Mathe-Marathon Schule

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Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
Mathe-Marathon Schule
Hi Leute,

ich möchte hier einen Mathe Marathon starten (für Schüler)
Alle Probleme sollten auf Schüler ausgelegt werden.
Die Regeln sind recht einfach, ich starte mit einem Problem und derjenige der die richtige Antwort gibt, stellt die nächste Aufgabe.

Die weiteren Regeln sind:

  • Nur Schulniveau
  • Schreibe zu deiner Aufgabe den Aufgabenbereich (Analysis, Geometrie, Algebra,...)
  • Die Aufgaben und die Lösungen sollen als "Zitat" geschrieben werden
  • Numeriere deine Aufgabe und deine Lösung
  • Es wird eine vollständige Lösung erwartet
  • Gebe nur deine Rechnung oder Lösung an und vermeide Kommentare
  • Benutze bitte


Ich fange dann mal an,

Zitat:
Aufgabe 1

Bereich: Analysis



Berechne .


Nun aber viel Spaß Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Lösung:



Zitat:
Aufgabe 2:

Bereich: Analysis

Für jedes reelle positive t ist die Funktion gegeben durch ;
ist das Schaubild von .

Die Ideallinie einer Rennstrecke wird beschrieben durch . Wegen der überhöhten Geschwindigkeit verlässt ein Rennwagen die Ideallinie tangential, fährt geradeaus weiter und kommt im Punkt zum Stehen.
In welchem Punkt könnte der Rennwagen die Ideallinie verlassen haben?
 
 
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Lösung: dann

Damit ergibt sich die Tangentenschar

Wegen folgt schließlich

Damit könnte der Rennwagen die Ideallinie im Punkt verlassen haben.


Zitat:
Aufgabe 3

Bereich: Geometrie

[attach]25531[/attach]

Das Quadrat habe die Seitenlänge . Man berechne den Flächeninhalt der gefärbten Fläche in Abhängigkeit von .
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Lösung:
Ich arbeite mit Kreissegmenten.




Alternativvorschlag:



Hier wird mit der Überlagerung des Inkreises und der Raute gearbeitet, deren Eckpunkte die Seitenmittelpunkte des Quadrats sind


Zitat:
Aufgabe 4

Bereich: Geometrie

[attach]25538[/attach]
Bestimme die kürzeste Verbindung zwischen Punkt A und B, die beide Geraden berührt. Es sollte eine Figur aus drei Strecken entstehen. Die Aufgabe muss nicht zwingend rechnerisch gelöst werden.


edit: Grafik verbessert
edit': Aufgabenstellung geändert
edit'': Tipp gegeben
edit Nr.x: Tipp entfernt und in separater Antwort gegeben.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Da hier sonst niemand antwortet, stelle ich mal eine reine Behauptung auf; ohne Beweis oder Zeichnung:

Die Strecken werden so gewählt, dass das gute alte Prinzip "Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel" erfüllt ist. Die beiden Einfallswinkel , in den beiden Geraden haben dabei die Beziehung , d.h. nur ein Winkel ist variabel (z.B. der, in dem man "von B auf die untere Gerade trifft"), es gibt also nur eine solcher Verbindungen, bei der beide Punkte getroffen werden.

Eine Skizze mache ich dazu aber wie gesagt nicht, auch keinen Beweis, da ich mir insbesondere nicht sicher bin, ob es vielleicht effektiver wäre, A, B und den Schnittpunkt der Geraden mit ihrem gemeinsamen Schwerpunkt zu verbinden.

Aber auf irgendeine Weise sollte das ja mal vorankommen Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Die Strecken werden so gewählt, dass das gute alte Prinzip "Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel" erfüllt ist.

