Mittlere Mantelfläche herleiten

17.08.2012, 13:55

Thomate

Mittlere Mantelfläche herleiten

Meine Frage:
Hallo,stecke echt fest im Moment.
Gegeben ist ein Rohr (Hohlzylinder) mit Innenradius r1=5cm und Außenradius r2=12cm. Wie groß ist die mittlere Mantelfläche, wenn das Rohr 50 cm lang ist?

Meine Ideen:
Also ich weiß, dass die Mantelfläche bei einem bestimmen Radius sich mit A(r) = 2*pi*r*L berechnet. Aber die Fläche ist nicht einfach gleich (Aussenfläche+Innenfläche)/2. Und hier komme ich nicht weiter...

19.08.2012, 10:52

system-agent

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Zunächst einmal, was willst du nun genau wissen? Ist es die Mantelfläche oder die "mittlere Mantelfläche", wobei du mir für letzteres noch sagen musst, was damit genau gemeint ist.

Wenn es um die Mantelfläche geht:
Es ist einerseits die Innenfläche und die Aussenfläche auszurechnen und zu addieren. Dann kommt noch zweimal dazu die "Stirnfläche". Diese sieht aus wie ein Kreisring.
Um diese Fläche zu berechnen, berechne die Fläche eines Kreises mit Radius $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ und ziehe davon die Fläche eines Kreises mit Radius $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ ab.

20.08.2012, 13:32

Thomate

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Hallo, nein ich meine nicht die Mantelfläche, und auch nicht das arithmetische Mittel der Innen- und Außenfläche des Hohlzylinders. Stell dir einen Wärmedurchgang durch eine normale Wand vor. Da ist die mittlere Fläche, mit der gerechnet wird, wirklich das arithmetische Mittel (A1+A2)/2. Jetzt nimm statt der Wand den Hohlzylinder. Außen ist viel mehr Fläche, also muss sich die mittlere Fläche nach außen verschieben. Das Ergebnis ist dann quasi der Ersatzwert, mit welchem der Wärmeübergang weitergerechnet wird.

20.08.2012, 15:52

system-agent

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Das ist ja alles schön und gut, aber das erklärt trotzdem nicht mathematisch sauber was nun die "mittlere Fläche" ist. Sauber erklären heisst, dass du eine Formel dafür angibst.

21.08.2012, 11:09

Thomate

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Darum geht es ja, ich kann die Formel nicht herleiten. Ich hätte selbst gedacht, die mittlere Fläche ist einfach $\begin{eqnarray*} A_{mittel} = \frac{1}{R_2-R_1}\int_{R1}^{R2} \! A(r) \, dr \end{eqnarray*}$ Das kann nicht sein, weil damit die mittlere Fläche auf halbem Radius wäre, aber weiter außen liegen muss.
Ich habe im Buch "Wärme- und Stoffübertragung" für die mittlere Fläche aber diese Formel gefunden: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{A_{mittel}} = \frac{1}{R_2-R_1}\int_{R1}^{R2} \! \frac{1}{A(r)} \, dr => A_{mittel} = \frac{A_2-A_1}{ln(\frac{A_2}{A_1})} \end{eqnarray*}$

Damit könnte ich rechnen, aber ich kann das Integral nicht nachvollziehen... Da stecke ich fest. Warum stehen die Flächen im Nenner und nicht im Zähler, wie ich es gedacht habe?

21.08.2012, 15:01

system-agent

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Zitat:

Original von Thomate
Damit könnte ich rechnen, aber ich kann das Integral nicht nachvollziehen... Da stecke ich fest. Warum stehen die Flächen im Nenner und nicht im Zähler, wie ich es gedacht habe?

