hat Waldi leider vergessen.
Also macht sich der Dackel auf den Weg und rennt die rund 500 km hinterher. Weil Waldi so sehr an seinem Herrchen hängt, schafft er es, seine Geschwindigkeit bei jedem Schritt, den er macht, zu verdoppeln.
Seine Schrittgröße beträgt konstant 1 Meter und er startet bei 1 m/s.

Wann (also bei welcher Geschwindigkeit) kann Waldi zum letzten Mal hören, wie die Krallen seiner Pfoten auf das Pflaster treffen? Und mit welcher enormen Geschwindigkeit kommt er begeistert bei seinem Herrchen an?

03.12.2012, 17:55

Tesserakt

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Zitat:

Lösung Aufgabe 58
Die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v(n) \end{eqnarray*}$ in Meter pro Sekunde ist für jede zurückgelegte Anzahl an Schritten $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gegeben durch
$\begin{eqnarray*} v(n) = 2^n \end{eqnarray*}$ .
Die Schallgeschwindigkeit beträgt $\begin{eqnarray*} v_\text{Schall} = 343 \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ der Schritt, bei dessen Betätigung der Hund zum letzten Mal seine Krallen hört. $\begin{eqnarray*} v(n_0) \leq v_\text{Schall} \Leftrightarrow 2^{n_0} \leq 343 \Leftrightarrow n_0 \leq \log_2{(343)} \approx 8.422 \end{eqnarray*}$
Die größte natürliche Zahl, die diese Ungleichung erfüllt, ist somit $\begin{eqnarray*} n_0 = 8 \end{eqnarray*}$ .
Somit beträgt seine Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v(n_0) = v(8) = 2^8 = 256 \end{eqnarray*}$ Meter pro Sekunde.
Um $\begin{eqnarray*} 500 \; \text{km} \end{eqnarray*}$ zurückzulegen, benötigt der Hund $\begin{eqnarray*} 500 \cdot 1000 = 500000 \end{eqnarray*}$ Schritte.
Er kommt somit mit einer Geschwindigkeit von $\begin{eqnarray*} v(500 000) = 2^{500 000} \end{eqnarray*}$ Meter pro Sekunde an, könnte er schneller als das Licht rennen.

03.12.2012, 19:59

Tesserakt

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Wie hier bestätigt, ist meine Lösung korrekt.
Also stelle ich mal die nächste Aufgabe.

Zitat:

Aufgabe 59
Die Quersumme einer natürlichen Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sei durch $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ teilbar.
Man zeige: $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$

Sollte machbar sein.

05.12.2012, 20:36

kgV

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Zitat:

Lösung 59
Eine Zahl a besteht aus einer Tausender-, Hunderter-, einer Zehner- und einer Einerziffer. (entsprechend geht das auch nach oben: Zehn-hunderttausender... ) Wenn die Quersumme durch drei teilbar ist, so gilt: $\begin{eqnarray*} n+...+b+c+d=3\cdot k \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} n=\text{nte Ziffer}, b=100er, c=10er, d=1er, k \in \mathbb \{N|1\leq k\leq 9\} \end{eqnarray*}$ )

Nun betrachten wir die Zahl: $\begin{eqnarray*} a=10^{u-1}\cdot n+...+100b+10c+d \end{eqnarray*}$ , wobei u die Position der Ziffer von hinten gezählt ist
Sie ergibt sich aus der Quersumme nur durch Addition von $\begin{eqnarray*} \left(10^{u-1}-1\right)n+...+99b+9c \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} n+...+b+c+d+99b +9c+...+\left(10^{u-1}-1\right)n=a \end{eqnarray*}$
Da sowohl 9 und 99,als auch alle folgenden Zehnerpotenzen minus 1, durch drei teilbar sind und die Ausdrücke mit ihnen also in jedem Fall durch 3 teilbar sind und laut Aufgabenstellung für n+...+b+c+d ebenfalls die Teilbarkeit durch 3 gilt, folgt automatisch: $\begin{eqnarray*} 10^{u-1}n+100b+99c+d=a=3\cdot m \end{eqnarray*}$

Damit dürfte die Aufgabe gelöst sein... Ich warte aber noch die Bestätigung ab, ehe ich die neue Aufgabe poste smile

edit: da muss ich die dreistelligkeit von anderswoher mitgenommen haben. Lässt sich aber ganz gut verallgemeinern. Wird grad mal erledigt. Dank an RavenOnJ smile

06.12.2012, 01:28

RavenOnJ

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Dein Beweisverfahren ist ja ganz interessant, zumal es vom in der Mathematik üblichen Verfahren (mit Modulo-Rechnung) abweicht. Der Beweis ist aber unvollständig, da nicht eine 3-stellige, sondern eine beliebige natürliche Zahl betrachtet werden sollte.