In dem Zusammenhang sollte vielleicht mal das Wort "Spiegel" fallen. In der Geometrie werden ja ab und an auch gern Sachen gespiegelt. Augenzwinkern
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

TIPP: Man sehe sich das Problem von Heron mal genauer an. Auch möchte ich HAL 9000 in Erinnerung rufen:
Ansage
Zitat:
Original von HAL9000
In dem Zusammenhang sollte vielleicht mal das Wort "Spiegel" fallen. In der Geometrie werden ja ab und an auch gern Sachen gespiegelt.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

naja, außer konkurrenz Augenzwinkern
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Nahcdem die Aufgabe außer Konkurrenz gelöst wurde, habe ich hier eine neue Aufgabe:
Zitat:
Aufgabe 5
Bereich: Geometrie
[attach]25582[/attach]
Sei A der Mittelpunkt des Kreises, B, C und D Punkte auf seiner Kreislinie. Zu beweisen gilt es: Der Zentirwinkel , aufgespannt in A über B und C hat die doppelte Größe des Peripheriewinkels , gelegen in D, aufgespannt über B und C, in Formeln:
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Beweis dazu haben wir früher noch im normalen Schulunterricht gehabt. Augenzwinkern
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Wir auch Big Laugh
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

*Tippgeb*
Wir haben das noch über die Winkelsummen der Dreiecke bewiesen...
Ansonsten grüble ich schon mal an einer Nicht-Geometrie-Aufgabe... Big Laugh
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hier die Lösung zu Aufgabe 5

Zitat:

Lösung 5
[attach]25608[/attach]

Im Dreieck ACD gilt

Im Dreieck ABD gilt

Weiterhin gilt in ABD wegen der Gleichschenkligkeit:

Ich ersetze in ABD:

Gleichsetzen:

Daraus ergibt sich direkt



Neue Aufgabe:
Zitat:
Aufgabe 6

Ein Quadrat ABCD hat die Seitenlänge 8 cm. Trägt man von der Ecke C auf beiden anliegenden Seiten jeweils x-cm ab, so erhält man die Punkte P und Q. Für welchen x-Wert hat das Dreieck APQ den größten Flächeninhalt und wie groß ist dieser?

[attach]25609[/attach]
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aufgabe 6

Sei E der Schnittpunkt von AC mit PQ. Aus Symmetriegründen ist AEP kongruent zu AQE, darüberhinaus sind die Winkel AEP und PEC 90° groß. Dann ist
. Da außerdem ist, ist .
Der Flächeninhalt von AQP berechnet sich dann (wegen der Kongruenz der beiden Teildreiecke) durch . Der Extrempunkt dieser Funktion ist Hochpunkt.
Also und damit .
Der Flächeninhalt beträgt dann 32cm².

Es gibt noch nen anderen Ansatz, der irgendwie sogar naheligender ist, aber den hab ich erst jetzt gesehen...


Zitat:

Aufgabe 7

Bereich: Algebra (?)

Gegeben ist die Zahlenfolge 461, 40602, 4006003,... (Jede Zahl entsteht aus ihrem Vorgänger dadurch, dass links und rechts der mittleren sechs jeweils eine Null eingefügt wird und zur entstandenen Zahl 1 addiert wird.)
Wieviele Quadratzahlen enthält diese Folge? (mit Begründung)

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DP1996
Es gibt noch nen anderen Ansatz, der irgendwie sogar naheligender ist, aber den hab ich erst jetzt gesehen...

Die Flächenformel kann man auch schneller durch Differenzbetrachtungen aufstellen: Quadratfläche minus drei Dreiecksflächen

.

Und auch für die Maximumbildung dieser quadratischen Funktion braucht man noch keine Differentialrechnung, denn man muss ja nur den Scheitelpunkt der nach unten geöffneten Parabel finden:

mit Maximum bei . Augenzwinkern

War also durchaus eine Aufgabe, die schon für ca. Klasse 9 geeignet ist.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL
Das war auch mein Ansatz. Das Schwierigste an der Aufgabe war noch, auf die Zusammenhänge zu kommen, die eigentliche Rechnung ist dann schnell erledigt. Augenzwinkern

Ich muss aber sagen, dass mir der Lösungsweg von DP1996 auch gefallen hat. Freude
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von DP1996
Es gibt noch nen anderen Ansatz, der irgendwie sogar naheligender ist, aber den hab ich erst jetzt gesehen...

Die Flächenformel kann man auch schneller durch Differenzbetrachtungen aufstellen:


Genau das meinte ich.
srolle Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mich mal an Aufgabe 7 versucht. Bin/war mit Folgen nicht vertraut und bezweifel daher auch, dass es richtig ist, aber versuchen wollte ich es trotzdem mal. Wäre dankbar, wenn da einer nachhelfen würde, da ich leider auch keine Begründung liefern kann. unglücklich

Die Folge kann man zunächst mal formal als schreiben, somit ergibt sich . Um rauszufinden, wieviel Quadratzahlen sich in einem Intervall befinden, ziehen wir die Wurzeln der Intervallgrenzen und können daran die Quadratzahlen "abzählen".

