Mathe-Marathon Uni |
17.08.2012, 02:33 | Cheftheoretiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mathe-Marathon Uni ich möchte hier einen Mathe Marathon starten (für studierende) Alle Probleme sollten auf studierende ausgelegt werden. Die Regeln sind recht einfach, ich starte mit einem Problem und derjenige der die richtige Antwort gibt, stellt die nächste Aufgabe. Die weiteren Regeln sind:
Ich fange dann mal an,
Nun aber viel Spaß |
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17.08.2012, 02:50 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Mathe Marathon - Uni Na dann fangen wir mal an
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17.08.2012, 10:01 | chris95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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17.08.2012, 12:34 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man hätte übrigens auch argumentieren können, dass der Integrand beschränkt ist und die Intervalllänge gegen Null geht.
Geht das als Mehrfachintegration durch? Naja, entsprechend des Vorschlags hier warte ich auf die Bestätigung, bevor ich mir die nächste Aufgabe überlege. |
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17.08.2012, 12:50 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der "übliche" Weg sieht jedenfalls so aus
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17.08.2012, 20:56 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Che Netzer Der entstandene Deadlock sollte m.E. dadurch aufgelöst werden, dass du weiter machst - wie ich Mystic kenne, wird er da nichts dagegen haben. (Es gibt zwar einige wacklige Stellen in deinem Rechengang, die das ganze aber nicht wesentlich beeinträchtigen.) |
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17.08.2012, 22:18 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, dann geht es weiter, diesmal keine Analysis:
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18.08.2012, 11:45 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber mal ne Frage: Bis jetzt sind das alles so "Standardaufgaben" aus den jeweiligen Vorlesungen. Wer die entsprechende Vorlesung gehört hat, dem hängt diese Aufgabe mit Sicherheit schon zum Halse raus. Wie wärs, wenn man eher versucht, Aufgaben zu finden, bei denen man nicht einfach sagen kann: Ok, das war Vorlesung x Kapitel y Satz z, ich erinnere mich... Das ist leichter gesagt als getan, aber vielleicht kann man es ja versuchen. Ich versuch mal sowas hier und hoffe, dass ich meinen eigenen Ansprüchen einigermaßen gerecht werden kann.
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18.08.2012, 14:17 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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18.08.2012, 14:49 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schöne Lösung, ich hatte eine ähnliche, aber doch etwas andere im Sinn.
Da jester. gerade online ist, warte ich noch ab, bis er die Lösung bestätigt, bevor ich mir was neues ausdenke (vielleicht brauch ich auch nur ne Ausrede für mehr Zeit ) |
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18.08.2012, 14:53 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jo, das passt so |
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18.08.2012, 15:27 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann mal so weiter:
PS: Bin heute wahrscheinlich nicht mehr online. Wenn also jemand die Lösung postet, kann er ja einfach mal weitermachen. Falls sich doch irgendein Fehler einschleicht, gibt es bestimmt genug Leute hier, die das bemerken würden |
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18.08.2012, 15:59 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir betrachten die Partialsummen für , dabei ist die "leere" Summe gemeint. Nach Schubfachprinzip liegen mindestens zwei dieser Werte in derselben Restklasse modulo , sagen wir und mit . Dann wählen wir noch und sind wegen fertig. |
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18.08.2012, 16:16 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ging so schnell, dass ich doch noch Zeit habe, zu antworten. Dann mal weiter. |
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18.08.2012, 16:18 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Leider wird bisweilen das Gegenteil erzählt, was daran liegt, dass man da leichtfertigerweise davon ausgeht, dass automatisch zweidimensional normalverteilt ist. |
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18.08.2012, 16:43 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Siehe Unkorreliertheit + Normalverteilung = Unabhängigkeit - Herleitung Das dürfte eine zwar richtige, aber unzulässige Antwort sein. Ich überlasse es deshalb HAL, eine weitere Aufgabe zu stellen. |
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18.08.2012, 16:49 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum "unzulässig"? Bitte weitermachen! |
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18.08.2012, 17:23 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Unzulässig, weil meine einzige Leistung darin bestand, mich an den Thread zu erinnern und ihn wiederzufinden. Aber okay:
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18.08.2012, 18:05 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Offenbar will keiner bzw. sind alle noch baden: Die Substitution ergibt , beide Terme summiert kommt man zu , also . Jetzt etwas, was hoffentlich noch nicht hier im Board war:
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19.08.2012, 09:55 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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19.08.2012, 10:37 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gelöst ist gelöst - feine Leistung! Die Lösung die ich kenne, ist in weiten Teilen deckungsgleich, nur folgende Abkürzung will ich vielleicht noch nennen: Unter den Zahlen seien genau der 9 Restklassen modulo 9 vertreten. Dann gibt es, wenn wir zwei verschiedene dieser Restklassen auswählen, genau mögliche Summen. Ist nun , dann liegen wegen nach Schubfachprinzip zwei dieser Summen in derselben Restklasse modulo 9, d.h. . Man kann sich noch kurz überlegen, dass dann aus sämtlich verschiedenen Restklassen modulo 9 stammen und somit so ein Quadrupel gefunden ist. Wenn es kein solches Quadrupel geben soll, muss folglich sein, was zusammen mit diesen Überlegungen
bedeutet. |
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19.08.2012, 14:50 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, danke für die Abkürzung. Dann machen wir mal so weiter:
Die Aufgabe ist bestimmt manchen bekannt, vielleicht lasst ihr dem "Rest" ein bisschen Zeit sich auszutoben. |
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20.08.2012, 17:30 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hoffe, es war genug Zeit, um sich auszutoben... Hier also meine
Edit: Danke an HAL und carm561 (s.u.) für den Hinweis auf 2 Schreibfehler... |
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20.08.2012, 17:40 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich erlaube mir mal, die eine im Copy+Paste-Rausch entstandene Gleichung zu zu korrigieren, was natürlich nichts zum Einsturz bringt. |
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20.08.2012, 17:46 | carm561 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich glaube, dass es bei der Begrüdung von 2(q-1)=3p-1 heißen muss, dass q-1=3p-1 auf q=3p führt und q prim sein soll. Erst recht keine Einsturzgefahr |
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20.08.2012, 17:50 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@HAL Ich hab da zwar nicht mit Copy-Paste gearbeitet, sondern mich schlicht verrechnet, aber danke für diese Berichtigung... @Carm561 Ja, danke, natürlich ebenfalls richtig... Soll jetzt keine Entschuldigung sein, aber muss mich extrem beeilen, weil mein Computer bei der Hitze dauernd abstürzt... |
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20.08.2012, 18:01 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Trotz der 2 Schönheitsfehler sage ich jetzt einfach mal, dass die Aufgabe als von Mystic gelöst gilt, sodass seine Aufgabe 12 aktuell ist. |
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20.08.2012, 18:08 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, die Bezeichnung "Schönheitsfehler" halte ich ich jetzt fast für eine Übertreibung, nachdem es sich in beiden Fällen um offensichtliche Flüchtigkeitsfehler handelt... Die Frage ist nur, ob ich sie oben rauseditieren soll für eventuelle spätere Bezugnahmen? Edit: Ok, ich mach das mal, da es ja wirklich nur Schreibfehler sind... |
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20.08.2012, 18:27 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Um mal zu sehen, ob ich die neue Aufgabe richtig verstanden habe:
Das ist nun nach WolframAlpha , da die Reihe nach der Substitution keine Stammfunktion mehr von darstellt. (nur, wenn man nach integrieren würde) Die einzelnen Rechenschritte hätte ich aber genau so interpretiert, allerdings irritiert mich, dass du in b) meintest, man solle integrieren und nicht einfach die Werte einsetzen. War das so gemeint? |
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20.08.2012, 18:30 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Mystic: Ja, deswegen ist die Aufgabe ja auch gelöst Daran, dass das nur Flüchtigkeitsfehler waren, habe ich nie gezweifelt. Lösung Aufgabe 12 Ich hoffe, dass die Aufgabe so gemeint war: Wenn man zunächst mal die Schritte a) und b) stur ausführt, kommt man zu , was noch weiter zu vereinfachen ist... Daher machen wir mal Bezeichnungen: , . Die Def. des Binomialkoeffizient liefert: Partielle Integration liefert: , also Insgesamt folgt: mit dem Startwert . Ausnutzung der Teleskopstruktur führt dann zu: , sodass wir die Reihe erhalten. |
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20.08.2012, 18:44 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@tmo Ja, sehr elegant gelöst! @Che Netzer Die Hochzahl war -1/2... Und ja, nochmals integrieren nach t... |
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20.08.2012, 18:47 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Schalk im Nacken sagt mir, dass auch gegen die Lösung kaum was einzuwenden wäre. |
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20.08.2012, 18:49 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, allerdings wollte ich ausdrücklich die Reihe, nicht den Reihenwert berechnet haben... |
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20.08.2012, 18:53 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich gebe zu, in der Hinsicht ist deine Aufgabe kaum exakt formulierbar, da du implizit voraussetzt (aber nicht sagst), dass man die Integration in die Reihe hineinzieht und du genau dann diese Reihe haben willst ... wenn man den ganzen Zinnober so exakt formuliert, ist der Spaß lange vorbei. P.S.: Doch, mit einer Taylorapproximation n-ter Ordnung statt der ganzen binomischen Reihe in b) hätte man doch deutlicher draufhinwirken können, was man für eine Reihe (in dem Fall dann Summe) man erwartet. |
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20.08.2012, 19:01 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann machen wir mal mit elementarer Algebra weiter:
PS: Nochmal zu der letzten Aufgabe: Das bedeutet ja, wenn man noch die Vertauschung sauber begründet, ist das ja insbesondere ein Beweis von Dass die Bernoullis darauf damals nicht gekommen sind... |
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20.08.2012, 22:38 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist jetzt sicher nicht der eleganteste Weg, aber ich denke, so sollte es jedenfalls gehen:
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21.08.2012, 07:27 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gelöst Den Vektorraumansatz folgend, könnte man vielleicht mit , da , schneller argumentieren. Wie folgender Ansatz, den ich noch zeigen will, basieren unseren beiden Ansätze darauf, dass man sich irgendein Element sucht, dass man mal mit sich selbst verknüpft: Wie schon bei dir sei die Untergruppe der Elemente der Ordnung höchstens 2. Wir fixieren ein bel. und setzen . Ist ein Repräsentantensystem der Nebenklassen von U, so gilt , also Naheliegend wäre nun den Beweis durch bzw. zu beenden. Man kann sich aber auch einfach mal mit der Folgerung begnügen, denn weil beliebig war, folgt , wobei der Schnitt wegen nur enthält... Aufgabe 14 bitte |
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21.08.2012, 07:38 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, dann zur Abwechslung mal etwas leichtere Kost...
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21.08.2012, 08:34 | Alive-and-well | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Einer muss ja mal ne falsche Lösung posten, also mach ich das mal xD
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21.08.2012, 08:41 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die eine Gleichheit, welche ich mit einem Fragezeichen versehen habe, ist mir nicht klar... |
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