Mathe-Marathon Schule - Seite 6

11.02.2013, 11:59

10001000Nick1

Zitat:

Aufgabe 82

Zeige, dass sich die Mittelsenkrechten in einem Dreieck in einem Punkt schneiden und dass dieser Punkt der Umkreismittelpunkt ist (d.h. dass er von allen Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand hat).

12.02.2013, 01:17

Tesserakt

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Zitat:

Lösung Aufgabe 82

Bevor wir die eigentliche Aussage beweisen, wollen wir uns folgendes Lemma verdeutlichen:
Gegeben sei eine Strecke zwischen zwei Punkten $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ . Es sei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die Mittelsenkrechte von $\begin{eqnarray*} \overline{PQ} \end{eqnarray*}$ .

[attach]28441[/attach]
Lemma: Jeder Punkt, der von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ denselben Abstand hat, liegt auf $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .
Beweis: $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ habe den gleichen Abstand von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ , sodass das Dreieck $\begin{eqnarray*} PQR \end{eqnarray*}$ gleichschenklig ist.
Man fälle das Lot von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \overline{PQ} \end{eqnarray*}$ , sodass das Lot bzw. die Höhe auf $\begin{eqnarray*} \overline{PQ} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ trifft.
$\begin{eqnarray*} PHR \end{eqnarray*}$ ist kongruent zu $\begin{eqnarray*} HQR \end{eqnarray*}$ , da sie die Seite $\begin{eqnarray*} \overline{RH} \end{eqnarray*}$ gemeinsam haben, $\begin{eqnarray*} \angle RHP = \angle QHR = 90^{\circ} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |\overline{PR}| = |\overline{QR}| \end{eqnarray*}$ gilt.
Daher gilt $\begin{eqnarray*} |\overline{HP}| = |\overline{HQ}| = \frac{|\overline{PQ}|}{2} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ muss somit der Schnittpunkt von $\begin{eqnarray*} \overline{PQ} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ sein. Unmittelbar folgt: $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ liegt auf $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \qed \end{eqnarray*}$
____________________________________
[attach]28442[/attach]

Man betrachte das Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ mit den Seitenlängen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ sowie den Mittelsenkrechten $\begin{eqnarray*} m_a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} m_b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_c \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} m_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_b \end{eqnarray*}$ sind trivialerweise nicht parallel zueinander und besitzen daher einen Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Jeder Punkt auf $\begin{eqnarray*} m_a \end{eqnarray*}$ besitzt den gleichen Abstand zu $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ; jeder Punkt auf $\begin{eqnarray*} m_b \end{eqnarray*}$ hat den gleichen Abstand zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .
Es folgt: $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ hat denselben Abstand zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , ist also Mittelpunkt des Umkreises.

Jeder der Punkte auf $\begin{eqnarray*} m_c \end{eqnarray*}$ hat denselben Abstand zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ hat denselben Abstand zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und muss somit nach dem Lemma auf $\begin{eqnarray*} m_c \end{eqnarray*}$ liegen.
$\begin{eqnarray*} m_a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} m_b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_c \end{eqnarray*}$ schneiden sich also im Punkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , welcher der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ ist – q.e.d.

12.02.2013, 01:51

10001000Nick1

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Richtig! Nächste Aufgabe bitte!

12.02.2013, 02:26

Tesserakt

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Zitat:

Aufgabe 83 Geometrie
[attach]28444[/attach]
Gegeben sei ein Kreis $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} r = |\overline{MP}| \end{eqnarray*}$ .
Man berechne den Flächeninhalt der grauen Fläche in Abhängigkeit vom Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha = \angle Q'PQ \end{eqnarray*}$ .
Man beachte: $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist eine Spiegelachse durch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , sodass der Punkt $\begin{eqnarray*} Q' \end{eqnarray*}$ durch die Spiegelung des Punktes $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ entsteht. Es gilt also $\begin{eqnarray*} |\overline{PQ}| = |\overline{PQ'}| \end{eqnarray*}$ .