Es wird die mittlere Fläche $\begin{eqnarray*} A_m \end{eqnarray*}$ definiert als
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{A_m}=... \end{eqnarray*}$
und nicht als
$\begin{eqnarray*} A_m=... \end{eqnarray*}$

Das heisst konkret umgeformt:
$\begin{eqnarray*} A_m=\frac{r_2-r_1}{\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{1}{A(r)}\dd r} \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht hast du auch gedacht, dass
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{1}{A(r)}\dd r=\frac{1}{\int\limits_{r_1}^{r_2}A(r)\dd r} \end{eqnarray*}$
gilt, aber das ist nicht der Fall. Davon kannst du dich zum Beispiel anhand von $\begin{eqnarray*} r_1=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} r_2=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A(r)=r \end{eqnarray*}$ überzeugen. Das eine Integral ergibt $\begin{eqnarray*} \log(2) \end{eqnarray*}$ und das Andere aber $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ , also nicht dasselbe.

21.08.2012, 15:36

Thomate

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Zitat:

Original von system-agent

Es wird die mittlere Fläche $\begin{eqnarray*} A_m \end{eqnarray*}$ definiert als
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{A_m}=... \end{eqnarray*}$
und nicht als
$\begin{eqnarray*} A_m=... \end{eqnarray*}$

Das heisst konkret umgeformt:
$\begin{eqnarray*} A_m=\frac{r_2-r_1}{\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{1}{A(r)}\dd r} \end{eqnarray*}$ .

Ja, wenn man das zweite Integral (das aus dem Buch) umformt, kommt dieser Ausdruck raus. Aber was möchtest du mir damit sagen? Kannst du es vielleicht in Prosa ausdrücken, weshalb das richtige Integral so aufgestellt werden muss? Vom Mittelwert, wie ich in von der Logik her verstehe, müsste nämlich mein erstes Integral richtig sein. Scheinbar habe ich ein Brett vorm Kopf... verwirrt

Zitat:

Vielleicht hast du auch gedacht, dass
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{1}{A(r)}\dd r=\frac{1}{\int\limits_{r_1}^{r_2}A(r)\dd r} \end{eqnarray*}$

Nein, diesen Gedanken hatte ich nicht.

21.08.2012, 16:04

system-agent

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Zitat:

Original von Thomate
Ja, wenn man das zweite Integral (das aus dem Buch) umformt, kommt dieser Ausdruck raus.

Genau das wollte ich dir damit sagen.

Zitat:

Original von Thomate
Kannst du es vielleicht in Prosa ausdrücken, weshalb das richtige Integral so aufgestellt werden muss?

Nein, ich kann dir leider nicht sagen wieso die mittlere Fläche so definiert ist wie angegeben. Vielleicht solltest du dich mit solch einer Frage eher an das Physikerboard wenden.

22.08.2012, 09:44

Thomate

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Okay, danke!

19.08.2015, 09:03

Albi-agent

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Mittlere Fläche Am
Die mittlere Fläche Am spielt eine große Rolle bei Wärmeübertragungsprozessen der Thermodynamik.

Aber erstmal zur Herleitung für den Hohlzylinder:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{A_{m} } = \frac{1}{delta} \int_{r1}^{r2} \! \frac{1}{A(r)} \, dr \end{eqnarray*}$

delta = r2-r1 (Wandstärke)
A(r) = 2pi*h*r (Mantelfäche eines Zylinders)

jetzt muss man nur diese beiden Gleichungen in das Integral einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{A_{m} } = \frac{1}{r2-r1} \int_{r1}^{r2} \! \frac{1}{2\pi *h*r} \, dr \end{eqnarray*}$

und ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{A_{m} } = \frac{ln(r2)-ln(r1)}{2\pi *h*(r2-r1)} \end{eqnarray*}$

nun wird Am auf den Zähler gebracht und ein Logarithmusgesetz berücksichtigt:

log(a) - log(b) = log(a/b)

weiterhin gilt: A1=2pi*h*r1
und A2=2pi*h*r2

Also gilt: A2/A1=r2/r1

Daraus folgt als Endlösung:

$\begin{eqnarray*} A_{m} = \frac{A_{2} -A_{1} }{ln(A_{2}/A_{1})} \end{eqnarray*}$

Grüße

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