Mathe-Marathon Schule - Seite 8

02.09.2014, 22:54

Aufgabe 120

Man hat eine Zahlengerade mit den natürlichen Zahlen
Vorne die Null

Bei der folgenden Irrfahrt startet man auf der Null
und kann sich mit jedem Schritt immer nur von einer Zahl auf eine Nachbarzahl bewegen

Ich will jetzt mit 2 Schritten wieder auf der Null sein
Ich gehe also auf die 1 und dann wieder auf die Null
Man hat also genau eine Möglichkeit um mit 2 Schritten wieder auf der Null zu sein

Jetzt will ich in 8 Schritten wieder auf der Null sein
das wäre zB 1-2-1-2-1-0-1-0
Man kann also zwischendurch immer mal wieder auf der Null sein

Frage
Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten hat man wenn man mit 8 Schritten wieder auf der Null sein will?

11.09.2014, 16:54

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Lösung 120

$\begin{eqnarray*} M(s)=\frac{2}{2+s} \begin{pmatrix} s \\ \frac{s}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

M=Anzahl der Möglichkeiten; s=Anzahl der Schritte

M(8)=14

Wer eine Herleitung wünscht, wende sich bitte an jemanden der Ahnung hat von Mathematik

11.09.2014, 17:10

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Aufgabe 121
(Erweiterung von 120)

Wenn von der Null ein Zahlenstrahl weggeht, dann hat man 14 Möglichkeiten,
wenn man in 8 Schritten wieder bei der Null sein will

Wenn von der Null 2 Zahlenstrahlen weggehen dann hat man 70 Möglichkeiten,
wenn man in 8 Schritten wieder bei der Null sein will
Dies erkennt man an der Formel die HAL 9000 hingeschrieben hatte
etwa so
$\begin{eqnarray*} M(s)=\begin{pmatrix} s \\ \frac{s}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt gehen von der Null n Zahlenstrahlen weg

Wie viele Möglichkeiten hat man jetzt, wenn in 8 Schritten wieder auf der Null sein will?

11.09.2014, 22:46

Gast11022013

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Zitat:

Aufgabe 121

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage: $\begin{eqnarray*} n^4+4 \end{eqnarray*}$ ergibt für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}\,, n>1 \end{eqnarray*}$ nie Primzahlen

19.09.2014, 19:24

Bonheur

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Zitat:

Lösung: 121
Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} n^4+4 \end{eqnarray*}$ ergibt für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}\,, n>1 \end{eqnarray*}$ nie Primzahlen.

Dafür versuchen wir den Term $\begin{eqnarray*} n^{4}+4 \end{eqnarray*}$ als Produkt darzustellen.
$\begin{eqnarray*} n^{4}+4=n^{4} +4 n^{2} - 4n^{2} +4= (n^{2}+2)^{2}-4n^{2}=(n^{2}+2)^{2}-(2n)^{2}=((n^{2}+2)+(2n)) \cdot ((n^{2}+2) - (2n)) \end{eqnarray*}$

Somit wurde gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} n^{4}+4 \end{eqnarray*}$ als Produkt dargestellt werden kann und somit hat die Zahl mehr als zwei Teiler.

Analog zeigt man noch:
$\begin{eqnarray*} n²+2 \neq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} 2n \neq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I:n^{2}+2 =1 \Rightarrow n=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ Widerspruch
$\begin{eqnarray*} II:2n =1 \Rightarrow n=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Widerspruch , weil $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} n² + 2 = n^4 + 4 \Longleftrightarrow n^{4}-n^{2}+2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=n^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{2}-z+2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} -2} \end{eqnarray*}$
Es geht nicht auf, weil der Wert unter der Wurzel negativ ist.

Nun wurde gezeigt, dass a und b für KEIN n gleich 1 oder gleich n^4 + 4 ist.

19.09.2014, 23:08

Bonheur

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Zitat:

Aufgabe: 122
Zeigen Sie: Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b},\vec{c} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, dann gilt: $\begin{eqnarray*} (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

20.09.2014, 01:53

Tesserakt

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Zitat:

Lösung Aufgabe 122

Lemma. Seien $\begin{eqnarray*} \vec{v}, \vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{v} \neq \vec{0} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b} \neq 0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ voneinander unabhänig sind. Fernerhin gelte $\begin{eqnarray*} \vec{v} \cdot \vec{a} = \vec{v} \cdot \vec{b} = 0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für jeden Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{c} \neq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{v} \cdot \vec{c} = 0 \end{eqnarray*}$ , dass er linear abhängig zu $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ ist.