13.02.2013, 19:58

10001000Nick1

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Zitat:

Lösung Aufgabe 83

Ich habe hier mal ein bisschen was ergänzt:
[attach]28463[/attach]

Den Winkel $\begin{eqnarray*} \angle Q'AQ=180°-\alpha \end{eqnarray*}$ kriegt man raus, weil sich in einem Sehnenviereck die gegenüberliegenden Winkel zu $\begin{eqnarray*} 180° \end{eqnarray*}$ ergänzen. Der Winkel $\begin{eqnarray*} \angle Q'MQ=2(180°-\alpha) \end{eqnarray*}$ ist dann doppelt so groß (Zentriwinkel). Der Winkel $\begin{eqnarray*} \angle QMQ' \end{eqnarray*}$ beträgt dann $\begin{eqnarray*} 2\alpha \end{eqnarray*}$ .

Die graue Fläche ist ein Kreissegment. Den Flächeninhalt kann man so berechnen:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{r^2}{2}\cdot\left(\angle QMQ'-sin(\angle QMQ')\right)=\frac{r^2}{2}\cdot(2\alpha-sin(2\alpha)). \end{eqnarray*}$

13.02.2013, 20:44

Tesserakt

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Jawohl.

14.02.2013, 04:23

10001000Nick1

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Zitat:

Aufgabe 84

Finde die kleinste Zahl, die durch 1, 2, 3, ... , 20 teilbar ist.

14.02.2013, 12:06

kgV

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Zitat:

Lösung 84
Ich führe zunächst mit allen Termen von 1 bis 20 eine Primfaktorenzerlegung durch:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1: 1 & 6: 2,3 & 11: 1,11 & 16: 1,2,2,2,2 \\ 2: 1,2 & 7: 1,7 & 12: 1,2,2,3 & 17: 1,17 \\ 3: 1,3 & 8: 2,2,2 & 13: 1,13 & 18: 1,2,3,3 \\ 4: 2,2 & 9: 1,3,3 & 14: 1,2,7 &19: 1,19 \\ 5: 1,5 & 10: 1,2,5 & 15: 1,3,5 & 20: 1,2,2,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Ergebnisse müssen nun zu einer Zahl vereint werden, wobei in mehreren Zahlen vorkommende Faktoren nur einmal verwendet werden: $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 3\cdot 2\cdot 5\cdot 7\cdot 2\cdot 3\cdot 11\cdot 13\cdot 2\cdot 17\cdot 19=232792560 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aufgabe 85
Bereich: Algebra
Warum ergibt folgende Reihe stets Quadratzahlen? $\begin{eqnarray*} \sum^x_{n=0}(2n+1) \end{eqnarray*}$

edit: Korrekturen in Format und inhalt

14.02.2013, 15:45

10001000Nick1

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Zitat:

Lösung 85

Durch vollständige Induktion kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^x (2n+1)=(x+1)^2 \end{eqnarray*}$ ist. Damit ist diese Summe dann eine Quadratzahl.

Induktionsanfang: x=0
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^0 (2n+1)=2\cdot 0+1=1=1^2=(0+1)^2 \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung (IV):
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^x (2n+1)=(x+1)^2 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt: x -> x+1
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{x+1} (2n+1)=\sum\limits_{n=0}^x (2n+1)+(2(x+1)+1)\stackrel{laut IV}{=}(x+1)^2+2x+3=x^2+2x+1+2x+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =x^2+4x+4=(x+2)^2=((x+1)+1)^2\qquad w.z.b.w. \end{eqnarray*}$

Edit Equester: Zeilenumbruch eingefügt, damit es nicht den Rahmen sprengt.

14.02.2013, 16:35

10001000Nick1

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Zitat:

Aufgabe 86 (Analysis):

Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^3+1}. \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ der Graph von $\begin{eqnarray*} f. \end{eqnarray*}$ Man berechne die Nullstellen, die Extrem- und Wendepunkte sowie alle Asymptoten von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

Die Wendetangenten an $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , die x- und die y-Achse schließen eine Fläche vollständig ein. Berechne deren Flächeninhalt.