Aus 1: folgt, dass zwischen 461 und 40602 sich 180 Quadratzahlen befinden. Wegen 1 und liegt die Vermutung nahe, dass die Folge Quadratzahlen besitzt.

srolle
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht eigentlich nicht darum, wieviel Quadratzahlen zwischen den Folgengliedern liegen, sondern wieviel Quadratzahlen die Folge selbst enthält. Und diese Antwort ist Null, was es natürlich noch nachzuweisen gilt, am besten über

.
Mork vom Ork Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Lösung:

Die Folge hat folgende explizite Darstellung:



Offenbar gilt also die Abschätzung



Jedes liegt also echt zwischen den Quadraten zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen und kann somit selbst nicht quadratisch sein.


Zitat:

Aufgabe:

Seien positive, reelle Zahlen.

Beweise folgende Ungleichung:


HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Mork

Es wäre natürlich günstiger gewesen, du hättest statt geschrieben, denn muss ja echt zwischen den beiden Quadratzahlen liegen, d.h. ohne Beinhaltung der beiden Grenzen!!! Und zumindest den rechten Teil



solltest du m.E. schon noch etwas besser begründen. Augenzwinkern
Mork vom Ork Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
@Mork

Es wäre natürlich günstiger gewesen...


Ja, das wäre in der Tat günstiger gewesen Hammer

Da hab ich gewohnheitsmäßig einfach \leq statt < getippt...


Wegen



ist der rechte Teil m.E. aber ebenso offensichtlich wie der linke.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem "offensichtlich" ist das immer so eine Sache: Viele Induktionsbeweise in der Schule widmen sich solchen Offensichtlichkeiten. In einer echten Klausur würde ich es deshalb jedenfalls nicht mit einer so gefährlichen Formulierung bewenden lassen - es gibt da in dieser Hinsicht humorlose Korrektoren. Augenzwinkern
Mork vom Ork Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aufgabe:

Seien positive, reelle Zahlen.

Beweise folgende Ungleichung:




Noch ne kurze Anmerkung:

Zwar kann man diese Ungleichung auf verschiedene bekannte Ungleichungen (AM-GM-HM, Cauchy-Schwarz, etc.) zurückführen - es geht aber auch vollkommen elementar!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Trotzdem sollten sich Leute, die die Ungleichung über AMHM bzw. CSU gelöst haben, nicht davon abschrecken lassen, dass Mork gern eine andere Lösung sehen will. Zumindest ich halte auch diese Ungleichungen für elementar genug. Augenzwinkern
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aufgabe 8:

Seien positive, reelle Zahlen.

Beweise folgende Ungleichung:




Ganz elementar

Zitat:

Lösung 8:









Also:




Genauso:


und




Alles zusammen:


Folglich



Zu zeigen, dass die rechte Seite 3 ist, hab ich mir mal gespart. Wenn mans noch sehen will...?!


Zitat:

Aufgabe 9:
An der Geburtstagsfeier wird das noch nicht 100-jährige Geburtstagskind von einem Freund gefragt:
"Wieviele Kinder hast du?" Das Geburtstagskind antwortet: "Die Anzahl meiner Enkelkinder
ist gleich gross wie mein Alter. Jeder meiner Söhne hat gleich viele Brüder
wie Kinder und jede meiner Töchter hat gleich viele Schwestern wie Kinder."
Der Freund beginnt zu rechnen, dann antwortet er: "Du hast mir
noch nicht genügend Angaben gemacht, damit ich die Anzahl deiner Kinder herausfinden kann."
"Das ist richtig", bestätigt der Gefeierte, "aber wenn ich dir sage, dass ich mehr Söhne
als Töchter habe, so besitzst du alle Angaben, diedu benötigst."

Wie alt ist der Jubilar?
Wieviele Söhne und Töchter hat er?
Mork vom Ork Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester

Zu zeigen, dass die rechte Seite 3 ist, hab ich mir mal gespart. Wenn mans noch sehen will...?!