Beweis: Da $\begin{eqnarray*} \vec{v} \neq \vec{0} \end{eqnarray*}$ , nehmen wir o.B.d.A $\begin{eqnarray*} v_1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ an. Dann folgt aus $\begin{eqnarray*} \vec{v} \cdot \vec{c} = 0 \end{eqnarray*}$ , dass

$\begin{eqnarray*} c_1 = -\frac{v_2c_2 + v_3c_3}{v_1} \; \; (*) \end{eqnarray*}$

gilt.
Es kann nicht $\begin{eqnarray*} a_2 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_3 = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b_2 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_3 = 0 \end{eqnarray*}$ gelten. Ansonsten würde nämlich mit $\begin{eqnarray*} a_1 = -\frac{v_2a_2 + v_3a_3}{v_1} = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b_1 = -\frac{v_2b_2 + v_3b_3}{v_1} = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \vec{b} = \vec{0} \end{eqnarray*}$ im Widerspruch zur Voraussetzung gelten.
Fall 1: $\begin{eqnarray*} a_2 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_3 = 0 \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt $\begin{eqnarray*} c_2 = \frac{c_2}{b_2} \cdot b_2 + \frac{c_3}{a_3} \cdot a_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_3 = \frac{c_3}{a_3} \cdot a_3 + \frac{c_2}{b_2} \cdot b_3 \end{eqnarray*}$ .
Einsetzen in $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ zeigt, dass dann auch $\begin{eqnarray*} c_1 = \frac{c_3}{a_3} \cdot a_1 + \frac{c_2}{b_2} \cdot b_1 \end{eqnarray*}$ gilt und somit $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ l.a. von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ ist.

Analog zeigt man Fall 2: $\begin{eqnarray*} a_3 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_2 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Fall 3: $\begin{eqnarray*} a_2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_3 \neq 0 \end{eqnarray*}$ Dann gilt $\begin{eqnarray*} a_2b_3 - b_2a_3 \neq 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ l.u. sind sowie $\begin{eqnarray*} \vec{v} \cdot \vec{a} = \vec{v} \cdot \vec{b} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Folglich existieren $\begin{eqnarray*} k_a, k_b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_2 = k_a \cdot a_2 + k_b \cdot b_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_3 = k_a \cdot a_3 + k_b \cdot b_3 \end{eqnarray*}$ (Bestimmung durch den Gauß'schen Algorithmus). Einsetzen in $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} a_1 = k_a \cdot a_1 + k_b \cdot b_1 \end{eqnarray*}$ und man hat insgesamt $\begin{eqnarray*} \vec{c} = k_a \cdot \vec{a} + k_b \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ linear abhängig von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ . — q.e.d.

Satz. Seien $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig mit $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \neq \vec{0} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \left(\vec{a} \times \vec{b} \right) \cdot \vec{c} \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Beweis: Man sieht leicht, dass $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{0} \end{eqnarray*}$ gilt.
Angenommen, $\begin{eqnarray*} \left(\vec{a} \times \vec{b} \right) \cdot \vec{c} = 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist wegen $\begin{eqnarray*} \left(\vec{a} \times \vec{b} \right) \cdot \vec{a} = 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \left(\vec{a} \times \vec{b} \right) \cdot \vec{b} = 0 \end{eqnarray*}$ der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ linear abhängig von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ nach dem Lemma. Widerspruch zur Voraussetzung!
Also muss $\begin{eqnarray*} \left(\vec{a} \times \vec{b} \right) \cdot \vec{c} \neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten. — q.e.d.

21.09.2014, 22:10

Tesserakt

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Zitat:

Aufgabe 123 Geometrie

Gegeben sei eine Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sowie ein Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auf der Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und ein Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , der nicht auf der Geraden liegt, wobei $\begin{eqnarray*} \overline{AP} \end{eqnarray*}$ nicht senkrecht auf $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ steht.
Man konstruiere mit Zirkel und Lineal einen Punkt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} ABP \end{eqnarray*}$ rechtwinklig ist mit der Hypotenuse $\begin{eqnarray*} \overline{AB} \end{eqnarray*}$ .

25.09.2014, 11:33

Hugo Lempke

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Zuerst schlägt man zwei Kreise mit Radius groß genug um A und P. Die Schnittpunkte beider Kreise verbindet man und verlängert die entstehende Strecke soweit, dass man einen Schnittpunkt S auf der Geraden g erhält. Damit hat dann S gleichen Abstand zu A und P.

Jetzt schlägt man um S einen Kreis mit Radius Länge(SA). Der Schnittpunkt dieses Kreises mit g, der nicht A ist, ist B.

Das ist richtig, weil A,B,P nun auf einem Thaleskreis liegen.

04.10.2014, 02:44

Gast11022013

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Zitat:

Aufgabe 124:

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb{Z}/5 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} f_\lambda\colon(\mathbb{Z}/5)^2\to (\mathbb{Z}/5)^2 \end{eqnarray*}$

definiert durch

$\begin{eqnarray*} (x,y)\mapsto (x+y\cdot 2, x\cdot 4+y\cdot\lambda) \end{eqnarray*}$

eine lineare Abbildung.

Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} f_\lambda(x,y)=(4,4) \end{eqnarray*}$ und geben sie die Lösungen für alle Werte von $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb{Z}/5 \end{eqnarray*}$ an.

Edit: Hier eine naive Erklärung zur Lösung dieser Aufgabe.

16.10.2014, 15:26

Gast11022013

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Dann löse ich mal die Aufgabe.