14.02.2013, 20:43

Gast11022013

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Zitat:

Lösung Aufgabe 86:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^3+1} \end{eqnarray*}$

Die ersten drei Ableitungen bilde ich über die Quotientenregel, wobei ich da nicht jeden Rechenschritt aufschreiben werde.

$\begin{eqnarray*} f '(x)=-\frac{3x^2}{(x^3+1)^2} \\ f ''(x)=\frac{-6x(x^3+1)^2-(-3x^2)\cdot 2\cdot 3x^2(x^3+1)}{(x^3+1)^4} \\ f ''(x)=\frac{12x^4-6x}{(x^3+1)^3}\\ f '''(x)=\frac{(48x^3-6)(x^3+1)^3-(12x^4-6x)\cdot 3\cdot 3x^2(x^3+1)^2}{(x^3+1)^6} f '''(x)=\frac{-60x^6+96x^3-6}{(x^3+1)^4} \end{eqnarray*}$

Nullstellen:

Keine Nullstellen, da der Bruch nur Null wird, wenn der Zähler Null ist. Da dieser nur die Konstante 1 ist, ist dies nicht möglich.

Asymptote:

Nennergrad > Zählergrad, also ist $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ eine Asymptote von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Definitionslücke:

$\begin{eqnarray*} x^3+1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ist zweite Asymptote von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Die Funktion ist also für alle reellen Zahlen ohne der -1 definiert.

Extrempunkte:

Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} f '(x)=0 \wedge f''(x)>0\rightarrow\text{Tiefpunkt} f''(x)<0\rightarrow\text{Hochpunkt} \frac{-3x^2}{(x^3+1)^2}=0 -3x^2=0 x=0 f ''(0)=0\rightarrow\text{keine Aussage möglich.} f(0)=1 \end{eqnarray*}$

Wendepunkte:

$\begin{eqnarray*} f ''(x)=0 \wedge f '''(x)\neq 0 \frac{12x^4-6x}{(x^3+1)^3}=0 12x^4-6x=0 x(12x^3-6)=0 x_1=0 \vee 12x^3-6=0 x_2=\sqrt[3]{\frac12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f '''(0)=-6\checkmark f '''(\sqrt[3]{\frac12})=\frac{16}{3}\neq 0\checkmark \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\sqrt[3]{\frac12})=\frac{2}{3} WP_1\left(0|1\right)\rightarrow\text{Sattelpunkt!} WP_2\left(\sqrt[3]{\frac12}\bigg|\frac{2}{3}\right) \end{eqnarray*}$

Kommen wir nun zum interessanterem Teil der Aufgabe:

Da WP_1 ein Sattelpunkt ist und die Steigung 0 hat, ist die Tangente einfach

$\begin{eqnarray*} y_{WP_1}=1 \end{eqnarray*}$

Eine Tangente hat die Form

Die Steigung der Tangente vom zweitem Wendepunkt erhalten wir über das einsetzen der x-Koordinate in die erste Ableitung

$\begin{eqnarray*} f '(\sqrt[3]{\frac12})\approx -0.84 \end{eqnarray*}$

Um b zu berechnen setzen wir nun x und y Koordinate sowie die Steigung ein:

$\begin{eqnarray*} \frac12=-0.84\cdot \sqrt[3]{\frac12}+b b=\frac43 \end{eqnarray*}$

(Auf dem Zettel habe ich den Wert nicht gerundet sondern die "Urform" benutzt)

$\begin{eqnarray*} y_{WP_2}=-0.84x+\frac43 \end{eqnarray*}$

Das Flächenstück, welches es zu berechnen gilt, ist ein Trapez und kann mit der Formel:

$\begin{eqnarray*} A_{\text{Trapez}}=\frac{a+c}{2}\cdot h \end{eqnarray*}$

berechnet werden.
Dazu benötigen wir die Schnittpunkte von $\begin{eqnarray*} y_{WP_2} \end{eqnarray*}$ mit der x-Achse und $\begin{eqnarray*} y_{WP_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0.84x+\frac43=0 x_1\approx 1.59 -0.84x+\frac43=1 x_2\approx 0.4 a=0.4 c=1.59 h=1 \frac{0.4+1.59}{2}=0.995 \end{eqnarray*}$

14.02.2013, 22:59

10001000Nick1

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Super! Sieht richtig aus.

