Alternative Definition Stetigkeit

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Teilmengenmännchen Auf diesen Beitrag antworten »
Alternative Definition Stetigkeit
Hi,
ich hab mich jetzt viel mit Stetigkeit beschäftigt, würde folgende Definition die Stetigkeit beschreiben?



für f:X->Y Funktion mit X,Y aus R

mfg
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alternative Definition Stetigkeit
Hallo,

so ergibt das keinen Sinn: Du sagst, es gibt ein , und danach ist es plötzlich variabel.

Die letzte Gleichung ist schon besser:
,
wobei man meist gegen laufen lässt.
Gilt diese Gleichung, ist in (bzw. ) stetig.

mfg,
Ché Netzer
 
 
Teilmengenmännchen Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt,
habs nochmal überarbeitet:



danke, jetzt hab ich es verstanden Freude
Simmi Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst den Betrag auch weglassen.

Üblicherweise definiert man Stetigkeit ja erstmal nur in einem Punkt und sagt die ganze Funktion ist stetig wenn sie in jedem Punkt stetig ist. Insofern muss man eben nur eine der üblichen Definitionen der Stetigkeit nehmen (Du hast dich hier offensichtlich für Folgenstetigkeit entschieden) und dann einen Allquantor der über alle Punkte, die auf Stetigkeit überprüft werden sollen, geht, davor zu stellen.
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Man beachte, dass dafür Häufungspunkt von sein muss.

Gruß Shipwater
Simmi Auf diesen Beitrag antworten »

@ shipwater

Was meinst du genau damit? Stetigkeit ist doch auch in isolierten Punkten definiert.
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

@ Simmi:

Nehmen wir und . Dann ist stetig in aber der Grenzwert ist nicht definiert und damit auch nicht gleich .

Gruß Shipwater
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

shipwater hat recht, dass der grenzwert gegen isolierte punkte nicht definiert ist; aber simmi hat auch recht dass man normalerweise funktionen in isolierten punkten als dort stetig definiert. lg
Simmi Auf diesen Beitrag antworten »

@ shipwater

Dieser Grenzwert ist nach den mir bekannten Definitionen sehr wohl definiert. Man betrachtet dazu alle Folgen aus dem Definitonsbereich die gegen konvergieren. Das wären in diesem Fall eben alle Folgen die irgendwann nur noch konstant sind. Diese Folgen wiederrum definieren jeweils eine Folge , für welche jeweils gilt:
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mal deine Definition des Grenzwertes angeben? Ich ging vom traditionellen Grenzwertbegriff von Weierstraß aus.

Gruß Shipwater
Simmi Auf diesen Beitrag antworten »

Aha! Wikipedia klärt über die Veschiedenen Definitionen auf. Es ist also letztendlich wieder nur eine Definitionsfrage.

Meine Definition lautet:

metrische Räume,

aus mit
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Jop dann verwendest du den modernen Grenzwertbegriff und ich den traditionellen. Die Frage ist aber welchen Grenzwertbegriff Teilmengenmännchen benutzt. Mich würde auch mal eine Umfrage interessieren wer welchen Grenzwertbegriff benutzt. Meiner Meinung nach ist der "moderne Grenzwertbegriff" nämlich nicht sehr stark verbreitet, aber da kann ich mich auch völlig irren. Augenzwinkern

Gruß Shipwater
Teilmengenmännchen Auf diesen Beitrag antworten »

Also den Grenzwert hätte ich genauso wie Simmi definiert nur ohne metrische Räume.

Aber wir haben auch definiert das der links- und rechtsseitige Grenzwert mit dem Limes übereinstimmen muss (dass wäre aber bei isolierten Punkten nicht definiert ??)

Also wäre meine Definition nur für Häufungspunkte definiert?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt darauf an, in welchem Zusammenhang du die Definition anbringst.
Wenn ihr den Grenzwert auch für isolierte Punkte definiert habt, ist deine Definition völlig in Ordnung. Habt ihr das nicht getan, solltest du in der Definition fordern, dass ein Häufungspunkt ist.

Möchtest du die Definition irgendwo angeben, wo der Grenzwert nicht definiert wurde (im Prinzip also fast überall außerhalb der Vorlesung), solltest du noch irgendeine Bemerkung liefern, wie dieser Grenzwert zu verstehen ist.
Wenn du auf diese Bemerkung verzichtest, sollte aus dem Kontext klar sein, was gemeint ist. Z.B. könnte auf einer offenen Menge definiert sein (dann ist die Unterscheidung (in mit Standardmetrik) hinfällig).
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