Zitat:

Lösung Aufgabe 124:

Wir lösen das Gleichungssystem in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x+2y=4 4x+\lambda y=4 \end{eqnarray*}$

Stellt man die erste Gleichung nach x um erhält man

$\begin{eqnarray*} x=4-2y \end{eqnarray*}$

Setzt man dies in die zweite Gleichung ein, so hat man:

$\begin{eqnarray*} 4(4-2y)+\lambda y=4 16-8y+\lambda y=4 \end{eqnarray*}$

Mit dem was ich im Diskussionsthread geschrieben habe kann man dies umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} 1+2y+\lambda y=4 (\lambda+2)y=3 \end{eqnarray*}$

Einfach die 1 subtrahiert und dann y ausgeklammert um nach y auflösen zu können.
Dazu multiplizieren wir $\begin{eqnarray*} (\lambda+2)^{-1} \end{eqnarray*}$
Dies geht natürlich nur wenn $\begin{eqnarray*} \lambda\neq -2 \end{eqnarray*}$ ist, also nicht für $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$ .
Sonst würden wir durch Null teilen.

Setzt man dies nun wieder in die Gleichung für x ein, so erhält man:

$\begin{eqnarray*} x=4-(\lambda+2)^{-1} \end{eqnarray*}$

Die Lösungen des Gleichungssystem in Abhängigkeit von \lambda lauten also

$\begin{eqnarray*} x=4-(\lambda+2)^{-1} y=3(\lambda+2)^{-1} \end{eqnarray*}$

Nun können wir für \lambda abwechselnd 0, 1, 2, 3 und 4 einsetzen und so die jeweiligen Lösungen ermitteln.

Für $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ würde das etwa so aussehen:

$\begin{eqnarray*} x=4-(0+2)^{-1} \end{eqnarray*}$

Nun fragen wir uns was das Inverse von 2 ist. Also welche Zahl muss ich zu der 2 multiplizieren damit das Produkt bei der Division mit 5 den Rest 1 lässt.
Hier wäre das die 3 also

$\begin{eqnarray*} 2^{-1}=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=4-3=1 y=3(0+2)^{-1}=3\cdot 3=9=4 \end{eqnarray*}$

Für die anderen \lambda Werte geht man genau so vor, wobei wir ja auch eigentlich schon wissen, dass es für $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$ keine Lösung gibt.

Die Lösungen lauten also:

Für $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\{(1,4)\} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\{(2,1)\} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \lambda=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\{(0,2)\} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\emptyset \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \lambda=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\{(3,3)\} \end{eqnarray*}$

20.10.2014, 14:54

Guppi12

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Zitat:

Aufgabe 125

Zeige $\begin{align*} \sin(\cos(x)) < \cos(\sin(x)) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\in\mathbb R \end{align*}$

21.10.2014, 14:36

Mathema

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Ein Lösungsversuch:

Zitat:

Lösung zu Aufgabe 125:

$\begin{eqnarray*} sin(cos(x))<cos(sin(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(sin(x))-sin(cos(x)) > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(sin(x)) + cos(\frac{\pi}{2}+cos(x)) > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot cos(\frac{\frac{\pi}{2}+cos(x)+sin(x)}{2})\cdot cos(\frac{\frac{\pi}{2}+cos(x)-sin(x)}{2}) > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot cos(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}(cos(x)+sin(x)))\cdot cos(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}(cos(x)-sin(x))) > 0 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist also, dass beide Faktoren positiv sind. Für den ersten Faktor muss also gelten (für den zweiten geht es analog):

$\begin{eqnarray*} 0 < \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}(cos(x)+sin(x)) < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{\pi}{4} < \frac{1}{2}(cos(x)+sin(x)) < \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{\pi}{2} < cos(x)+sin(x) < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{\pi}{2} < \underbrace{\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})}_{[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]} < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

21.10.2014, 18:19

Mathema

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Zitat:

Aufgabe 126:

Einer quadratischen senkrechten Pyramide mit der Körperhöhe h und der Seitenkante s, die die Proportionen s : h = $\begin{eqnarray*} \sqrt{11} \end{eqnarray*}$ : 3 erfüllen, ist ein Würfel einbeschrieben (siehe Zeichnung). In welchem Verhältnis stehen Pyramiden- und Würfelvolumen zueinander ?

25.10.2014, 19:17

reeleZahl

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Dann mal meine Lösung:

Zitat:

Lösung Aufgabe 126:

Vorbemerkung
Da $\begin{eqnarray*} \frac{s}{h} = \frac{\sqrt{11}}{3} \end{eqnarray*}$ gilt, kann die Seitenkante $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{11}h}{3} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden.