Vielleicht noch ein kleiner Hinweis: Man müsste eigentlich bei der Polstellenasymptote x=-1 noch zeigen oder wenigstens hinschreiben, dass der Grenzwert an dieser Stelle + oder - unendlich ist. Denn sonst gibt es dort keine Asymptote. Es reicht nicht, dass die Funktion dort eine Definitionslücke hat.
Beispielsweise hat die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{x} \end{eqnarray*}$ an der Stelle x=0 eine Definitionslücke, aber trotzdem keine Asymptote.

15.02.2013, 19:05

Gast11022013

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Zitat:

Aufgabe 87 (Analysis):

Bestimme die ersten beiden Ableitungen von

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^x \end{eqnarray*}$

15.02.2013, 19:55

10001000Nick1

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Zitat:

Lösung 87:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\left(x^x\right)'=\left(e^{\ln\left(x^x\right)}\right)'=\left(e^{x\cdot\ln\left(x\right)}\right)'= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace{e^{x\cdot\ln(x)}\cdot(x\cdot \ln(x))'}_{Kettenregel}=x^x\cdot\underbrace{\left(x' \cdot \ln(x)+x\cdot \ln(x)'\right)}_{Produktregel}=x^x\cdot \left(1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac1x\right)=x^x\cdot(\ln(x)+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\left(x^x\cdot(\ln(x)+1)\right)'=\underbrace{\left(x^x\right)'\cdot (\ln(x)+1)+x^x\cdot (\ln(x)+1)'}_{Produktregel}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^x\cdot(\ln(x)+1)\cdot (\ln(x)+1) +x^x\cdot \frac1x=x^x\cdot (\ln(x)+1)^2+x^{x-1} \end{eqnarray*}$

edit von sulo: Zeilenumbruch wegen Überbreite eingefügt.

16.02.2013, 14:33

10001000Nick1

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Zitat:

Aufgabe 88 (Geometrie):

Sei $\begin{eqnarray*} \triangle ABC \end{eqnarray*}$ ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $\begin{eqnarray*} AB. \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ sei der Schnittpunkt von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ mit der Höhe auf dieser Seite durch $\begin{eqnarray*} C. \end{eqnarray*}$

Beweise: $\begin{eqnarray*} \overline{AD}\cdot \overline{BD}=\overline{CD}^2 \end{eqnarray*}$

18.02.2013, 19:32

omegalambda

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Zitat:

Lösung 88:

Für das Dreieck ABC gilt

$\begin{eqnarray*} A(0;0)\ B(x_{1}; 0)\ C(x_{2} ;y) \end{eqnarray*}$

Das Dreieck ist dann rechtwinklig,wenn das Skalarprodukt der Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec {AC} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec {BC} \end{eqnarray*}$ Null ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{2} \\ y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{2}- x_{1} \\ y \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}\cdot (x_{1}- x_{2})=y^{2} \end{eqnarray*}$

Das ist identisch mit

$\begin{eqnarray*} \overline{AD}\cdot \overline{BD}=\overline{CD}^2 \end{eqnarray*}$

18.02.2013, 19:35

10001000Nick1

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Stimmt! Diesen Lösungsweg finde ich sogar noch besser als den, den ich kannte.

18.02.2013, 19:42

omegalambda

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Zitat:

Aufgabe 89

Im folgendem wird das ganze Alphabet durchlaufen

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{\gamma =a}^{z}(x-\gamma )= (x-a)\cdot (x-b)\cdot (x-c)\cdot ...\cdot (x-z)=\ ? \end{eqnarray*}$

Löse die Klammern auf und fasse zusammen

18.02.2013, 19:59

10001000Nick1

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Zitat:

Lösung 89

Da in dem Produkt der Faktor (x-x)=0 enthalten ist, ist auch das ganze Produkt 0.

18.02.2013, 20:59

10001000Nick1

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Zitat:

Aufgabe 90

Zeige, dass der Satz des Pythagoras ein Spezialfall des Cosinussatzes ist.

