Extrema von Funktionen mit mehr als einer veränderlicher

17.08.2012, 09:43	CrazyAndi	Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema von Funktionen mit mehr als einer veränderlicher Guten Morgen, hänge soeben an einer Übungsaufgabe fest. Aufgabenstellung: Man bestimme Lage, Art und Höhe der relativen Extrema in Abhängikeit von a,b,c (reelle Zahlen >0) f(x,y)= $\begin{eqnarray} \frac{a}{x}+ \frac{b}{y}+cxy \end{eqnarray}$ Zuerst leite ich nach x und nach y ab: fx (x,y) = $\begin{eqnarray} cy-\frac{a}{x^{2} } \end{eqnarray}$ --> y= $\begin{eqnarray} \frac{a}{x^{2}c } \end{eqnarray}$ fy (x,y) = $\begin{eqnarray} cx-\frac{b}{y^{2} } \end{eqnarray}$ --> x= $\begin{eqnarray} \frac{b}{y^{2}c } \end{eqnarray}$ Ab diesem Punkt hänge ich, wie ist weiter zu verfahren.
17.08.2012, 10:20	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja,Du weißt jetzt wann die partiellen Ableitungen null werden. Wir wollen jetzt alle Punkte (x,y) finden für die $\begin{eqnarray} y = \frac{a}{x^{2}c } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \frac{b}{y^{2}c } \end{eqnarray}$ Setze doch mal die zweite in die erste Gleichung ein, dann bekommst Du die Möglichkeiten für y. Dann musst Du nur noch die Möglichkeiten für x bestimmen.
17.08.2012, 11:56	CrazyAndi	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die schnelle Antwort! Die Lage der Punkte, sowie die Höhe habe ich nun berechnet und auch richtig. (habe die Lösungen) Nun hänge ich bei der Bestimmung der Art der Extrema. f(x,x)= $\begin{eqnarray} \frac{2a}{x^{3} } \end{eqnarray}$ f(x,y)=c f(y,y)= $\begin{eqnarray} \frac{2b}{y^{3} } \end{eqnarray}$ daraufhin erstelle ich eine Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{2a}{x^{3} } & c \\ c & \frac{2b}{y^{3} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ D= $\begin{eqnarray} \frac{4ab}{x^{3} y^{3} }-c^{2} \end{eqnarray*}$ Lediglich wenn die größer ist als 0 kann ich zwischen max und min entscheiden soweit ich weiß. Kann ich das nun weiter vereinfachen bzw. rechnen oder ist hier Schluss?
17.08.2012, 12:49	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier findet sich die exakte Beschreibung wann lokale Extrema vorliegen. Die Determinante ist im Allgemeinen nicht hinreichend für eine Entscheidung. Etwa haben die Matrizen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0& -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die gleiche Determinante, die erste beschreibt jedoch einen Hochpunkt und die zweite einen Tiefpunkt.

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