Ne, lass mal stecken - das passt schon. Freude

Anders aufgeschrieben:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
"Das ist richtig", bestätigt der Gefeierte, "aber wenn ich dir sage, dass ich mehr Söhne
als Töchter habe, so besitzst du alle Angaben, diedu benötigst."

Für den Freund, der die Fragen stellt, mag die Sache nach der Fragerunde eindeutig geklärt sein - er kennt ja sicher das Alter des Jubilars, dessen Geburtstag er besucht.

Für den Lösenden ohne diese Alterskenntnis ist das nicht unbedingt der Fall. Z.B. wäre nach den Angaben auch ein 144 Jahre alter Jubilar möglich (im alten Testament kein Problem), mit 12 Söhnen und 4 Töchtern. Ich denke, dir schwebt eine andere Lösung vor, vermutlich mit plausibler Altersobergrenze des Jubilars. smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Es gab ja mal eine Studie, bei der Grundschülern u.a. die Frage "Ein Bienenzüchter hat 5 Bienenkörbe mit jeweils 80 Bienen. Wie alt ist der Bienenzüchter?" gestellt wurde. Da haben nicht wenige mit 400 Jahren geantwortet Big Laugh
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal: Das hatte ich ignoriert Ups .
Für diejenigen, die schon in der Zukunft weilen (wo wohl das Alter auch 144 und mehr
sein kann) hab ich das noch präzisiert.
Danke.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Für diejenigen, die schon in der Zukunft weilen (wo wohl das Alter auch 144 und mehr
sein kann)

oder eben in der (mythologischen) Vergangenheit, daher ja mein Verweis aufs alte Testament, wo ja manche Gestalten über 900 Jahre alt wurden. Und die Kinderzahl passt auch zu diesen Leuten. Big Laugh
Mork vom Ork Auf diesen Beitrag antworten »

Hmh, sicher übersehe/missverstehe ich da irgendetwas aber nach meinem gegenwärtigen Verständnis gibt es keine eindeutige Lösung, da der Jubilar z.B.:

8 Söhne und 6 Töchter also 86 Enkel oder vielleicht
9 Söhne und 3 Töchter also 78 Enkel haben könnte.

verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre dem so, wüsste der Freund sofort bescheid...er aber ist unsicher und besteht
auf einen weiteren Hinweis...
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Lösung 9:

Die Anzahl der Enkelkinder berechnet sich durch , wobei b die Anzahl aller Brüder und s die Anzahl aller Schwestern ist (Jeder der b Brüder hat b-1 Brüder und dementsprechend b-1 Kinder).
Die Tatsache, dass das Geburtstags"kind" weiß, dass seine Angaben nicht ausreichen, impliziert, dass es ein zweites, von (b,s) und (s,b) verschiedenes Zahlenpaar (b',s') geben muss so, dass . Die Angabe "ich besitze mehr Söhne als Töchter" macht nur Sinn, wenn entweder oder gilt (andernfalls kann man ggf. durch Umbenennung der Variablen dafür sorgen, dass und ist und hat wieder zwei verschiedene Lösungen).

Sei also .
Es ergibt sich dann für
c=1: z=0
c=2: z=4
c=3: z=12
c=4: z=24
c=5: z=40
c=6: z=60
c=7: z=84
c=8: z>100, fällt also weg

und für (bzw. ):
b=1: t=0
b=2: t=2
b=3: t=6
b=4: t=12
b=5: t=20
b=6: t=30
b=7: t=42
b=8: t=56
b=9: t=72
b=10: t=90
b=11: t>100, fällt also weg.

Nun nimmt man zwei verschiedene t aus der letzten Liste, und prüft, ob ob deren Summe ein z in der oberen Liste ist. Dies ist nur bei b=4 und b=9 der Fall, die Rechnungen hinzuschreiben hab ich mir mal gespart. Wegen b>s hat der Jubilar also 9 Söhne und 4 Töchter, ist dementsprechend 84 Jahre alt.


Ich warte aber lieber noch, bis mir das einer bestätigt, da ich mir da nicht so ganz sicher bin.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Mir hätte zwar eine weniger formellastige Ausführung gereicht, aber umso besser Big Laugh .

Your turn Freude .
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Hätte es für die Aufgabe 9 eigentlich noch eine Lösung gegeben, die ohne das Durchprobieren aller (sinnvollen) Möglichkeiten auskommt?