Vorbereitung
Im folgenden berechne ich die Länge der halben Diagonale $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ der Grundfläche der Pyramide mithilfe des Satz des Pythagoras:

$\begin{eqnarray*} s^2 &=& h^2 + d^2 \\ d^2 &=& s^2 - h^2 \\ d^2 &=& \left( \frac{\sqrt{11}h}{3} \right)^2 - h^2 \\ d &=& \sqrt{\left( \frac{\sqrt{11}h}{3} \right)^2 - h^2} \\ d &=& \frac{\sqrt{2}h}{3} \end{eqnarray*}$

Mithilfe von $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ kann nun mithilfe des Satz des Pythagoras die Kantenlänge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ berechnet werden:

$\begin{eqnarray*} (d + d)^2 &=& a^2 + a^2 \\ (2d)^2 &=& 2a^2 \\ a &=& \sqrt{\frac{(2d)^2}{2}} \end{eqnarray*}$

Volumenberechnung der Pyramide
Das Volumen einer Pyramide kann berechnet werden durch:
$\begin{eqnarray*} V_p = \frac{1}{3}A_g \cdot h \end{eqnarray*}$

Da die Grundfläche die Quadratur der Kantenlänge ist, gilt:
$\begin{eqnarray*} V_p = \frac{1}{3} a^2 \cdot h \end{eqnarray*}$

Jetzt können die Werte aus der Vorbereitung eingesetzt werden:
$\begin{eqnarray*} V_p &=& \frac{1}{3}a^2 \cdot h \\ &=& \frac{1}{3} \left( \sqrt{\frac{(2d)^2}{2}} \right)^2 \cdot h \\ &=& \frac{1}{3} \left( \sqrt{\frac{\left(2 \cdot \frac{\sqrt{2}h}{3}\right)^2}{2}} \right)^2 \cdot h \\ V_p &=& \frac{4h^3}{27} \end{eqnarray*}$

Volumenberechnung des Würfels
Mithilfe des zweiten Strahlensatzes kann nun das Volumen des Würfels berechnet werden:
$\begin{eqnarray*} V_w &=& x^3 \\ V_w &=& \left( \frac{a \cdot h}{a + h} \right)^3 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bereits berechnet wurde, kann es hier eingesetzt werden:
$\begin{eqnarray*} V_w &=& \left( \frac{\frac{2}{3}h \cdot h}{\frac{2}{3}h + h} \right)^3 \\ V_w &=& \frac{8 h^3}{125} \end{eqnarray*}$

Last but not least: Verhältnis zwischen Pyramiden- und Würfelvolumen
Nun kann man das Pyramidenvolumen mit dem Würfelvolumen ins Verhältnis setzen:

$\begin{eqnarray*} \cfrac{\frac{4h^3}{27}}{\frac{8h^3}{125}} = \frac{125}{54} \end{eqnarray*}$

Das Verhältnis beträgt also 125:54.

Vielen Dank nochmal an Mathema smile

25.10.2014, 19:33

reeleZahl

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[attach]35829[/attach]

Aufgabe 127:

Zitat:

Ein Würfel mit der Kantenlänge 1m steht vor einer Wand. Eine 5m lange Leiter lehnt an der Wand und berührt dabei den Würfel.
Wie hoch ist die maximale Höhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ , mit der die Leiter an der Wand stehen kann?

27.10.2014, 13:11

Mathema

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Ich löse dann doch mal - sie steht ja schon (als Ergebnis) im anderen Thread.

Zitat:

Lösung Aufgabe 127:

Bezeichnen wir die fehlende Teilstrecke des großen Dreiecks mit x, ergibt sich nach Pythagoras:

$\begin{eqnarray*} h^2+(x+1)^2=25 \end{eqnarray*}$

Das vordere kleine Dreieck ist ähnlich zum großen Dreieck, alle Winkel sind gleich. Also gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1} = \frac{x+1}{h} \end{eqnarray*}$

Aufgelöst nach x:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{h-1} \end{eqnarray*}$

Setzen wir das nun in die erste Gleichung ein:

$\begin{eqnarray*} h^2+(\frac{1}{h-1}+1)^2=25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h^2 + \frac{h^2}{(h-1)^2} =25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h^4-2h^3-23h^2+50h-25=0 \end{eqnarray*}$

Wir suchen also die größte Nullstelle obiger Funktion:

Nun ja - ein beliebiges Näherungsverfahren (z.B. Newton) liefert das gewünschte Ergebnis von ca. 4,84m.

Wer es genau haben möchte guckt in den Diskussionsthread und bedankt sich bei tmo.

27.10.2014, 13:14

Mathema

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Zitat:

Aufgabe 128

Die Geschwindigkeit eines Motorbootes ist um $\begin{eqnarray*} 16 \frac{km}{h} \end{eqnarray*}$ größer als die eines Passagierschiffes. Welche Geschwindigkeit haben beide, wenn das Passagierschiff für 60 km eine Stunde länger braucht als das Motorboot ?

27.10.2014, 16:35

reeleZahl

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Lösung der Aufgabe 128:

Zitat:

Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit bei gleichförmigen Bewegungen: $\begin{eqnarray*} v = \frac{s}{t} \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich: $\begin{eqnarray*} v_{MB} = \frac{60\,\text{km}}{t_{PS}-1\,\text{h}} \\ \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} v_{MB}=v_{PS}+16\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} v_{PS} + 16\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{60\,\text{km}}{t_{PS}-1\,\text{h}} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} t_{PS} = \frac{60\,\text{km}}{v_{PS}} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} v_{PS} + 16\,\frac{\text{km}}{\text{h}} &=& \frac{60\,\text{km}}{\frac{60\,\text{km}}{v_{PS}}-1\,\text{h}} \\ v_{PS} &=& 24 \frac{\text{km}}{\text{h}} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} v_{MB} = v_{PS}+16\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} v_{MB} = 40\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \end{eqnarray*}$

Antwort
Das Motorboot fährt mit 40km/h, dass Passagierschiff mit 24km/h.