18.02.2013, 21:11

Sherlock Holmes

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Zitat:

Lösung 90

Der Kosinussatz besteht aus drei Formeln. Falls $\begin{eqnarray*} \rm \alpha=90 \end{eqnarray*}$ Grad ist, dann verschwindet der letzte Teil aus:

$\begin{eqnarray*} \rm a^2=c²+b²-2bc \cdot \cos (90) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rm \cos (90)=0 \end{eqnarray*}$

Schließlich bleibt nur der Satz des Pythagoras.

$\begin{eqnarray*} \rm a^2=c^2+b^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aufgabe 91

Beweise die Ableitungsregel: $\begin{eqnarray*} \rm f'(x)=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

18.02.2013, 22:16

Cheftheoretiker

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Zitat:

Lösung 91

So, nun die andere Fassung:

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$

Z.z. gilt: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \end{eqnarray*}$

Des weiteren gilt nach dem binomischen Lehrsatz das $\begin{eqnarray*} (x+h)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}h^k \end{eqnarray*}$

Demnach können wir auch schreiben $\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^2+...+\binom{n}{n}h^n-x^n}{h} \end{eqnarray*}$

Als erstes hebt sich $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ auf:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^2+...+\binom{n}{n}h^n}{h} \end{eqnarray*}$

Nun wird $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gekürzt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to 0} \binom{n}{1}x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h+...+\binom{n}{n}h^n \end{eqnarray*}$

Jetzt folgt der Grenzübergang und wir erhalten schlussendlich:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to 0} \binom{n}{1}x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h+...+\binom{n}{n}h^n=\binom{n}{1}x^{n-1}=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

q.e.d.

18.02.2013, 22:22

Sherlock Holmes

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So gehts auch. Big Laugh

Ich mach's eigentlich mit den Grenzwertprozess. Augenzwinkern

21.02.2013, 20:52

Che Netzer

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Mal für die Helfer: Ein Grenzwert, den man kennen sollte, danach wird hier oft gefragt.

Zitat:

Aufgabe 92

Bereich: Analysis – Grenzwertberechnung

Zeige
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\Bigl(\sqrt{(x+a)(x+b)}-\sqrt{(x+c)(x+d)}\Bigr)=\frac{a+b}2-\frac{c+d}2 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} a,b,c,d\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

21.02.2013, 21:52

RavenOnJ

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Zitat:

Lösung Aufgabe 92

Bereich: Analysis – Grenzwertberechnung

$\begin{align*} \lim_{x\to\infty}\Bigl(\sqrt{(x+a)(x+b)}-\sqrt{(x+c)(x+d)}\Bigr) \end{align*}$

$\begin{align*} =\lim_{x\to\infty}\Big\{\Bigl(\sqrt{(x+a)(x+b)}-\sqrt{(x+c)(x+d)}\Bigr) \frac {\sqrt{(x+a)(x+b)}+\sqrt{(x+c)(x+d)}}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+\sqrt{(x+c)(x+d)}}\Big\} \end{align*}$

$\begin{align*} = \lim_{x\to\infty}\frac{(x+a)(x+b)-(x+c)(x+d)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+\sqrt{(x+c)(x+d)}} \end{align*}$

$\begin{align*} = \lim_{x\to\infty}\frac{x(a+b)+ab - x(c+d) -cd}{x\{\sqrt{(1+a/x)(1+b/x)}+\sqrt{(1+c/x)(1+d/x)}\}} \end{align*}$

$\begin{align*} = \lim_{x\to\infty}\frac{(a+b)-(c+d) }{\sqrt{(1+a/x)(1+b/x)}+\sqrt{(1+c/x)(1+d/x)}} + \lim_{x\to\infty}\frac{ab-cd }{x\{\sqrt{(1+a/x)(1+b/x)}+\sqrt{(1+c/x)(1+d/x)}\}} \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{a+b}2-\frac{c+d}2 \end{align*}$

edit von sulo: Zeilenumbruch wegen Überbreite eingefügt.

