Übungsaufgabe zu Stetigkeit

17.08.2012, 12:18

user258

Übungsaufgabe zu Stetigkeit

hallo,
habe gerade probleme bei einer übungsaufgabe zur stetigkeit.

Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x): \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = |\lambda - 1 + x| \end{eqnarray*}$ für x <= 0
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{sin(\lambda x)}{x} \end{eqnarray*}$ für x > 0

Bestimmen sie $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ so, dass f an der stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ stetig ist.

angefangen hab ich mit der definition der stetigkeit.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt 0 auf der echten seite einsetze bekomme ich: $\begin{eqnarray*} f(0) = |\lambda - 1| \end{eqnarray*}$

und für die linke seite $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} |\lambda-1+x| = \lambda-1 \end{eqnarray*}$

ich hoffe, dass meine schritte bis hier mal richtig sind.

aber ich komme einfach nicht drauf, wie ich jetzt $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmen soll. Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

17.08.2012, 12:36

shipwater

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RE: Übungsaufgabe zu Stetigkeit
Du hast bisher schon $\begin{eqnarray*} f(0)=\lim_{x \to 0^-} f(x)=|\lambda-1| \end{eqnarray*}$ bestimmt. Bestimme nun noch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} f(x) \end{eqnarray*}$ und setze die Ausdrücke anschließend gleich.

Gruß Shipwater

17.08.2012, 13:39

user258

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danke schonmal für die hilfe.

also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} \frac{sin(\lambda x)}{x} = \lim_{x \to 0^+} cos(\lambda x)* \lambda = \lambda \end{eqnarray*}$

und wenn ich jetzt gleich setzte:
$\begin{eqnarray*} \lambda - 1 = \lambda \end{eqnarray*}$

dann fällt $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ raus und ich hab -1=0 ??

17.08.2012, 13:47

klarsoweit

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RE: Übungsaufgabe zu Stetigkeit

Zitat:

Original von user258
und für die linke seite $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} |\lambda-1+x| = \lambda-1 \end{eqnarray*}$

Warum läßt du da einfach die Betragsstriche weg? verwirrt

17.08.2012, 13:53

user258

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naja weil ich den limes berechnet hab. ich dachte man lässt den betrag dann weg.

17.08.2012, 13:59

klarsoweit

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RE: Übungsaufgabe zu Stetigkeit
So? Dann ist also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} |x - 4| = 0 - 4 = -4 \end{eqnarray*}$ ?

17.08.2012, 14:15

user258

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ähhmm ne es ist 4 ^^ ok dann gehören die betragsstriche doch hin.

dann muss die gleichung aber so aussehen:
$\begin{eqnarray*} |\lambda -1| = \lambda <br /> (\lambda-1)^2 = \lambda^2<br /> \lambda^2-2 \lambda+1 = \lambda^2<br /> \lambda = 0,5<br /> \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

17.08.2012, 14:34

shipwater

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Ja das stimmt.

17.08.2012, 14:36

klarsoweit

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Allerdings sollte man auch die Probe machen, da in der Rechung teilweise keine Äquivalenzumformungen drin waren. smile

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