27.10.2014, 18:19

Mathema

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Zitat:

Aufgabe 129:

Dividiert man 2400 durch eine unbekannte natürliche Zahl n, so erhält man den Rest 123. Teilt man aber 3562 durch n, so bleibt ein Rest von 20. Bestimme die Zahl n.

01.11.2014, 01:37

Gast_01_11_2014

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Zitat:

Lösung 129:
Angabe (als Gleichungen):
2400 mod n = 123
3542 mod n = 20

daraus folgt (für k,l,n aus N):
k*n = 2277
l*n = 3542

Daraus folgt, dass n ein Teiler von 2277 und 3542 ist.
Die Menge der gemeinsamen Teiler (=möglicher n) lautet: {11, 23, 253}

Aus der Angabe folgt außerdem: n>123

Daraus folgt: n=253

02.11.2014, 10:27

Mathema

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Wenn niemand will - es soll ja weitergehen:

Zitat:

Aufgabe 130:

In einen Trichter mit einem Öffnungswinkel von $\begin{eqnarray*} 60^\circ \end{eqnarray*}$ ist eine Kugel mit Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ gelegt. Man bestimme den Hohlraum unterhalb der Kugel.

23.11.2014, 14:05

Mathema

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Hier dann die Lösung zu Aufgabe 130. Die Streckenbezeichnungen sind der Figur im Diskussionsthread zu entnehmen. Wer will stellt eine neue Aufgabe.

Zitat:

Lösung Aufgabe 130

$\begin{eqnarray*} \sin(30) = \frac{r}{\vert\overline{MS}\vert} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vert\overline{MS}\vert = \frac{1}{\sin(30)} \cdot r = 2r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(60) = \frac{x}{r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \sin(60) \cdot r = \frac{r}{2}\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(60) = \frac{h}{r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = \cos(60) \cdot r = \frac{1}{2}r \end{eqnarray*}$

Das Volumen berechnet sich also wie folgt:

$\begin{eqnarray*} V_{Kegel} - V_{Kappe} = \frac{1}{3}\pi(\frac{r}{2}\sqrt{3})^2 \cdot \frac{3}{2}r - \frac{1}{3} \pi(\frac{1}{2}r)^2(3r-\frac{1}{2}r) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3}\pi(\frac{9}{8}r^3-\frac{5}{8}r^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{4}{8}r^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6}\pi{r^3} \end{eqnarray*}$

25.11.2014, 17:24

Mathema

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Zitat:

Aufgabe 131:

Berechne x ( $\begin{eqnarray*} \mathbb{G} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ). Das Ergebnis ist als Potenz mit kleinster Basis $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ anzugeben.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2014}x+3}}}}}-\sqrt{x}=1 \end{eqnarray*}$

27.11.2014, 17:56

Bonheur

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Zitat:

Lösung Aufgabe 131

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2014}x+3}}}}}-\sqrt{x}=1 \end{eqnarray*}$

Es fällt auf, dass sich die Koeffizienten gleichmäßig bzw. konstant erhöhen.

Für die Koeffizienten gilt: $\begin{eqnarray*} 4^{i} \, \, \, \, \, \text{wobei} \, \, \, \, 0 \leq i \leq 2014 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+3} - \sqrt{x} =1 \Longleftrightarrow x=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+\sqrt{4x+3}}-\sqrt{x}=1 \Longleftrightarrow x=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+3}}}-\sqrt{x}=1 \Longleftrightarrow x=\frac{1}{16} \end{eqnarray*}$

Man erkennt eine Regelmäßigkeit bei den x Lösungen und zwar erweitert sich der Nenner immer um vier.
$\begin{eqnarray*} x_{G}= \frac{1}{4^{i}} \, \, \, \, \, \text{wobei} \, \, \, \, 0 \leq i \leq 2014 \end{eqnarray*}$

Und wenn diese Regelmäßigkeit bis 2014 beibehalten bleibt, dann ist die Lösung dieser Gleichung:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{4^{2014}}=4^{-2014} \end{eqnarray*}$

27.11.2014, 18:30

Bonheur

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Zitat:

Aufgabe 132
Zeigen Sie, dass in einem Quader mit quadratischer Grundfläche die Grundflächendiagonale e und die Raumdiagonale f senkrecht zueinander stehen.

12.12.2014, 16:57

leoclid

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Die Aufgabe bezieht sich natürlich nur auf eine Raumdiagonale und eine Grundflächendiagonale, die keine gemeinsamen Punkte haben.

Der Vektor der Grundflächendiagonale ist von der Art

$\begin{eqnarray*} \vec{g} = \begin{pmatrix} a \\ a \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Vektor der der Raumdiagonalen ist von der Art

$\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} a \\ -a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für das Skalarproukt gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{g} * \vec{r} = \begin{pmatrix} a \\ a \\ 0 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} a \\ -a \\ b \end{pmatrix} = a^{2}-a^{2}+0*b = 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist das Skalarprodukt Null, woraus folgt, dass der zur Raumdiagonale gehörende und der zur Grundflächendiagonale gehörende Vektor senkrecht aufeinander stehen.