Zitat:

Aufgabe 10

5 Mafiosi treffen sich in der Nacht auf einem Platz. Sie sind alle verschieden weit voneinander entfernt. Um Punkt zwölf gibt jeder einen Schuss auf den ihm am nächsten stehenden Gangster ab und trifft ihn tödlich. Zeige, dass mindestens einer der Mafiosi überlebt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dabei wird aber wohl vorausgesetzt, dass es keine gleichen Werte unter den diversen Gangsterentfernungen gibt, d.h., der "am nächsten" stehende Gangster soll jeweils eindeutig klar sein? Ansonsten wäre ja das Szenario "regelmäßiges Fünfeck" denkbar, und jeder schießt auf den Nachbar zu seiner linken...

EDIT: Wer lesen kann... es steht ja da. Freude


EDIT2: Die Aufgabe lässt sich auch prima auf Gangster erweitern ist dann (vielleicht) sogar einfacher lösbar. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verjünge mich mal um einige Jahrzehnte, damit ich dann anschließend auch eine Aufgabe unters Volk bringen kann, eine hoffentlich zugänglichere.

Zitat:
Lösung Aufgabe 10:

Wir weisen folgende Verallgemeinerung durch vollständige Induktion über nach, gültig für alle :

Zitat:
A(n): Es treffen sich (2n+1) Mafiosi, alle paarweise verschieden voneinander entfernt. Um Punkt zwölf gibt jeder einen Schuss auf den ihm am nächsten stehenden Gangster ab und trifft ihn tödlich. Dann überlebt mindestens einer der Mafiosi.

Induktionsanfang : ist zweifelsohne richtig, der eine Mafiosi überlebt, da überhaupt nicht geschossen wird.

Induktionsschritt für : Unter allen paarweisen Entfernungen suchen wir die kleinste heraus, die beiden Mafiosi an den Endpunkten dieser Strecke stecken wir in die Menge , die restlichen Mafiosi in die Menge . Dann schießen die beiden Mafiosi aus auf den jeweils anderen, d.h. sie schießen NICHT auf jemanden aus . Auf die Menge wenden wir nun die Induktionsvoraussetzung an und stellen fest, dass mindestens einer aus überlebt. Nun überlebt dieser eine aber auch im Gesamtszenario , da dort beim Übergang von Schussszenario zu zwar möglicherweise einige Schützen aus ihr Ziel auf einen aus lenken, aber es gibt keine Zieländerungen innerhalb von bzw. (wie schon festgestellt) gar Schüsse von nach , womit der Induktionsschritt komplett ist.



Ok, jetzt kommt mal die unterrepräsentierte Geometrie zu Wort. Und zwar in einer Aufgabe, die ein wenig das räumliche Vorstellungsvermögen anregt:

Zitat:
Aufgabe 11:

Das Bild stellt den Grundriss eines Körpers in senkrechter Eintafelprojektion sowie den dazu gehörigen Höhenmaßstab dar. Dabei ist der Mittelpunkt von .

[attach]25680[/attach]

Zeige, dass es mindestens zwei ebenflächig begrenzte Körper mit unterschiedlichem Volumen gibt, die diesen Grundriss, diesen Höhenmaßstab und genau die hierdurch festgelegten Punkte als Eckpunkte haben!

Als Lösung genügt die Aufzählung von (mindestens zwei) Körpern der verlangten Art durch folgende Angaben: Jeweils eine Aufzählung seiner sämtlichen Seitenflächen (in der Schreibweise, das dasjenige ebene Vieleck bezeichnet, das genau die Ecken hat, die bei einer Umlaufung in dieser Reihenfolge erreicht werden) und eine Berechnung des Volumens des Körpers in Abhängigkeit von der gegebenen Länge .
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

darf man fragen, ob dies eine möglichkeit ist:

verwirrt
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte nochmal deutlich darauf hinweisen das hier ausschleißlich Aufgaben aus dem schulischen Bereich und Alltag gepostet werden sollen. Der Thread driftet meiner Ansicht nach viel zu stark in den Hochschulbereich ab. Es dürfen genau so gut Aufgaben gepostet werden, die ein schlechter GK Schüler lösen kann.

Alleine durch die Tatsache das sollche Aufgaben gepostet werden nimmt die rege Teilnahme in diesem Thread stark ab.
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