07.12.2012, 15:07

kgV

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Nachdem mein neuer Beweis nicht beanstandet wurde, poste ich mal die neue Aufgabe:

Zitat:

Aufgabe 60
Bereich: Trigonometrie

Ein regelmäßiges Polygon (Vieleck) hat eine Seitenlänge von 20 cm und einen Umkreisradius von 51,25831 cm. Wie viele Ecken hat das Polygon?
Tipp: Winkelsumme und Kosinusfunktion

Ist diesmal etwas kniffliger, sollte aber lösbar sein smile

(hoffe ich...)

07.12.2012, 16:39

Tesserakt

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Zitat:

Lösung Aufgabe 60
$\begin{eqnarray*} \sin^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ ist der allgemeinen Konvention zur Notation von Umkehrfunktionen folgend die Arkussinus-Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Punkte des Polygons. Fernerhin sei $\begin{eqnarray*} s = 20 \end{eqnarray*}$ .
Das Polygon lässt sich in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gleichsschenklige Dreiecke der Grundseitenlänge $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ einteilen.
Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ die Länge eines Schenkels. Es ist $\begin{eqnarray*} R \approx 51.25831 \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ der von den beiden Schenkeln umgebene Winkel.
Es gilt $\begin{eqnarray*} n \cdot \phi = 2\pi \Leftrightarrow \phi = \frac{2\pi}{n} \end{eqnarray*}$ .
Fernerhin ist $\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{\frac{s}{2}}{R} \Leftrightarrow \frac{\phi}{2}=\sin^{-1}\left(\frac{s}{2R}\right) \Leftrightarrow \phi = 2\sin^{-1}\left(\frac{s}{2R}\right) \approx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\sin^{-1}\left(\frac{20}{102.51662}\right) \Leftrightarrow \frac{2\pi}{n} \approx 2\sin^{-1}\left(\frac{20}{102.51662}\right) \Leftrightarrow n \approx \frac{\pi}{\sin^{-1}\left(\frac{20}{102.51662}\right)} \approx 16 \end{eqnarray*}$ .
Also muss $\begin{eqnarray*} n = 16 \end{eqnarray*}$ gelten.
Es handelt sich um ein $\begin{eqnarray*} 16 \end{eqnarray*}$ -Eck.

[attach]27163[/attach]
Zerlegung eines regelmäßigen Polygons am Beispiel eines Sechsecks.

edit von sulo: Zeilenumbruch für die bessere Lesbarkeit der gesamten Seite eingefügt.

07.12.2012, 20:10

Tesserakt

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Auch wenn nun noch nicht die Richtigkeit meiner Lösung bestätigt worden ist, folgt hier die nächste Aufgabe, da ich in den nächsten Tagen nicht die Gelegenheit haben werde, die Aufgabe zu stellen.

Zitat:

Aufgabe 61
Ein Zahlenpaar $\begin{eqnarray*} (p|p + 2) \end{eqnarray*}$ heißt Primzahlzwilling, wenn sowohl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} p + 2 \end{eqnarray*}$ Primzahlen sind. Beispielsweise wäre $\begin{eqnarray*} (3|5) \end{eqnarray*}$ ein solcher Primzahlzwilling.
Entsprechend wäre ein Zahlentripel $\begin{eqnarray*} (q|q + 2| q + 4) \end{eqnarray*}$ ein Primzahldrilling, wenn $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} q + 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q + 4 \end{eqnarray*}$ prim sind.
Man nenne eine solchen Primzahldrilling und beweise, dass dieser der einzige Primzahldrilling mit Abstand $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ist.

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