Edit von Guppi12: Latex korrigiert

14.12.2014, 13:57

Mathema

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Zitat:

Aufgabe 133 (Analysis):

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat die 2-te Ableitung $\begin{eqnarray*} f\prime\prime(x) = 12x^2+k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Im Wendepunkt $\begin{eqnarray*} (2 | 5) \end{eqnarray*}$ des Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ verläuft die Tangente senkrecht zur Geraden mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} 14y-x-3=0 \end{eqnarray*}$ .
Bestimme die Funktionsgleichung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

15.12.2014, 18:00

Bonheur

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Zitat:

Lösung Aufgabe 133
Gegeben: $\begin{align*} f''(x)=12x^{2}+k \end{align*}$ ; $\begin{align*} W(2|5) \end{align*}$ ; $\begin{align*} 14y-x-3=0 \end{align*}$

Gesucht: $\begin{align*} f(x) \end{align*}$

Überlegung:
Für Wendepunkte gilt die Bedingung: $\begin{align*} f''(x)=0 \end{align*}$ . Man untersucht an welcher Stelle des Graphen der Funktionswert null beträgt.
Und diese Überlegung kann man nutzen, indem man sagt: $\begin{align*} f''(2)=48+k=0 \Longleftrightarrow k=-48 \end{align*}$
Somit hätte man den Parameter k bestimmt.
Der nächste Schritt wäre die Überlegung, wie von $\begin{align*} f''(x) \end{align*}$ auf $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ kommt.
Da $\begin{align*} f''(x) \end{align*}$ die zweite Ableitung von der gesuchten Funktion ist $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ , müsste man theoretischer Weise zweimal integrieren:

$\begin{align*} \int \! 12x^{2}-48 \, \, \, dx=4x^{3}-48x+C=f'_{C}(x) \end{align*}$

Hier stellt sich nun ein weiteres Problem dar und zwar müssen wir irgendwie die Konstante $\begin{align*} C \end{align*}$ bestimmen.
Dazu verwenden wir die gegebene Gerade:
$\begin{align*} 14y-x-3=0 \Longleftrightarrow y=\frac{x}{14}+\frac{3}{14} \end{align*}$

Und diese Gerade erfüllt folgende Bedingung: Die Gerade ist senkrecht zur Tangente des Wendepunktes.
Es gilt demnach: $\begin{align*} m_{1} \cdot m_{2}=-1 \to \frac{1}{14} \cdot m_{2}=-1 \Longleftrightarrow m_{2}=-14 \end{align*}$

Somit weiß man, dass die Steigung am Wendepunkt $\begin{align*} -14 \end{align*}$ beträgt d.h wenn wir in die Ableitungsfunktion für $\begin{align*} x=2 \end{align*}$ einsetzen, müsste $\begin{align*} -14 \end{align*}$ als Resultat herauskommen:

$\begin{align*} f'(2)=-64+C=-14 \Longleftrightarrow C=50 \end{align*}$

Somit hätte man folgende Funktion:

$\begin{align*} f'(x)=4x^{3}-48x+50 \end{align*}$

Und diese können wir wieder integrieren, um letzendlich auf $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ zu kommen.

$\begin{align*} \int \! 4x^{3}-48x+50 \, \, \, dx=x^{4}-24x^{2}+50x+C=f_{C}(x) \end{align*}$

Wir wenden den Wendepunkt an und auf $\begin{align*} C \end{align*}$ zu kommen:

$\begin{align*} f_{C}(2)=20+C=5 \Longleftrightarrow C=-15 \end{align*}$

Somit lautet die gesuchte Funktion: $\begin{align*} f(x)=x^{4}-24x^{2}+50x-15 \end{align*}$ .

[attach]36458[/attach]

16.12.2014, 11:46

Bonheur

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Zitat:

Aufgabe 134
In einer großen Urne sind 959 weiße und 95959 schwarze Kugeln. Ein Spieler zieht nacheinander eine
Kugel ohne zurücklegen. Das Spiel ist aus, wenn er eine weiße Kugel zieht oder wenn er
zehnmal gezogen hat. Die Zufallsvariable X steht für die Anzahl der gezogenen schwarzen
Kugeln.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
b) Der Spieleinsatz beträgt 10 €. Der Spieler erhält 30 €, wenn er zehn schwarze Kugeln
gezogen hat. Er erhält 20 €, wenn er neun schwarze Kugeln zieht. In allen anderen Fällen
erhält er nichts. Welchen mittleren Gewinn (oder Verlust) hat der Spieler auf lange Sicht
je Spiel zu erwarten ? Wie hoch müsste der Spieleinsatz ungefähr sein, damit das Spiel
fair ist ?