21.02.2013, 22:20

RavenOnJ

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@Che
Vielleicht könntest du noch eine Aufgabe stellen? smile

21.02.2013, 22:42

Che Netzer

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In Ordnung:

Zitat:

Aufgabe 93

Bereich: Geometrie

Man zeige den Satz von Varignon:
Verbindet man die Seitenmittelpunkte eines beliebigen Vierecks, so entsteht ein Parallelogramm.

Als Charakterisierung eines Parallelogramms eignet sich hier, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang sein sollen – dass sie sich nicht schneiden, ist aus der Konstruktion klar.
Man kann auch über die Parallelität der gegenüberliegenden Seiten argumentieren.
Als Tipp gebe ich die Strahlensätze.

22.02.2013, 23:11

omegalambda

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Lösung 93

Viereck

$\begin{eqnarray*} A(x_{A}; y_{A}) \ B(x_{B}; y_{B})\ C(x_{C}; y_{C})\ D(x_{D}; y_{D}) \end{eqnarray*}$

Jetzt die Seitenmittelpunkte

$\begin{eqnarray*} M_{AB}=(\frac{x_{A}+ x_{B} }{2}; \frac{y_{A}+ y_{B} }{2} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_{BC}=(\frac{x_{B}+ x_{C} }{2}; \frac{y_{B}+ y_{C} }{2} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_{CD}=(\frac{x_{C}+ x_{D} }{2}; \frac{y_{C}+ y_{D} }{2} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_{DA}=(\frac{x_{D}+ x_{A} }{2}; \frac{y_{D}+ y_{A} }{2} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{M_{AB}M_{BC}}=\overrightarrow{M_{DA}M_{CD}} = \begin{pmatrix} \frac{x_{C}- x_{A} }{2} \\ \frac{y_{C}- y_{A} }{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{M_{CD}M_{BC}}=\overrightarrow{M_{DA}M_{AB}} = \begin{pmatrix} \frac{x_{B}- x_{D} }{2} \\ \frac{y_{B}- y_{D} }{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 23:33

RavenOnJ

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alternative, mehr klassisch geometrische Lösung:

Zitat:

Lösung 93:

Bezeichnungen der Punkte (ohne Koordinaten) sei wie bei der vorigen Lösung.

Aufgrund des Strahlensatzes ist die Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{M_{AB}M_{DA}} \end{eqnarray*}$ parallel zur Diagonale $\begin{eqnarray*} \overline{BD} \end{eqnarray*}$ , aus dem selben Grund ebenfalls die Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{M_{BC}M_{CD}} \end{eqnarray*}$ . Genauso lässt sich argumentieren für die Diagonale $\begin{eqnarray*} \overline{AC} \end{eqnarray*}$ und die Strecken $\begin{eqnarray*} \overline{M_{AB}M_{BC}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{M_{CD}M_{DA}} \end{eqnarray*}$ . Also bildet das Viereck $\begin{eqnarray*} M_{AB}M_{BC}M_{CD}M_{DA} \end{eqnarray*}$ ein Parallelogramm.

22.02.2013, 23:43

omegalambda

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Zitat:

Aufgabe 94

43 Touristen besuchen eine Stadt mit 3 Sehenswürdigkeiten (Schloß, Museum und Park)

Bei der Rückfahrt stellt der Reiseleiter folgendes fest

37 Personen waren im Park, 32 im Museum und 27 im Schloß

Gesucht wird die Mindestanzahl von Personen, die alle 3 Orte besucht haben

13.03.2013, 18:46

omegalambda

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Lösung 94

G=Gesamt
A,B,C sind die Sehenswürdigkeiten

Entscheidend ist, daß man ab ac und bc
möglichst vollpacken muß.
Das kann man sich klarmachen.
Deshalb folgender Ansatz
$\begin{eqnarray*} G=ab+bc+ac+abc \end{eqnarray*}$
abc kann zunächst auch negativ werden
zusammen mit
$\begin{eqnarray*} ab=G-C \ usw \end{eqnarray*}$
gibt es eine eindeutige Lösung:

$\begin{eqnarray*} Min(abc)=A+B+C-2G \end{eqnarray*}$

Ist kein Beweis, aber die Lösung

Es sind dann 10 Personen

16.03.2013, 10:38

omegalambda

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Zitat:

Aufgabe 95
Es geht um einen Stahlcoil
manager-magazin.de/unternehmen/industrie/bild-858500-187029.html

Der hat einen Innendurchmesser von 70cm und
einen Außendurchmesser von 1.6m
Das aufgerollte Blechband ist 1.3km lang.