15.10.2015, 19:33

HAL 9000

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Aus aktuellem Anlass stelle ich mal eine einfache Aufgabe für unsere Fußballfreunde (und ignoriere dabei, dass 134 noch gar nicht gelöst wurde Augenzwinkern

Zitat:

Aufgabe 135

Am 18.10.2015 werden die Playoff-Spiele zur Vergabe der letzten vier Startplätze für die Fußball-EM 2016 ausgelost. Es wird jeweils einer Mannschaft aus Lostopf 1 eine Mannschaft aus Lostopf 2 zugelost.

Lostopf 1: Schweden, Bosnien, Ukraine, Ungarn
Lostopf 2: Dänemark, Norwegen, Slowenien, Irland

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es

a) zu einem skandinavischen Duell (d.h. Schweden-Dänemark oder Schweden-Norwegen) kommt?

b) zu einem Balkanduell Bosnien-Slowenien kommt?

c) zu beidem kommt?

04.11.2015, 20:35

DrummerS

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Hallo Bonheur, hallo HAL 9000,

habe gerade den Mut, mich hier zu blamieren, daher versuche ich mich mal... Big Laugh

Bin ansonsten mehr oder weniger ein "Laie", was Wahrscheinlichkeitsrechnungen angeht...

Aufgabe 134 a)

Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Zug eine schwarze Kugel zu ziehen, müsste sein:

$\begin{eqnarray*} W\left(X=1\right)=\frac{95959}{959+95959} \end{eqnarray*}$

Bei separater Betrachtung der folgenden Züge müsste sein:

$\begin{eqnarray*} W_{\text{separat}}\left(X\right)=\frac{95959-X+1}{959+95959-X+1} \end{eqnarray*}$

Bezüglich der Zugreihenfolge könnte sein verwirrt

?:

$\begin{eqnarray*} W\left(X\right)=\prod_{X=1}^{n} \frac{95959-X+1}{959+95959-X+1} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 134 b)

Den mittleren Verlust $\begin{eqnarray*} \left(\bar{V}\right) \end{eqnarray*}$ würde ich intuitiv wie folgt ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \bar{V} = G_{1} \cdot W\left(X=10\right)+G_{2} \cdot W\left(X=9\right)-K\sum\limits_{p=1}^{8}\left(\prod_{X=1}^{p} \frac{95959-X+1}{959+95959-X+1} \right) \approx -31 \end{eqnarray*}$

Laut Aufgabenstellung sind die Konstanten (jeweils in Euro): $\begin{eqnarray*} G_{1} = 30, G_{2} = 20 \text{ und } K = 10 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} \bar{V} \approx 0 \Rightarrow K \approx 4.75 \text{ Euro} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 135 a)

Lostopf 1 enthält einen Stimmzettel für eine skandinavische Mannschaft. Lostopf 2 enthält zwei Stimzettel für skandinavische Mannschaften. Abstrakt gesehen wird der skandinavischen Mannschaft aus Lostopf 1 eine der beiden skandinavischen Mannschaften aus Lostopf 2 zugelost. Die skandinavischen Mannschaften aus Lostopf 2 machen die Hälfte aller Mannschaften im eben diesen Lostopf aus. Daher müsste die gesuchte Wahrscheinlichkeit 1/2 oder 50% betragen.

Aufgabe 135 b)

Mit dem gleichem Gedankengang wie zu Aufgabe 135 a) komme ich auf 25%.

Aufgabe 135 c)

Hier würde ich die ermittelten Wahrscheinlichkeiten aus a) und b) multiplizieren, da Schweden und Bosnien jeweils unterschiedliche Länder in Lostopf 1 darstellen, mit separat betrachtbaren Spielkonstellations-Wahrscheinlichkeiten bezüglich Lostopf 2.

Wie habe ich mich geschlagen smile

04.11.2015, 20:40

HAL 9000

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a) und b) sind richtig - c) ist falsch: Die beiden beschriebenen Ereignisse sind nicht unabhängig, weswegen deine Überlegung da nicht zutreffend ist. Tatsächlich kommt bei c) nicht 1/8, sondern 1/6 heraus.

P.S.: Ergebnis der realen Auslosung:

a) ja (Dänemark - Schweden)
b) nein
c) nein

04.11.2015, 21:55

DrummerS

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D.h., wenn zu Beginn das Balkanduell gezogen wurde ("unabhängige" Wahrscheinlichkeit = 1/4), dann bleibt für das skandinavische Modell noch eine Wahrscheinlichkeit von 2/(4 - 1) = 2/3 übrig - die erwähnte Abhängigkeit. Beides kombiniert betrachtet ergibt dann (1/4)*(2/3) = 1/6. Andersherum wäre es dann (1/2)*(1/(4-1)) = 1/6.....OK smile

08.12.2015, 17:18

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Aufgabe 136

gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (a,b,c)
mit c>b>a

es sei

$\begin{eqnarray*} b>>a \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x=c-b \end{eqnarray*}$

zeige

$\begin{eqnarray*} x\approx \frac{a^2}{2b} \end{eqnarray*}$

04.01.2016, 23:59

DrummerS

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Zitat:

Lösung zu Aufgabe 136

Wird $\begin{eqnarray*} x = c - b \text { nach } c \end{eqnarray*}$ umgestellt und der resultierende Ausdruck mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ in der Gleichung zum Satz des Pythagoras substituiert, so ergibt das Gleichung 1:

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}=\left(x+b\right)^{2} \end{eqnarray*}$ .