Wie dick ist das Stahlblech?

18.03.2013, 15:50

10001000Nick1

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Zitat:

Lösung 95

Sei $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Höhe des Stahlcoils, $\begin{eqnarray*} r=0,35\ m \end{eqnarray*}$ der Innen- und $\begin{eqnarray*} R=0,8\ m \end{eqnarray*}$ der Außenradius. dann hat der Stahlcoil ein Volumen von $\begin{eqnarray*} V_1=\pi R^2h-\pi r^2h=(R^2-r^2)\pi h=(0,64\ m^2-0,1225\ m^2)\pi h=0,5175\pi h\ m^2. \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ die Dicke des Stahlblechs und $\begin{eqnarray*} l=1300\ m \end{eqnarray*}$ . Das aufgerollte Stahlblech hat ein Volumen von $\begin{eqnarray*} V_2=l\cdot h\cdot d=1300\cdot h\cdot d\ m. \end{eqnarray*}$

Die beiden Volumina müssen übereinstimmen. $\begin{eqnarray*} V_1=V_2\Rightarrow 0,5175\pi h\ m^2=1300\cdot h\cdot d\ m\Rightarrow 0,5175\pi\ m=1300d\Rightarrow d=\frac{0,5175}{1300}\pi\ m. \end{eqnarray*}$

Das Blechband ist also rund 1,25 Millimeter dick.

23.03.2013, 17:36

Che Netzer

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Zitat:

Aufgabe 96

Gebiet: Analysis

Zur Erinnerung: Eine reelle Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt gerade, falls $\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und ungerade, falls $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Zeige die folgenden Aussagen:

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Polynomfunktion zweiten Grades. Ist $\begin{eqnarray*} f(x_0)=f(-x_0) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} x_0\neq0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gerade.
Sei $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eine Polynomfunktion dritten Grades. Ist $\begin{eqnarray*} g(x_0)=-g(-x_0) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} x_0\neq0 \end{eqnarray*}$ und ist $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ungerade.
Sei $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ eine Polynomfunktion vierten Grades. Ist $\begin{eqnarray*} h(x_0)=h(-x_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x_1)=h(-x_1) \end{eqnarray*}$ für zwei verschiedene positive Zahlen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gerade.

(das geht alles mit dem gleichen Schema)

Als kleiner Zusatz:
Eine Polynomfunktion ist genau dann (un-)gerade, wenn all ihre Nullstellen von (un-)gerader Ordnung sind.

24.03.2013, 15:31

10001000Nick1

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Zitat:

Lösung 96

$\begin{eqnarray*} a)\ f(x)=ax^2+bx+c,a\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exists x_0\neq 0:\ f(x_0)=f(-x_0)\quad \Rightarrow\quad ax_0^2+bx_0+c=a(-x_0)^2+ b(-x_0)+c=ax_0^2-bx_0+c \quad \Rightarrow\quad 2bx_0=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\quad b=0\quad\Rightarrow\forall x\in\mathbb{R}:\ f(x)=ax^2+c=a(-x)^2+c=f(-x)\quad \Rightarrow\quad f\ ist\ gerade. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b)\ g(x)=ax^3+bx^2+cx+d,a\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(0)=0 \quad \Rightarrow\quad d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exists x_0\neq 0:\ g(x_0)=-g(-x_0)\quad \Rightarrow\quad ax_0^3+bx_0^2+cx_0= -(a(-x_0)^3+b(-x_0)^2+c(-x_0))=ax_0^3-bx_0^2+cx_0\quad \Rightarrow\quad 2bx_0^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\quad b=0\quad \Rightarrow\quad \forall x\in\mathbb{R}:\ g(-x)=a(-x)^3+c(-x)=-ax^3-cx=-(ax^3+cx) =-g(x)\quad \Rightarrow\quad g\ ist\ ungerade. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c)\ h(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e,a\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exists x_0>0:\ h(x_0)=h(-x_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\quad ax_0^4+bx_0^3+cx_0^2+dx_0+e=a(-x_0)^4+b(-x_0)^3+c(-x_0)^2+d (-x_0)+e=ax_0^4-bx_0^3 +cx_0^2-dx_0+e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\quad 2bx_0^3+2dx_0=0\quad\Rightarrow\quad bx_0^2+d=0\qquad (1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exists x_1>0,x_1\neq x_0:\ h(x_1)=h(-x_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\quad ax_1^4+bx_1^3+cx_1^2+dx_1+e=a(-x_1)^4+b(-x_1)^3+c(-x_1)^2 +d(-x_1)+e=ax_1^4-bx_1^3 +cx_1^2-dx_1+e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\quad 2bx_1^3+2dx_1=0\quad\Rightarrow\quad bx_1^2+d=0\qquad (2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1)-(2):\ bx_0^2-bx_1^2=0\quad \Rightarrow\quad b(x_0^2-x_1^2)=0\quad \Rightarrow\quad b=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1):\ bx_0^2+d=0\quad \Rightarrow\quad d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\quad \forall x\in\mathbb{R}:\ h(x)=ax^4+cx^2+e=a(-x)^4+c(-x)^2+e=h(-x) \quad \Rightarrow\quad h\ ist\ gerade. \end{eqnarray*}$

24.03.2013, 18:29

10001000Nick1

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Zitat:

Aufgabe 97

Sei $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R},x\neq 1. \end{eqnarray*}$ Zeige durch vollständige Induktion: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n x^k =\frac{1-x^{n+1}}{1-x}. \end{eqnarray*}$

24.03.2013, 18:58

Gast11022013

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Zitat:

Lösung Aufgabe 97:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n x^k =\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} n=0 x^0=\frac{1-x^{0+1}}{1-x} 1=\frac{1-x^{1}}{1-x^1} \end{eqnarray*}$

rechte Seite kürzen:

1=1

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} n\rightarrow n+1 \sum\limits_{k=0}^{n+1} x^k= \sum\limits_{k=0}^n x^k+x^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}+\frac{x^{n+1}(1-x)}{1-x} =\frac{1-x^{n+1}+x^{n+1}(1-x)}{1-x} =\frac{1-x^{n+1}+x^{n+1}-x^{n+2}}{1-x} =\frac{1-x^{n+2}}{1-x} \end{eqnarray*}$

q.e.d

24.03.2013, 19:00

10001000Nick1

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Du warst ja sehr schnell. smile

Kannst die nächste Aufgabe stellen.

24.03.2013, 19:46

Gast11022013

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Zitat:

Aufgabe 98:

Zeige, für keine rationale Zahl $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} r^2=3 \end{eqnarray*}$ .

24.03.2013, 21:07

10001000Nick1

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Zitat:

Lösung 98

Angenommen, es gibt ein $\begin{eqnarray*} r \in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r^2=3. \end{eqnarray*}$ Dieses r kann man dann darstellen als $\begin{eqnarray*} r=\frac p q,p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N}. \end{eqnarray*}$ O.B.d.A. seien p und q teilerfremd,
und damit insbesondere auch nicht beide durch 3 teilbar. Wenn p und q nicht teilerfremd sind, einfach kürzen.
Es gilt jetzt: $\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{q^2}=3\quad\Rightarrow\quad p^2=3q^2\quad\Rightarrow\quad 3|p^2\quad\Rightarrow\quad 3|p \end{eqnarray*}$
p lässt sich also darstellen als $\begin{eqnarray*} p=3z,z\in\mathbb{Z}. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\quad 3q^2=p^2=(3z)^2=9z^2\quad\Rightarrow\quad q^2=3z^2\quad\Rightarrow\quad 3|q^2\quad\Rightarrow\quad 3|q. \end{eqnarray*}$

Damit wären p und q beide durch 3 teilbar. Widerspruch zur Teilerfremdheit.

Damit kann r keine rationale Zahl sein.

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