Ausmultiplizieren und Kürzen von $\begin{eqnarray*} b^{2} \end{eqnarray*}$ liefert Gleichung 2:

$\begin{eqnarray*} a^{2} = x^{2}+2bx \end{eqnarray*}$ .

Aus der Dreiecksungleichung und $\begin{eqnarray*} x = c-b \text{ folgt } a > x \end{eqnarray*}$ .

Zur Übersicht ist nun $\begin{eqnarray*} b>>a>x \end{eqnarray*}$ , woraus $\begin{eqnarray*} \left(2b\right) \cdot x >> x \cdot x = x^{2} \end{eqnarray*}$ folgt.

Wenn daher $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ in Gleichung 2 vernachlässigt, deshalb das Gleichheitszeichen mit einem Rundungszeichen substituiert
und Gleichung 2 zielkonform umgeformt wird, folgt:

$\begin{eqnarray*} x \approx \frac{ a^{2} }{2b} \end{eqnarray*}$

05.01.2016, 00:02

DrummerS

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Zitat:

Aufgabe 137

Bereich: Geometrie

Gegeben ist ein würfelförmiges Gefäß, welches auf einer Oberfläche steht.
Das Gefäß mit der inneren Kantenlänge $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist nach oben offen, d.h. die obere Seitenfläche fehlt.
Eine Vollkugel mit dem Durchmesser $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wird von oben in das Gefäß eingelassen und vollständig abgesenkt.
Anschließend wird Wasser in das freie Volumen des Gefäßes gefüllt, bis die maximale Füllhöhe (= $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ) erreicht ist.

Wie weit muss die Kugel nun wieder nach oben bewegt werden, um den Wasserfüllstand im Gefäß auf $\begin{eqnarray*} x/2 \end{eqnarray*}$ abzusenken?
Man nehme dazu an, dass dabei kein Wasser verschüttet wird.

30.03.2016, 16:42

Mathema

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Zitat:

Lösung zu Aufgabe 137:

Zunächst berechnen wir die Volumina (Würfel, Kugel, Rest):

$\begin{eqnarray*} V_{W}=x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{K}=\tfrac{4}{3}\pi(\tfrac{x}{2})^3=\tfrac{1}{6}\pi x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{R}=(1-\tfrac{\pi}{6})x^3 \end{eqnarray*}$

Das Restvolumen mit Kugelkappe soll laut Aufgabenstellung das halbe Würfelvolumen ergeben. Das ergibt folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} (1-\tfrac{\pi}{6})x^3+\tfrac{h^2\pi}{3}(3\cdot\tfrac{x}{2}-h)=\tfrac{1}{2}x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3-\tfrac{\pi}{6}x^3+\tfrac{h^2\pi x}{2}-\tfrac{h^3\pi}{3}=\tfrac{1}{2}x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x^3-\pi x^3+3h^2\pi x-2h^3\pi=3x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\pi h^3-3x^3+\pi x^3-3h^2\pi x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h^3-\tfrac{3}{2}xh^2+\tfrac{-3+\pi}{2\pi}x^3=0 \end{eqnarray*}$

Wir setzen x=1 und erhalten die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} h^3-\tfrac{3}{2}h^2+\tfrac{-3+\pi}{2\pi}=0 \end{eqnarray*}$

Wir suchen also eine passende Nullstelle für obige Funktion. Das erledigt Newton oder (leider) jeder neue TR mit solve-Funktion.

$\begin{eqnarray*} h \approx 0,128 \end{eqnarray*}$

Als Anhebung subtrahieren wir die Höhe der Kappe von der halben Seitenlänge des Würfels:

$\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{2}x-0,128x=0,372x \end{eqnarray*}$

30.03.2016, 17:00

Mathema

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Zitat:

Aufgabe 138

$\begin{eqnarray*} \vec{e_1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{e_2} \end{eqnarray*}$ bilden eine Orthonormalbasis.

a) Berechne die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}=x\cdot\vec{e_1}+\tfrac{1}{1+x}\vec{e_2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}=\tfrac{1}{1-x}\cdot\vec{e_1}+(x-1)\vec{e_2} \end{eqnarray*}$ so, daß sie senkrecht zueinander liegen.

b) Berechne den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{c}=\sqrt{2-y}\vec{e_1}+\vec{e_2} \end{eqnarray*}$ so, daß sein Betrag gleich $\begin{eqnarray*} y-1 \end{eqnarray*}$ ist.

04.08.2017, 18:56

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Lösung Aufgabe 137

a)

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1-x} +\frac{x-1}{1+x} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(1+x)+(x-1)(1-x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x=1 \end{eqnarray*}$

Lösung: $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

b)

$\begin{eqnarray*} | \vec{c} | =\sqrt{c_1^{2} +c_2^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2-y+1}=y-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2-y-2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2=-1 \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} y_2=-1 \end{eqnarray*}$ keine Lösung der Aufgabe ist

Lösung: $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$

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